1 / 28

GRAFY PLANARNE

GRAFY PLANARNE. To grafy, które można narysować na płaszczyźnie tak, by krawędzie nie przecinały się ( poza swoimi końcami ). Na przykład K_4 , ale nie K_5. Formalna definicja prowadzi przez grafy płaskie . Grafy płaskie.

sofia
Download Presentation

GRAFY PLANARNE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. GRAFY PLANARNE • To grafy, które można narysować na płaszczyźnie tak, by krawędzie nie przecinały się (poza swoimi końcami). • Na przykład K_4, ale nie K_5. • Formalna definicja prowadzi przez grafy płaskie.

  2. Grafy płaskie • G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają różne pary końców, 2) „wnętrza” krzywych nie zawierają punktów innych krzywych zbioru E ani żadnych punktów zbioru V. • Graf płaski jest grafem abstrakcyjnym o zbiorze wierzchołków V i zbiorze krawędzi E, ale też zbiorem punktów

  3. Ilustracja

  4. Ściany • jest otwartym podzbiorem płaszczyzny • jego obszary spójne nazywamy ścianamiG • dokładnie 1 ściana jest nieograniczona – nazywamy ją zewnętrzną. • brzeg ściany albo daną krawędź zawiera albo jest rozłączny z jej wnętrzem.

  5. Ilustracja S3 S1 S3 S2 S3 – ściana zewnętrzna

  6. Mosty i nie-mosty Niech C będzie cyklem w grafie płaskim G. • Jeśli e należy do C, to e leży na brzegu dokładnie dwóch ścian i te ściany zawarte są w 2 różnych ścianach grafu C. • Jeśli e jest mostem, to e leży na brzegu dokładnie jednej ściany. • Wniosek: płaski las ma tylko jedną ścianę.

  7. Ilustracja: mosty, cykle

  8. P H 2-spójne grafy płaskie Fakt: W 2-spójnym grafie płaskim brzeg każdej ściany jest cyklem. Dowód:Indukcja z wykorzystaniem konstrukcyjnej charakterystyki grafów 2-spójnych (ćw).

  9. Triangulacje • Graf płaski nazywamy maksymalnym, gdy żaden jego nadgraf właściwy o tym samym zbiorze wierzchołków nie jest płaski. • Graf płaski nazywamy triangulacją, gdy brzeg każdej ściany jest trójkątem. Fakt. Graf płaski o co najmniej 3 wierzchołkach jest maksymalny wgdy jest triangulacją.

  10. Dowód • Jeśli każda ściana jest trójkątem, to nie można dodać krawędzi, która nie naruszałaby warunków 1) i 2) z def. płaskości. • G musi być 2-spójny, więc brzeg każdej ściany jest cyklem. Niech C będzie jednym z nich. • Skoro G jest maksymalny, to V(C) jest kliką w G, której wszystkie krawędzie leżą na zewnętrznej ścianie C. • Jest to jednak możliwe tylko, gdy |V(C)|<4 • (patrz: rysunek).

  11. Ilustracja dowodu C

  12. Zajrzyjmy do pudełek n=20, m=30, l=12 n=8, m=12, l=6 n-m+l=2

  13. Wzór Eulera Tw. (Euler, 1752)W każdym spójnym grafie płaskim liczba wierzchołków n, liczba krawędzi m i liczba ścian l spełniają równość: n-m+l=2 Dowód: Indukcja względem m przy ustalonym n. Jeśli m=n-1, to G jest drzewem i l=1. Jeśli m>n-1, to G zawiera cykl. Usuńmy krawędź e z tego cyklu. Graf G-e ma 1 krawędź mniej i 1 ścianę mniej niż G. Stosujemy zał. ind. do G-e. 

  14. Liczba krawędzi grafu płaskiego Wniosek:Graf płaski o n wierzchołkach ma nie więcej niż 3n-6 krawędzi, triangulacja ma ich dokładnie tyle. Dowód: Licząc krawędzie wokół każdej ściany triangulacji i sumując je, otrzymamy 2m, ale jednocześnie 3l. Stąd i ze wzoru Eulera pomnożonego przez 3, 3n-3m+2m=6.

  15. Przykład triangulacji n=7, m=3n-6=15, l=10

  16. K_4 Grafy planarne • Graf G jest planarny, gdy jest izomorficzny z grafem płaskim. Mówimy wtedy, że można go zanurzyć w (narysować na) płaszczyźnie. • Graf płaski, izomorficzny z G nazywamy rysunkiem G. Fakt:Każdy graf planarny posiada rysunek, którego krawędzie są odcinkami prostych. (ćw)

  17. Równoważność topologiczna • Dwa rysunki tego samego grafu są topologicznie równoważne, gdy (multi)zbiory podgrafów będących brzegami ścian pokrywają się. • Przykład: 2 top. równoważne rysunki K_4

  18. 6 6 7 5 6 4 5 5 Poniższe pary nie są równoważne

  19. 3-spójne grafy planarne Tw. (Whitney, 1932)Każde dwa rysunki 3-spójnego grafu planarnego są topologicznie równoważne. Lemat: Cykl C 3-spójnego grafu płaskiego jest brzegiem ściany wgdy C jest cyklem indukowanym a V(C) nie rozdziela G. Dowód Tw.:Z Lematu, każdy rysunek3-spójnego grafu planarnego ma te same cykle na brzegach ścian.  Dowód Lematu: Skoro V(C) nie rozdziela G, to przynajmniej 1 ze ścian C nie zawiera punktów G-C. Zatem C jest brzegiem ściany.

  20. Dowód Lematu  • Niech C będzie brzegiem ściany, a x,y dwoma (niesąsiednimi na C) wierzchołkami C. • Z 3-spójności G, w G-{x,y} istnieje ścieżka P łącząca dwa łuki grafu C-{x,y}. • Gdyby istniała krawędź xy, to przecinałaby P (bo obie muszą biec przez zewnętrzną ścianę C) – sprzeczność! (bo G jest płaski). • Zatem C jest cyklem indukowanym.

  21. Ilustracja y P C x

  22. Dowód Lematu  c.d. • Niech x,y należą do V(G)-V(C) • Z 3-spójności G są między nimi co najmniej 3 niezależne ścieżki, które dzielą płaszczyznę na 3 rozłączne obszary. • C musi się zawierać w jednym z nich, a więc jedna ze ścieżek omija C. • Zatem zbiór V(C) nie rozdziela x,y.

  23. Ilustracja x y C

  24. Maksymalne grafy planarne • Graf planarny jest maksymalny, gdy żaden jego nadgraf właściwy o tym samym zbiorze wierzchołków nie jest planarny. • Rysunek maksymalnego grafu planarnego jest triangulacją, i odwrotnie, każda triangulacja jest maksymalnym grafem planarnym. • Zatem, graf planarny o n>2 wierzchołkach jest maksymalny wgdy ma 3n-6 krawędzi. • Triangulacje są 3-spójne (bez dowodu)

  25. Ani, ani • Wszystkie grafy na 4 wierzchołkach są planarne (bo K_4 jest planarny) • Wszystkie grafy na 5 wierzchołkach są planarne, oprócz K_5(ćw.) • Wszystkie grafy dwudzielne na 6 wierzchołkach są planarne, oprócz K_{3,3}(ćw.) • AniK_5, aniK_{3,3} nie jest planarny Dowód dla K_5: m=10>9=3n-6 Dowód dla K_{3,3}: na ćwiczeniach!

  26. D2 D1 D3 ? ? S2 S3 S1

  27. K_3 G=TK_3 Podziały topologiczne krawędzi • Nieformalny zapis G=TH oznacza, ze G jest jednym z grafów, które można otrzymać z grafu H przez topologiczne podziały krawędzi. (TH jest więc nieskończoną rodziną grafów)

  28. Tw. Kuratowskiego • Ani TK_5, ani TK_{3,3} nie jest planarny. • Żaden graf planarny nie zawiera ich. Tw. (Kuratowski 1930) Graf G jest planarny wgdy nie zawiera ani TK_5 ani TK_{3,3}. (bez dowodu.)

More Related