第七章平面图形的几何性质

第七章 平面图形的几何性质

研究截面几何性质的意义 从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩IP、抗扭截面系数WP等一些几何量密切相关。因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。截面的几何性质

y z dA y z 截面的几何性质第一节静矩一、静距的概念静距是面积与它到轴的距离之积。平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。它常用单位是m3或mm3。

y z dA y z 截面的几何性质形心平面图形对z轴（或y轴）的静矩，等于该图形面积A与其形心坐标yC（或zC）的乘积。

截面的几何性质 当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。

截面的几何性质 二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即式中 yCi、zCi及Ai分别为各简单图形的形心坐标和面积; n为组成组合图形的简单图形的个数。组合图形形心的坐标计算公式

y h/2 C z h/2 z1 b/2 b/2 截面的几何性质例7-1 矩形截面尺寸如图7-2所示。试求该矩形对z1轴的静矩Sz1和对形心轴z的静矩Sz。解 (1) 计算矩形截面对z1轴的静矩 (2) 计算矩形截面对形心轴的静矩由于z轴为矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形截面对z轴的静矩为 Sz=0

10 10 y1 C1 80 120 C2 z1 截面的几何性质例7-2 试计算如图7-3所示的平面图形对z1和y1的静矩，并求该图形的形心位置。解将平面图形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ组成 A1=10×120mm2=1200mm2 矩形Ⅰ A2=70×10mm2=700mm2 矩形Ⅱ

10 10 y1 C1 80 120 C2 z1 C1（5,60） C2（45,5）截面的几何性质该平面图形对z1轴和y1轴的静矩分别为求得该平面图形的形心坐标为

y z dA y r z 截面的几何性质第二节惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩惯性矩是面积与它到轴的距离的平方之积。极惯性矩是面积对极点的二次矩。惯性矩是对坐标轴来说的，同一图形对不同的坐标轴其惯性矩不同。极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩也各不相同。惯性矩恒为正值，常用单位为m4或mm4。

y z dA y r z 截面的几何性质二、惯性积惯性积面积与其到两轴距离之积。惯性积是平面图形对某两个正交坐标轴而言，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。惯性积可能为正或负，也可能为零。单位为m4或mm4。如果坐标轴z或y中有一根是图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。

截面的几何性质 三、惯性半径常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即或改写成式中iz、iy、iP分别称为平面图形对z轴、y轴、和极点的惯性半径，也叫回转半径。单位为m或mm。惯性半径愈大，平面图形对该轴的惯性矩（或对极点的极惯性矩）也愈大。

y dz dy C h/2 z b 截面的几何性质例7-3 矩形截面的尺寸如图7-6所示。试计算矩形截面对其形心轴z、y的惯性矩、惯性半径及惯性积。解 (1) 计算矩形截面对z轴和y轴的惯性矩取平行于z轴的微面积dA， dA到z轴的距离为y，则 dA=bdy 截面对z轴的惯性矩为截面对y轴的惯性矩为

y C h/2 z b 截面的几何性质 (2) 计算矩形截面对z轴、y轴的惯性半径截面对z轴和y轴的惯性半径分别为 (3) 计算矩形截面对y、z轴的惯性积因为z、y轴为矩形截面的两根对称轴，故

截面的几何性质

y1 y dA z1 z b C y1 r a z1 截面的几何性质第三节组合图形的惯性矩一、平行移轴定理以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴。

截面的几何性质 图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。由于a2（或b2）恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。

y h/2 C z h/2 z1 b/2 b/2 截面的几何性质例7-5 计算如图7-9所示的矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩。解 z、y轴是矩形截面的形心轴，它们分别与z1轴和y1轴平行，则由平行移轴公式得，矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩分别为

截面的几何性质 二、用平行移轴公式计算组合截面的惯性矩组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即计算组合图形的惯性矩步骤 1.确定组合图形的形心位置， 2.查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩， 3.利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。

500 A1 z1 120 C1 a1 C z a2 580 z2 C2 yc A2 O zo 250 截面的几何性质例7-7 试计算图示T形截面对形心轴z、y的惯性矩。

500 A1 120 z1 580 C1 yc A2 C z 250 z2 C2 O z’ 截面的几何性质解求截面形心位置由于截面有一根对称轴y，故形心必在此轴上，即 zc=0 选坐标系yoz′，以确定截面形心的位置yC。将截面图形分为两个矩形。矩形Ⅱ 矩形Ⅰ

500 计算及 A1 120 z1 580 C1 yc A2 C z 250 z2 C2 O z’ 截面的几何性质整个截面图形对z轴、y轴的惯性矩应分别等于两个矩形对z轴、y 轴的惯性矩之和。即两个矩形对自身形心轴的惯性矩分别为

500 A1 120 a1 a2 580 z1 C1 A2 250 C z z2 C2 yc O z’ 截面的几何性质应用平行移轴公式得所以

500 A1 120 z1 580 C1 yc A2 C z 250 z2 C2 O z’ 截面的几何性质 y轴正好经过矩形截面A1和A2的形心，所以

截面的几何性质 第四节形心主惯性轴形心主惯性对平面图形而言，对通过O点的任意两根正交坐标轴z、y的惯性积Iyz，如Iyz＝0，则这对坐标轴称为通过O点的主惯性轴，简称主轴。截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩，简称主惯矩。如果O点在截面形心，如同样满足上述条件，这时通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴；图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主惯矩。

y y z z 截面的几何性质对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定： 1）如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，而另一根形心主轴通过图形的形心且与该轴垂直。 2）如果图形有两根对称轴，则该两轴就是形心主轴。 3）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等。

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