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网络面授课程. 简单几何体. 北京四中：安东明. 简单几何体. 基本知识： 1 ．棱柱： （ 1 ）定义：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每个相邻的两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱。 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 *平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱； 直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；. 长方体：底面是矩形的直平行六面体； 正方体：棱长都相等的长方体。 （ 2 ）性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；

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Presentation Transcript

  1. 网络面授课程 简单几何体 北京四中：安东明

  2. 简单几何体 • 基本知识： • 1．棱柱： • （1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每个相邻的两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱。 • 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。 • 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 • *平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱； • 直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；

  3. 长方体：底面是矩形的直平行六面体； • 正方体：棱长都相等的长方体。 • （2）性质： • ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； • ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； • ③经过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。 • （3）面积与体积： • 直棱柱的侧面积=底面周长×侧棱长， • 柱体的体积=底面面积×柱体的高

  4. 2．棱锥： （1）定义： • 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥。 • 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面内的射影是底面的中心的棱锥。 （2）性质： • 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。

  5. P A C O D B • 正棱锥的性质： • ①侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，叫做正棱锥的斜高； • ②棱锥的高、斜高、斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。 • （3）面积与体积： • 正棱锥的侧面积= 底面周长×斜高， • 锥体的体积= 底面面积×锥体的高

  6. R d r • 3．球： • （1）定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体，简称球。 • （2）球的截面性质： • ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； • ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下 面的关系：

  7. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。 • （3）面积与体积：

  8. 例题选讲： • 例1．下面是关于四棱柱的四个命题： • ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 • ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 • ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 • ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 • 其中，真命题的编号是（写出所有正确结论的编号）。

  9. D1 C1 A1 B1 D C A B D1 C1 A1 B1 D C A B • 例题选讲： • 例1．下面是关于四棱柱的四个命题： • ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 • ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 • ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 • ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 • 其中，真命题的编号是（写出所有正确结论的编号）。 • ②④

  10. O P C A B • 例2．三棱锥P–ABC中，顶点P在底面的射影O是三角形ABC的内心，关于这个三棱锥有三个命题： • ①侧棱PA=PB=PC； • ②侧棱PA、PB、PC两两垂直； • ③各侧面与底面所成的二面角相等。 • 其中错误的是 （ ） • （A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③

  11. P G C A O E F B • 例2．三棱锥P–ABC中，顶点P在底面的射影O是三角形ABC的内心，关于这个三棱锥有三个命题： • ①侧棱PA=PB=PC； • ②侧棱PA、PB、PC两两垂直； • ③各侧面与底面所成的二面角相等。 • 其中错误的是 （Ａ ） • （A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③ • 由题意知： O到三角形三边的距离: • OE=OF=OG ，∠PEO=∠PFO=∠PGO, • 因此：③是正确的。

  12. 图一 图二 • 例3. 如图一是一个正三棱柱形容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干。将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图二，这时水面恰好为中截面。请问图①中容器内水面的高度是（ ） • (A) a (B) (C) (D)

  13. 图一 图二 • 例3. 如图一是一个正三棱柱形容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干。将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图二，这时水面恰好为中截面。请问图①中容器内水面的高度是（C ） • (A) a (B) (C) (D) • 图二中，水面以上构成一个正三棱柱，底面积是原正 三棱柱底面积的 ，高相同，因此，水的体积占原正三 棱柱体积的 。 • 图一中：

  14. 例4.正方体ABCD-A1B1C1D1，正方体的体积、四棱锥A1-ABCD的体积以及该正方体的外接球的体积之比为________．例4.正方体ABCD-A1B1C1D1，正方体的体积、四棱锥A1-ABCD的体积以及该正方体的外接球的体积之比为________．

  15. D1 C1 A1 B1 D C A B • 例4.正方体ABCD- A1B1C1D1，正方体的体积、四棱锥A1-ABCD的体积以及该正方体的外接球的体积之比为________． • 设：正方体的棱长为1，V正方体=1，VA1—ABCD= ， • 正方体的外接球的半径R= • 球体积 • 三个几何体的体积比为： 6∶2∶

  16. O C A B • 例5．正三棱锥的底面边长为2，若侧面均为直角三角 • 形，则此三棱锥的体积为 （ ） • (A) (B) (C) (D)

  17. A O C O B C A B • 例5．正三棱锥的底面边长为2，若侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 （ ） • (A) (B) (C) (D) • 由题意知：正三棱锥的侧棱长为 ， • 体积：

  18. 例6．球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每例6．球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每 两点间的球面距离均为 ，则球心O到平面ABC的距离（ ） • (A) (B) (C) (D)

  19. O C B A • 例6．球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上， • 且每两点间的球面距离均为 ，则球心O到平面ABC的距离（ ） • (A) (B) (C) (D)

  20. O C B A • 例6．球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球心O到平面ABC的距离为（ ） • (A) (B) (C) (D) • 如图：球心O到平面ABC的距离应为 • 正三棱锥O-ABC的高，设为h, • 由题知：OA=OB=OC=1， • ∠AOB=∠BOC=∠COA=900， • AB=BC=CA= ，由等积法：

  21. 例7.如果120个相同的小球紧密地垒成一个正三棱锥，那么最低一层有 个小球.

  22. 例7.如果120个相同的小球紧密地垒成一个正三棱锥，那么最低一层有 个小球. • 解：本题考查空间想象能力，以及数列的知识 • 按题目要求： • 最上面的第一层有1个小球； • 第二层有3=1+2个小球； • 第三层有6=1+2+3个小球； • 第四层有10=1+2+3+4个小球； • 第五层有15=1+2+3+4+5个小球； • 第六层有21=1+2+3+4+5+6个小球； • 第七层有28=1+2+3+4+5+6+7个小球； • 第八层有36=1+2+3+4+5+6+7+8个小球； • 此时共有：1+3+6+10+15+21+27+36=120个小球。

  23. 因此：最下面一层有36个小球。 • 此题中每层的小球数是： • 所有小球共有：

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