§ ５．变换群

§５．变换群 • 5.1 引言 • 5.2 变换群 • 5.3 Cayley 定理

集合到自己的映射称为变换． • 变换是一个特殊的映射,所以关于映射的知识全部适用于变换,比如单、满变换、一一变换,变换的乘法(合成) • 关于记号: 设是上变换,仍然使用 • ： • 对于本书规定的变换的一种特殊的符号: • ： • 不采用. 5.1 引言

有n个元素, 上的变换有多少个? 一一变换有多少个? • 记 ,对照群的定义,回答它构成群吗? 如果不,附加什么条件? 两种记号有什么区别?

定理1 上全体一一变换关于映射的乘法构成群. 例１　＝｛１，２｝．：　　　　　　　　　，：　　　　　　　　　，：　　　　　　　　　，：　　　　　　　　　，是的所有的变换．其中，是一一变换． (1){ ， }构成群 (2){ }构成群吗? 5.2 变换群举一个例子说明一些问题

定义　一个集合 的若干个一一变换对于乘法作成的一个群叫做的一个变换群．按照定义,上面的{ }虽然是群,但不是的变换群. { ， }和{ }都是的变换群定理2 　假定是集合的若干个变换所作成的集合，并且包含恒等变换．若是对于上述乘法来说作成一个群，那么只包含的一一变换,因而是的变换群．

证明 (1)恒等变换就是单位元 (2)令是的任意元，那么因为是群，有逆元，使得即: 是可逆变换,因而是的一一变换．

例2　假如 是一个平面的所有的点作成的集合，那么平面的一个绕一个定点的旋转可以看成的一个一一变换．我们叫包含所有绕一个定点的旋转，那么作成一个变换群．因为假如我们用来表示转角的旋转，就有 Ⅰ．，是闭的； Ⅱ．结合律当然成立； Ⅳ．； Ⅴ．．

但显然不包括的全部一一变换． 注: 变换群一般是非交换群．变换群在数学上，尤其在几何上的实际应用极广．但就是在群的理论上这种群也有它的重要性.

证明　假定是一个群，的元是，， ，…．我们在里任意取出一个元来，利用构造集合的一个变换如下: ： , 我们把所有这样得来的的变换放在一起，作成一个集合，，，… ．我们将证明 5.3 Cayley 定理定理３　任何一个群都同一个变换群同构．

为此,构造如下: (1) 是满射． ………… (2) 是单射. ……… (3) 是同态 ……… 所以进一步, 是一个群．注意到是的恒等变换，定理2，是的一个变换群．证完．

作业: P50 1 2 (使用记号: ) 这个定理告诉我们，任意一个抽象群都能够在变换群里找到一个具体的实例．换一句话说，我们不必害怕，以后会找得到一个抽象群，这个群完全是我们的脑子造出来的空中楼阁．