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Colégio Estadual Figueira - Matemática

Colégio Estadual Figueira - Matemática. Professor: Sulimar Gomes. domingo, 1 de novembro de 2014. PROBABILIDADE. PROBABILIDADE. A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar).

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  1. Colégio Estadual Figueira - Matemática Professor: Sulimar Gomes domingo, 1 de novembro de 2014 PROBABILIDADE

  2. PROBABILIDADE A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar). Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, No nosso estudo em questão a definição de probabilidade está relacionada a chance de ocorrer determinado evento. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  3. PROBABILIDADE No sentido corrente do termo, dizemos : "É provável que amanhã eu vá ao cinema" ou "Tenho pouca probabilidade de ganhar a Mega sena". Em ambos os casos estamos fazendo previsões futuras sobre acontecimentos que, na realidade, não podemos prever. O que sabemos são, apenas, todas as hipóteses possíveis para esses acontecimentos, isto é sabemos que podemos ou não ir ao cinema, que podemos acertar todos os números da Mega Sena, acertar somente algum número ou não acertar nenhum, mas não temos nenhuma garantia sobre o que vai acontecer. Estas situações (experiências) dizemos que são aleatórias. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  4. EXPERIMENTOS Todo o processo de realizar observações e obter dados é denominado experimento. Experimentos Determinísticos: são aqueles cujos resultados podem ser determinados antes de sua realização. Por exemplo: quanto tempo levará um carro para percorrer um trajeto de 200 km numa velocidade média de 100 km/h? Não é necessário executar o experimento para determinar a resposta: 2 horas. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  5. EXPERIMENTOS Experimentos Estocásticos ou Aleatórios: Em quase todas as observações, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação “é provável que o meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar: a. que, apesar do favoritismo, ele perca; b. que, como pensamos, ele ganhe; c. que empate. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  6. EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS Experimento Aleatório : É todo experimento que, mesmo repetido várias vezes, sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis, dentre os resultados possíveis. • Exemplos: • Lançamento de uma moeda; • Lançamento de um dado; • Loteria de números; • Extração de uma carta de baralho. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  7. ESPAÇO AMOSTRAL Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos ao resultados possíveis desse experimento. Notação: E • Exemplos: • No lançamento de uma moeda, temos E = {cara, coroa} • Lançamento de um dado (perfeito), temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  8. EVENTO Evento é todo subconjunto de um espaço amostral E de um experimento aleatório. Todo subconjunto unitário de E é denominado evento simples ou elementar. Chamamos E de evento certo e Ǿ de evento impossível. • Exemplos: • No lançamento de um dado, observando o número da face superior, podemos descrever alguns eventos: • A: obtenção de número par => A = {2, 4, 6} • B: obtenção de número menor que 3 => B = {1, 2} • C: obtenção de número maior que 5 => C = {6} (evento simples) • D: obtenção do número 0 => D = Ǿ {evento impossível} • E; obtenção de número menor que 7 => • {1, 2, 3, 4, 5, 6)(evento certo) Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  9. PROBABILIDADE Admitiremos daqui pra frente que as chances de eventos simples num espaço amostral E (não vazio e finito) sejam iguais e chamaremos E de espaço de eventos equiprováveis. Quando se lança um dado, há seis resultados possíveis, ou seja, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sendo um dado um cubo perfeito, não há razão para que um dos números saia mais facilmente que outro, todos têm a mesma probabilidade de sair na face superior. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  10. PROBABILIDADE No lançamento de um dado, se Ana apostar que sairá 5 e André disser que vai sair 4, nenhum deles estará em vantagem, ambos terão 1 chance em 6 de acertar. Dizemos, então, que a probabilidade de cada um deles acertar é de: 1 em 6 ou ou 0,167 ou 16,7% Seja um evento A de espaço amostral finito E (não vazio). A probabilidade de ocorrer o evento A é a razão entre o número de elementos de A e o número de elementos de E. Indicando por: n(A) o número de elementos de A, n(E) o números de elementos de E e P(A) a probabilidade de ocorrer A Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  11. PROBABILIDADE Como consequência imediata da definição, temos: 0 ≤ P(A) ≤ 1 ou 0% ≤ P(A) ≤ 100% Nos casos extremos: Probabilidade 0 – o evento nunca ocorre nesse experimento: é um acontecimento impossível; Probabilidade 1 – o evento sempre ocorre sempre nesse experimento: é um evento certo. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  12. PROBABILIDADE • Exemplos: • a) Jogando um dado e observando a face de cima, temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Temos que: n(E) = 6 e a probabilidade dos seguintes eventos: • 1) Obtenção de face de número par => A = {2, 4, 6} • 2) Obtenção de face de número menor que 5 => B = {1, 2, 3, 4} Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  13. PROBABILIDADE Exemplos: b) Jogando dois dados, simultaneamente, temos o espaço amostral: Com n(E) = 36 e a probabilidade do seguinte evento: 1. Obtenção de soma 5 => A = {(4,1), (3,2), (2,3), (1,4)}, n(A) = 4 Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  14. EXERCÍCIOS • 1) Joga-se um dado honesto de seis faces e lê-se o número da face voltada para cima. Calcular probabilidade de se obter: • a) O número 5. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  15. EXERCÍCIOS • 1) Joga-se um dado honesto de seis faces e lê-se o número da face voltada para cima. Calcular probabilidade de se obter: • b) Um número ímpar. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  16. EXERCÍCIOS • 1) Joga-se um dado honesto de seis faces e lê-se o número da face voltada para cima. Calcular probabilidade de se obter: • c) Um número menor que 8. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  17. EXERCÍCIOS • 1) Joga-se um dado honesto de seis faces e lê-se o número da face voltada para cima. Calcular probabilidade de se obter: • d) Um número maior que 6. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  18. EXERCÍCIOS • 2) Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o número escolhido ser primo ou quadrado perfeito é: Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  19. EXERCÍCIOS • 3) Jogamos dois dados. A probabilidade de obtermos pontos iguais nos dois é: • a) 1/3 b) 5/36 c) 1/36 d) 1/6 e) 7/36 Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  20. EVENTOS COMPLEMENTARES Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação: p + q = 1  Obs. Numa distribuição de probabilidades o somatório das probabilidades atribuídas a cada evento elementar é igual a 1 onde p1 + p2 + p3 + ... + pn = 1. Exemplo: sabemos que a probabilidade de tirar 4 no lançamento de um dado é p = . Logo a probabilidade de não sair 4 no lançamento de um dado é: Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  21. EVENTOS INDEPENDENTES Quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. Exemplo: Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. Então qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado? Assim, sendo P1 a probabilidade de realização do primeiro evento e P2 a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula: Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  22. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o evento "tirar coroa" são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza. Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  23. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4? Os dois eventos são mutuamente exclusivos então:  Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  24. EXERCÍCIOS • 4) Qual a probabilidade de um casal ter 3 filhos e todos eles serem meninos? Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  25. EXERCÍCIOS • 5) Qual a probabilidade de um casal ter 3 filhos todos do mesmo sexo? Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  26. EXERCÍCIOS • 6) Em uma prova de múltipla escolha com 5 alternativas por questão, qual a probabilidade de um aluno acertar uma questão se ele “chuta” a resposta? • Espaço amostral  E = {a, b, c, d, e} • Como só temos uma resposta certa a probabilidade é: Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  27. EXERCÍCIOS • Em uma prova de múltipla escolha com 5 alternativas por questão, qual a probabilidade de um aluno acertar duas questão se ele “chuta” a resposta? • Espaço amostral • Como só temos uma possibilidade de acerto e 25 possibilidades diferentes, • a probabilidade de acertar é: Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  28. EXERCÍCIOS • 7) Em uma prova de múltipla escolha com 6 questões e 5 alternativas por questão, qual a probabilidade de um aluno acertar todas as questões se ele “chuta” as respostas? • Total de possibilidades = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 15 625 • Como só temos uma possibilidade de acerto e 15 625 possibilidades • diferentes, a probabilidade de acertar é: Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  29. EXERCÍCIOS • 8) Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de: • a) Em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma • bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B). • Total de bolas = 7 • Vermelhas = 5 • Brancas = 2 Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  30. EXERCÍCIOS • 8) Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de: • b) Em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca. • Total de bolas = 7 • Vermelhas = 5 • Brancas = 2 Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  31. EXERCÍCIOS • 9) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  32. EXERCÍCIOS Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  33. EXERCÍCIOS Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  34. EXERCÍCIOS Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  35. ENEM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  36. ENEM Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  37. EXERCÍCIOS 252 + x + 204 + 48 = 600 x = 600 – 504 Gostam dos dois esportes: x = 96 48 Vôlei x 252 Futebol 204 Gosta de vôlei: 252 + x = 252 + 96 = 348 Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  38. EXERCÍCIOS Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  39. EXERCÍCIOS 15) Uma caixa branca contém 5 bolas verdes e 3 azuis, e uma caixa preta contém 3 bolas verdes e 2 azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caixas. Para tanto, 2 dados são atirados. Se a soma resultante dos dois dados for menor que 4, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais casos, retira-se uma bola da caixa preta. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola verde? Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  40. EXERCÍCIOS 16) Em reportagem divulgada recentemente, realizada entre mulheres executivas brasileiras, constatou-se o fato de 90% dessas mulheres se sentirem realizadas com o trabalho que desenvolvem e de 20% delas almejarem a direção da empresa em que trabalham. Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas executivas, determine a probabilidade de essa mulher não se sentir realizada no trabalho ou não querer assumir a direção da empresa em que trabalha. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  41. EXERCÍCIOS 17) Uma pesquisa realizada em um hospital indicou que a probabilidade de um paciente morrer no prazo de um mês, após determinada operação de câncer, é igual a 20%. Se três pacientes são submetidos a essa operação, calcule a probabilidade de, nesse prazo: a) todos sobreviverem; b) apenas dois sobreviverem. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

  42. EXERCÍCIOS Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar Gomes

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