多源信息融合处理技术

1. 多源信息融合处理技术 主讲人：李玉柏 ybli@uestc.edu.cn

2. 第六讲：非线性系统状态滤波理论 • 扩展Kalman滤波器 • UKL滤波器 • 粒子滤波器 • 目标跟踪中的非线性滤波

3. 引言－非线性系统状态滤波 • 当系统模型为线性、高斯分布时，在每个递推估计过程中，概率密度分布依然保持高斯性质。此时，可通过线性最优的卡尔曼滤波来传递和更新分布的均值和方差。 • 卡尔曼滤波是最小均值平方根误差的线性最优滤波器，也是最广泛使用的经典线性滤波器。但大多数情况下，目标系统模型和观测模型不一定是线性、高斯分布型，因而不能通过线性卡尔曼滤波求得其最优解析解。 • 对于非线性情况有一些次优解决方案，如一阶泰勒级数展开的EKF、使用确定性抽样点的UKF算法、序贯重要抽样（SIS ）滤波算法等。

4. 是k 时刻的系统状态向量， 是系统状态转移函数，而 是过程演化噪声， 是k时刻对系统的量测向量， 是量测函数，而 是量测噪声。 其中： 和 不一定是线性函数； 和 不一定是高斯分布； 引言－非线性系统状态滤波 • 定义：离散时间非线性随机动态系统

5. 实际非线性滤波处理，通常对过程噪声和观测噪声近似为高斯分布，协方差分别为 ，均值假定为零。 1）在时刻k-1，假定已获得状态估计和估计误差 的协方差矩阵 。 1、扩展Kalman滤波器 • 扩展Kalman滤波算法实质上是一种在线线性化技术，即按名义轨道进行线性化处理，在进行线性的Kalman滤波。 • 一阶扩展Kalman滤波算法：

6. 一阶扩展Kalman滤波器 • 对状态演化方程进行非线性滤波处理：

7. 一阶扩展Kalman滤波器 2）在时刻k的一步状态预测：

8. 一阶扩展Kalman滤波器 3）在时刻k的线性化量测方程：

9. 一阶扩展Kalman滤波器 4）在时刻k的量测提前一步预测：

10. 一阶扩展Kalman滤波器 5）在时刻k得到新的量测zk后的滤波：

11. 一阶扩展Kalman滤波器 举例1：假设一个一维非线性状态方程 其中a 代表非线性项系数，b 代表线性项系数。当 k 时刻x存在误差，其期望值和方差为： 给出完整的状态方程和观测方程：

12. 1）假设初值： 2）迭代计算—一步预测（时间更新） 3）迭代计算—计算Kalman增益 一阶扩展Kalman滤波器 扩展Kalman滤波器的步骤：

13. 一阶扩展Kalman滤波器 扩展Kalman滤波器的步骤： 4）迭代计算— 输入观测 zk 进行滤波

14. 扩展Kalman滤波器讨论 比较在 k +1时刻x的真值和EKL处理的结果：

15. 如何计算 y 的均值和方差 ？ 2、基于U变换的－UKL滤波 • Julier提出采用基于Unscented变换（U变换）的Unscented Kalman Filter方法（UKL滤波）。其核心是在处理状态方程时，首先进行Unscented变换，然后使用U变换后的状态变量进行滤波估值，以减小估计误差。 • Unscented变换是研究N维随机向量 x，通过非线性函数进行传播得到输出y 的统计特性。设非线性函数：

16. Unscented变换：针对输入随机信号x 设计一系列的点 ，称为Sigma点集；计算其经过 f (•) 传播所得到的结果 ，然后基于这些结果计算 。 Sigma点集点的数量为2N+1（即L=2N）。 • UT的算法第一步：计算2N+1个Sigma点集及其权系数：在确保采样均值和协方差的前提下，选择一组Sigma点集。同时确定均值加权系数 和方差加权系数 。 基于U变换的统计特性计算

17. 一般情况下取 。其中 k是调节参数，用来控制每个点到均值的距离，仅影响二阶之后的高阶矩带来的偏差（四阶矩）。 • 计算经过 f (•) 传播所得到的结果： 基于U变换的统计特性计算

18. 基于U变换的统计特性计算 • 计算随机变量z的统计特性：

19. 计算Sigma点的分布时N选择为参数的维数。 • 计算Sigma点的分布时使用 ，代表 的平方根矩阵的第i列或第i 行。 • 由于Pxx是正定矩阵，可以直接通过sqrtm (•)计算上面的矩阵平方根。 基于U变换的讨论 • 讨论1： Sigma点分布说明

20. 1） 2）Sigma点集围绕均值对称分布并且对称点具有相同的权值，点集样本均值与随机变量x的均值相同；Sigma点集样本方差阵与随机变量x的方差相同；Sigma集合具有与分布x同样的高阶奇次中心矩。 3）随着系统维数的增加，Sigma点到中心x的距离越来越远，会产生采样的非局部效应，此时一般采用比例采样法进行UT变换。 基于U变换的讨论 • 讨论2：关于加权系数的选取和特性

21. 其中 是非比例U变换的权系数， 比例因子介于 0到1之间。 基于U变换的讨论 • 讨论3：比例采样法UT变换

22. 考虑高阶影响，引入参数 ，修改权系数： 基于U变换的讨论 • 讨论3：比例采样法UT变换

23. 讨论3：比例采样法UT变换 • 一般比例采样法UT变换的主要参数确定的一般取值范围： 确定x 周围Sigma点的分布，通常设为一个较小的正数（0.0001< <1）；对于高斯分布， = 2是最优的。 • 通常 和 的选取要保证 为正。 基于U变换的讨论

24. 选择 ，确定Sigma点权值为： 基于U变换的讨论 • 讨论4：最小偏度单形采样UT变换 • 所谓单形采样策略，是指对于n维问题，采样点构成一个单形，至少需要n+l个采样点。如果罚函数要求偏度最小，那么就得到了最小偏度单形采样策略。由于 所包含的关于随机变量x分布的信息最多，所以把 也作为一个采样点，称其为中心点，故含中心点的单形采样点个数为L= n+2。

25. 基于U变换的讨论 • 讨论4：最小偏度单形采样UT变换 • 迭代产生Sigma点： • 初始向量n = 1: • 迭代计算n = 2, …, N

26. 基于U变换的讨论 • 讨论4：最小偏度单形采样UT变换 • 迭代产生Sigma点： • 最后得到Sigma采样点:

27. 最小偏度单形采样的权系数，定义： 其中： 基于U变换的讨论 • 讨论5：最小偏度比例单形采样UT变换 • 比例采样的Sigma点：

28. 基于U变换的讨论 • 讨论5：最小偏度比例单形采样UT变换 • 对应均值和方差权系数：

29. 其中：过程噪声 和量测噪声 为互不相干零均值白噪声，其过程噪声 具有协方差阵 Q，量测噪声 具有协方差阵 R ，初始状态 与所有噪声独立，其先验均值和协方差阵是： 基于U变换的－UKL滤波 • 考虑离散时间非线性系统：

30. 1）对于给定的 、 ，用UT法求状态一步预 测 ，以及预报误差的协方差阵 。 基于U变换的－UKL滤波 • 每个时间段UKF计算一个循环的具体步骤如下： • 计算2N+1个Sigma点集及其权系数：

31. 基于U变换的－UKL滤波 • 计算Sigma点集通过状态方程的演化

32. 2）利用上面的 、 ，计算Sigma点集通过 测量方程的演化。 基于U变换的－UKL滤波 • 计算2N+1个Sigma点集及其权系数：

33. 基于U变换的－UKL滤波 • 计算Sigma点集通过测量方程演化，得到一步提 前预测及方差：

34. 3）在获得新的量测 后，进行滤波更新。 基于U变换的－UKL滤波

35. 基于U变换的－UKL滤波 举例2：同样假设一维非线性状态方程 其中a 代表非线性项系数，b 代表线性项系数。当 k 时刻x存在误差，其期望值和方差为： 假设初值： 同时对于单参数N=1，Sigma点集为3。

36. 1）对于给定的 、 ，用UT法求状态一步预 测 ，以及预报误差的协方差阵 。计 算2N+1个Sigma点集及其权系数： 取散度因子 为1，N=1有： UKL滤波举例 UKL滤波的步骤：

37. UKL滤波举例 UKL滤波的步骤： 2）计算Sigma点集通过状态方程的演化

38. UKL滤波举例 UKL滤波的步骤： 3）利用上面的 、 ，计算Sigma点集通过 测量方程的演化。先计算3个Sigma点集及其权 系数：

39. UKL滤波举例 UKL滤波的步骤： 4）计算Sigma点集通过测量方程演化，得到一步 提前预测及方差：

40. 5）在获得新的量测 后，进行滤波更新。 UKL滤波举例 UKL滤波的步骤：

41. UKL滤波举例 UKL滤波讨论： Sigma点集通过状态方程演化后一步预测：

42. UKL滤波举例 UKL滤波讨论： 可以看出，由于UKF 保存了非线性次项，用UKF 求得的均值和方差与真值一致，而EKF 则由于线性化损失了一部分二次项值。 对整个非线性方程而言，UKF 也会损失掉一些高次项信息，然而总体上可以取得优于EKF 的滤波性能。当状态方程和测量方程非线性较大时（此例中为a），EKF 与UKF 的性能差别比较明显。但当a=0 或a 很小时，此时系统为线性或近似线性系统，EKF 与UKF 的性能相同或相近，此外，当状态噪声或者测量噪声较大时，两者的差别变小了，这是因为Q在方差中的成分变大了。

43. 3、粒子滤波理论 • 由于在现代信号处理、目标跟踪、自动控制、计算机视觉等领域存在大量的非线性和非Gauss随机情况。系统概率分布解析式不可求或不易求，从而发展起来一种新的基于随机采样的滤波算法，一种基于仿真的统计滤波方法。 • 基于随机采样的滤波算法是利用状态空间加权随机样本集（粒子）来近似系统状态的后验概率密度函数，形成了粒子滤波理论（Particle filtering, PF）。

44. 一种仿真生成x (i) 伪随机数的方法是产生[0, 1] 随机数的同余法，记 。 1）Monte Carlo仿真的随机采样 • 标准均匀分布伪随机采样 • 其概率分布函数为：

45. Monte Carlo仿真的随机采样 • 非均匀分布伪随机 — 反变换采样法 • 设随机变量x具有概率分布函数F(x)，xR，按分布函数的单调性，逆函数F -1: [o,1]存在，且可计算。 • 则产生标准均匀随机采样 ，从而 具有概率分布函数F(x)。

46. 按照中心极限定理，当N时，x～N(0, 1)。于是，每N个伪随机数y (j) 结合生成一个标准的伪随机数，则: Monte Carlo仿真的随机采样 • 非均匀分布伪随机 — Gauss分布采样法

47. 设随机变量x 具有离散分布: • 设 的一系列随机数，则满足离散分布的随机采样按下式产生: Monte Carlo仿真的随机采样 • 非均匀分布伪随机 — 直接采样法

48. 设随机变量x 的pdf 为: 其中a 和 b 分别是随机变量x 的下界和上界， c 是p(x) 的最大值。 • 设 的两独立系列随机数，定义： Monte Carlo仿真的随机采样 • 非均匀分布伪随机 — 舍选采样法

49. 设 在以边长为b-a 和 c 的矩形内均匀分布。如果 ，则令： 是采样值，即 ，否则舍弃重新采样。 Monte Carlo仿真的随机采样 • 非均匀分布伪随机 — 舍选采样法

50. 2）贯序重要性采样法 • 序贯重要性采样( SIS: sequential importance sampling )算法是一种Monte Carlo采样方法，按Monte Carlo仿真实现递推Bayes滤波。 • SIS关键思想是根据一组带有相应权值的随机样本来表示需要的后验概率密度函数，而且基于这些样本和权值来计算估计值。因为，这些样本数非常大，Monte Carlo描述就成为后验概率密度函数用普通函数描述的一个等价表示，因而SIS滤波就近似最优Bayes滤波。