به نام خدا

1. به نام خدا عليرضا ذولفقار استاد تسليمي روش هاي انتگرال گيري

2. مقدمه : • در اين آموزش با انواع روش هاي انتگرال گيري آشنا ميشويم هرچند كه با وجود آن ها باز هم اكثر انتگرال هاي نامعين رانميتوان حل نمود ! اما سعي براين است كه روش هاي كلي تر را مورد بررسي قرار دهيم تا بتوانيم بعضي از انتگرال ها را حل كنيم !

3. 1.روش انتگرال گيري جز به جز • فرض كنيد كه u و vتوابعي ديفرانسيل پذير باشند بنابراين ميتوان نوشت : (duv)=udv+vdu ∫d(uv)=∫udv +∫vdu ∫udv+∫vduuv= ∫udv=uv-∫vdu رابطه ي آخر را دستور جز به جز براي حل انتگرال ها مي ناميم

4. تذكر: در انتخاب du وvتوصيه ما بر حل تمرين بيشتر است تا مهارت لازم براي انتخاب صحيح اين دو در حل انتگرال ها به دست آوريد . مثال : انتگرال ∫xsinxdxرا به روش جز به جز حل كنيد . با فرض u=xو dv=sinxdxملاحظه ميكنيد كه du=dxو v=-cosx بنابراين داريم : ∫xsinxdx=∫u.dv=-xcosx+∫cosxdx =-xcosx +sinx +C

5. 2.جدول انتگرال گيري • فرض كنيد p(x) تابعي باشد كه n بار مشتق پذير است ومشتق مرتبه (n+1) ام p برابر 0 باشد و f(x) تابعي باشد كه مشتق آن راn+1 دفعه ميتوان محاسبه كرد . حال فرض كنيد كه F(1)(x),F(2)(x),….F(n+1)(x)به ترتيب ضد مشتق مرتبه ي اول ،دوم ،...و n+1 ام تابع f(x) باشد در اين صورت انتگرال ∫p(x)f(x)را ميتوان با توجه به جدول زير (به نام جدول انتگرال )محاسبه نمود .

6. توجه كنيد ! آنچه در قالب اين روش بيان شد در مورد توابع خاصي قابل اعمال است لذا بايد در استفاده از آن جانب احتياط را در نظر بگيريد زيرا اغلب انتگرال ها را از اين روش نميتوان حل نمود به عنوان مثال انتگرال هاي ∫tag^(-1)xdx , ∫xLnxdx , ∫x^(n)sin^(-1)xdx از روش قبل قابل محاسبه نيستند زيرا مقدار ضد مشتق اين توابع به سادگي در جدول انتگرال در دسترس نيست همچنين انتگرال هاي چون ∫cosxdx , ∫shx.e^dxبه علت نداشتن مشتق درجه ي n ام صفر از اين روش قابل حل نيستند . جدول انتگرال عموما در محاسبات مهندسي كه حل انتگرال از اعمال فرعي محاسبه ميشود ،به كار ميرود تا در محاسبات دچار اتلاف وقت نشوند

7. 3.انتگرال از توابع كسري • دربخش حاضر به انتگرال كسر ها مي پردازيم براي بررسي اين گونه انتگرال ها سعي ميكنيم كسر p(x)/Q(x) را به كسر هاي ساده تبديل كرده و سپس انتگرال آن ها را محاسبه كنيم قضيه : هر چند جمله اي با ضرايب حقيقي قابل تجزيه به عوامل درجه اول و عوامل درجه دوم (تجزيه ناپذير ) با ضرايب حقيقي ميباشد . محاسبه ي انتگرال كسري : براي بررسي انتگرال ∫p(x)/Q(x)حالتي را در نظر ميگيريم كه درجه ي p(x)كمتر ازQ(x)باشد درغير اين صورت p(x) را برQ(x)تقسيم كرده به صورت q(x)+r(x)/q(x)كه در درجه r(x)كمتر از Q(x)است تبديل ميكنيم . در تجزيه p(x)/Q(x) به كسر هاي ساده چند حالت ممكن است پيش آيد كه در زير بررسي ميكنيم .

8. حالت اول : فرض كنيد Q(x)به عوامل اول تجزيه شود و ريشه ها تكراري نباشد يعني : Q(x)=(x-a1)(x-a2)…..(x-an) ai≠aj حال براي تجزيه كسراصلي به كسر هاي ساده تر به شكل زير عمل ميكنيم و از تساوي زير ضرايب A1,A2,…Anرا به دست مي آوريم P(x)/Q(x)=A1/(x-a1)+A2/(x-a2)….An/(x-an) • حالت دوم : اگر درتجزيه Q(x)به عوامل اول بعضي از آن ها تكراري باشد در اين صورت كسر p(x)/Q(x)را به شكل زير تشكيل ميدهيم : P(x)/Q(x)=p(x)/(x-ai)^k=A1/x-ai+A2/(x-ai)^2+….An/(x-ai)^n

9. حالت سوم : اگر در تجزيه Q(x)علاوه بر عوامل درجه اول عوامل درجه دوم بدون تكرار نيز موجود باشند به طوري كه عامل درجه دوم قابل تجزيه به عوامل درجه ي اول نباشد بدين معني كه فرض كنيد : Q(x)=(x-a)^k.h(x) كه در آن h(x)عامل درجه دوم غير قابل تجزيه به عوامل اول است در نتيجه كسر را به صورت زير تجزيه ميكنيم P(x)/Q(x)=A1/x-a+…An/(x-a)^n+Bh’(x)/h(x)+C/h(x) حال با تعيين ضرايب A,B,Cانتگرال كسر به سادگي قابل حل است . • حالت چهارم : اگر در تجزيه Q(x)عوامل درجه دوم تكراري موجود باشند آنگاه براي هر عبارت به فرم زير Q(x)=(x^2 +ax+b),(∆<0)

10. تجزيه p(x)/Q(x)به فرم زير خواهد بود P(x)/Q(x)=A1x+B1/(x^2+ax+b)+A2x+B2/(x^2+ax+b)^2….. مثال: ∫2x^2+3 / (x^2+1)^2 2x^2+3 / (x^2+1)^2=Ax+b/x^2+1 +Cx+D/(x^2+1)^2 كه در آن داريم A=0 , B=2 , C=0 , D=1 ∫2x^2+3 / (x^2+1)^2 = ∫2dx/x^2+1 + ∫dx/(x^2+1)^2 =2tag^(-1)x +∫dx/(x^2+1)^2 با در نظر گرفتن x=tagx ∫2x^2+3 / (x^2+1)^2 dx = 5/(2tagx) + ½.x/x^2+1 +C

11. انتگرال گيري با استفاده از متغير هاي مثلثاتي • در محاسبه انتگرال هاي كه تابع انتگرال در آنها شامل عبارت هاي زير است √a^2-x^2 √a^2+x^2 √x^2-a^2 كه در آن ها a عدد ثابت مثبت است با در نظر گرفتن تغيير متغيرهايي به ترتيب زير x=asinθ x=atagθ x=asecθ به سادگي ميتوان انتگرال هارا حل نمود

12. پايان