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경영과학 (Ⅰ). 제 6 장 수송모형과 할당모형. 수송모형의 특성 수송모형의 해법 수송모형의 응용 중개수송모형 할당모형. secom.hanbat.ac.kr. 수송모형 (transportation model) : 공급지와 수요지 사이의 총수송비용을 최소로 하는 수송량 결정 문제. 할당모형 (assignment model ; 짝짓기 문제 혹은 배정문제 ) 공급지의 수와 수요지 수가 동일 각 공급지와 수요지의 공급량 및 수요량이 모두 1 임.
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경영과학(Ⅰ) 제6장수송모형과 할당모형 • 수송모형의 특성 • 수송모형의 해법 • 수송모형의 응용 • 중개수송모형 • 할당모형 secom.hanbat.ac.kr
수송모형(transportation model) : 공급지와 수요지 사이의 총수송비용을 최소로 하는 수송량 결정 문제 • 할당모형(assignment model ; 짝짓기 문제 혹은 배정문제) • 공급지의 수와 수요지 수가 동일 • 각 공급지와 수요지의 공급량 및 수요량이 모두 1임 • 중개수송모형(transshipment model) : 공급지와 수요지 사이에 창고와 같은 중간 경유지가 있는 형태의 수송모형 • 형태상 네트워크 모형(network model)의 일종 • 일반적인 심플렉스법이 아닌 고유한 해법을 사용하여 최적해 도출 ▶수송모형의 특성
◁ 수송문제의 일반적 형태 ▷ ▶수송모형의 특성 C11 X11 공급량 수요량 1 1 a1 b1 : : 공 급 지 수요 지 i Xij j ai Cij bj : : am m n bn Cmn Xmn
변수 : Xij= 공급지 i에서 수요지 j로 수송할 수송량 • 목적함수(총수송비용의 최소화) Min. Z = C11X11 + … + CijXij + … + CmnXmn • 제약조건 (i) 각 공급지의 공급능력 제약 • X11 + … + X1j+ … + X1n ≤ a1 • : • Xi1 + …+ Xij+ …+ Xin ≤ ai • : • Xm1 + … + Xmj + … + Xmn ≤ am ▶수송모형의 특성 <일반적인 선형계획모형으로의 수식화>
(ⅱ) 각 수요지의 수요량 제약 • X11 + … + Xi1 + … + Xm1 ≥ b1 • : • X1j+ … + Xij + … + Xmj ≥ bj • : • X1n + … + Xin + … + Xmn ≥ bn • 균형수송모형(balanced transportation model) ☞ 총공급량과 총수요량이 동일 • 불균형수송모형 (unbalanced transportation model) : 균형수송문제로 바꾸어야만 수송심플렉스법 적용 가능 • 공급량이 더 많으면 가수요지(假需要地) 도입 • 수요량이 더 많으면 가공급지(假供給地) 도입 ▶수송모형의 특성 <일반적인 선형계획모형으로의 수식화>
▶수송모형의 해법 • 일반적인 수송표 Cij
1단계 : 균형수송문제인지를 확인하고 수송표를 만든다. ☞ 불균형수송문제이면 가공급지나 가수요지를 도입 • 2단계 : 초기해를 구한다. • ☞ 초기해를 구하는 방법 :북서코너법,최소비용법,보겔근사법 • 3단계 : 최적해인지 검토하여 아니면 해를 개선한다 (새수송표 작성) • ☞ 해의 검토와 개선을 위한 방법 : 디딤돌법,수정배분법 ▶수송모형의 해법 • 수송심플렉스법의 절차
▶수송모형의 해법 • 예제 모형 : C전자회사의 제품 수송문제 • 공장의 공급량 : 800, 600, 400 • 대리점의 수요량 : 700, 500, 400, 200 • 제품단위당 수송비(단위 : 천원)
▶수송모형의 해법 • C전자회사의 수송표
◁ 초기해를 구하는 방법 ▷ ▶수송모형의 해법 • m개의 공급지와 n개의 수요지가 있는 경우, ☞기저변수(할당되는 경로)의 수는 m+n-1 개로 유지되어야 함 • 북서코너법(northwest corner method) • 최소비용법(least cost method) • 보겔근사법(Vogel's approximation method)
▶수송모형의 해법 • 북서코너법 • 수송표의 왼쪽 상단부터 공급량과 수요량에 맞게 수송량 배정 북서코너법에 의한 초기해 • 초기 수송비용 : 3×700 + … + 8×200 = 7,500(천원)
<배정방법> 1.현재의 수송표에서 최소비용을 갖는 칸에 최대한의 양을 배정한다. 2.공급량과 수요량을 수정하되, 남은 양이 0이면 그 행이나 열을 지운다.만약 행과 열이 동시에 0이 되면 임의로 하나만 지우고, 다른 하나는 남은 양을 0으로 둔다. 3.1, 2를 반복하여 하나의 행이나 열이 남으면 공급량과 수요량에 맞게 나머지를 배정한다 ▶수송모형의 해법 • 최소비용법 • 여러 수송경로 중에서 가장 작은 비용을 갖는 경로부터 우선적으로 수송량을 배정
▶수송모형의 해법 최소비용법에 의한 초기해 • 총수송비용 :3×300 + … 1×400 = 4,500
<보겔근사법의 과정> 1. 각 행과 열에 대해 기회비용을 구한다. 기회비용 = 각 행, 열에 가장 작은 비용과 그 다음 작은 비용과의 차 2. 가장 큰 기회비용을 갖는 행(열)의 가장 작은 비용을 갖는 칸에 최대한 많은 양을 배정한다. 3. 공급량과 수요량을 수정하되, 남은 양이 0이면 그 행(열)을 지운다.만약 동시에 0이 되면 하나만 지우고, 다른 하나는 0으로 둔다. 4. 1, 2, 3을 반복하여 하나의 행이나 열이 남게 되면 공급량과 수요량에 맞게 나머지를 배정한다. ▶수송모형의 해법 • 보겔근사법 • 상대적인 비용 (기회비용)의 개념을 도입 • 최선의 수송경로를 선택하지 못할 때 생기는 상대적 손실 고려
▶수송모형의 해법 보겔근사법의 첫 번째 수송표 대리점 공장 가 나 다 라 공급량 행기회비용 1 3 4 9 2 800 1 2 7 6 1 3 600 2 3 1 400 5 4 8 400 3(선택) 수요량 700(300) 500 400 200 1,800 1 열기회비용 2 1 3
▶수송모형의 해법 보겔근사법의 두 번째 수송표
▶수송모형의 해법 보겔근사법의 세 번째 수송표
▶수송모형의 해법 보겔근사법의 네 번째 수송표
▶수송모형의 해법 보겔근사법의 의한 최종해 • 총수송비용 : 3×300 + … 1×400 = 4,300
◁ 수정배분법 : 최적여부 검사 및 해의 개선 ▷ • 수정배분법의 절차 • 1단계 : 최적여부 검사 • 각 공급지와 수요지의 제약식에 상응하는 쌍대변수를 각각 Ui, Vj • 기저변수(수송량 배정) Xij에 대해, Ui + Vj = Cij이용하여 Ui, Vj 계산 • 비기저변수(배정안된 변수)의 수정비용, Dij = Cij - (Ui + Vj) 계산 • 이 값들이 모두 음수가 아니어야만 최적해를 얻는다. • 2단계 : 진입변수 결정 • 위의Dij값 중 가장 작은 음수(절대값이 가장 큰 음수)는 변수 선택 ▶수송모형의 해법
3단계 : 탈락변수 결정 • 진입변수로부터 시작하여 기저변수들을 경유하여 제자리에 되돌아오는 폐쇄고리를 형성 • 폐쇄고리에 속한 변수들에 대해 출발점으로부터 교대로 수송량의 증가와 감소를 표시 • 감소에 해당하는 값 중 가장 작은 값을 갖는 변수를 탈락 그 값을 조정수송량으로 결정 • 4단계 : 해의 개선 • 형성된 폐쇄고리에 대해 3단계에서 정한 조정수송량을 진입변수 에서 출발하여 교대로 증가ㆍ감소시키고, • 최적해가 얻어질 때까지 위 과정을 반복한다. ▶수송모형의 해법
▶수송모형의 해법 • C전자회사 문제의 경우 • U1 = 0 → V1=3, V2= 4, V4=2 • V1 = 3 → U3 = -2, V2 = 4 → U2 = 2 ⇒ V3 = -1
▶수송모형의 해법 • 표에서 (2, 라)칸, 즉, X24의 수정비용이 음수 → 현재의 해는 최적이 아님 • 이를 중심으로 폐쇄고리 형성 : X24 → X22 → X12 →X14 → X24 • X22, 와 X14 의 값이 200으로 동일 → 이 값을 교대로 증감시켜 해를 개선
▶수송모형의 해법 수정배분법에 의해 개선된 해(최적해)
◁ 불균형수송모형 ▷ ▶수송모형의 해법 • 공급량이 수요량보다 많은 경우 • 예제 모형 : E식품회사의 청량음료 수송문제 • 생산공장의 일간 생산량 : 700, 800, 1200(상자) • 판매대리점에서 요구하는 양 : 900, 700, 400, 500(상자)상자당 수송비(단위 : 만원)
▶수송모형의 해법 • 총공급량(2,700)이 총수요량(2,500)보다 크므로 가수요지 도입 E식품회사의 초기 수송표(공급초과의 경우) • 각 공장에서 가상대리점으로의 수송비용은 0으로 취급 • 만약 각 공장에서 공급하지 못한 양에 대한 보관비용이 있거나, 보관에 따른 제약이 존재한다면 수송비용은 그에 맞게 조정
▶수송모형의 해법 E식품회사의 문제의 최적 수송표
▶수송모형의 해법 • E식품회사의 최적 수송계획 대리점 공 장 <수요량> <생산량> 700 1 900 1 700 100 2 700 700 800 2 100 3 400 400 1,200(200) 3 4 500 500 • 총수송비용 : 3×700 + … + 8×500 = 12,700(만원) • 3번 공장의 경우, 1,200상자 생산, 1, 3, 4번 대리점에 100, 400, 500 상자 공급 → 200상자는 공장에 보관
▶수송모형의 해법 • 수요량이 공급량보다 많은 경우 • 예제 모형 • 앞의 E식품회사 예제에서 대리점 3의 수요량이 900으로 증가 • 각 대리점에서는 필요한 양을 확보하지 못하게 될 때 상자당 9, 10, 8, 15의 부족비용이 발생하게 되는 경우 • ☞ 가상공장(가공급지)을 도입하고 각 대리점의 부족비용을 수송비용으로 취급
▶수송모형의 해법 E식품회사의 초기 수송표(수요초과의 경우)
▶수송모형의 해법 E식품회사의 최적 수송표 • 1, 2번 대리점은 200, 100상자씩 제품 공급 부족 • 총비용은 21,300(공급부족에 따른 비용 : 9×200 + 10×100 = 2,800총수송비용 : 8×700 + … + 7×500 = 18,500)
▶수송모형의 응용 • 예제 모형 : S섬유의 의복 생산 및 재고관리 계획(총괄생산계획) • 연중생산량을 평준화 : 비수기에 수요량보다 다소 많이 생산 <분기당 생산능력 및 연간수요와 의복 1벌당 생산비용> ► 분기 이월시, 단위당 재고비용 = 1(만원), 연도 이월 불가► 연간 총생산능력=35,000, 예상총수요 =31,000 → 공급량이 수요량을 초과하는 불균형수송문제
▶수송모형의 응용 S섬유회사 문제의 초기 수송표
▶수송모형의 응용 S섬유회사 문제의 최적 수송표
▶수송모형의 응용 • S섬유회사의 최적 생산 및 재고계획 • 1사분기의 수요량 6,000벌은 1사분기에서 전량 생산하여 공급 • 2사분기는 수요량은 4,000이지만 8,000을 생산, → 4,000벌을 3사분기의 수요에 충당 • 3사분기에도 8,000벌을 생산→ 그 중 3,000 벌은 4사분기 수요를 위해 이월 • 4사분기에는 생산능력대로 9,000벌을 생산→ 3사분기의 재고량과 함께 수요 충당 • 총괄생산계획하에서 예상되는 총비용 : 351만원
▶중개수송모형 • 공급지와 수요지 사이에 중간경유지가 있는 수송모형 • 예제 모형 : R전자회사의 수송문제 • 공장과 대리점 사이에 2곳의 창고 운영R전자회사의 수송문제 자료(금액단위 : 천원)
▶중개수송모형 • 네트워크 모형으로 표현한 R전자회사의 문제 공 장 대리점 <수요량> <생산량> 20 5 200 20 1 3 600 60 30 6 30 150 60 40 30 40 7 350 400 2 4 60 10 8 50 300 R전자회사의 중개수송모형
◁ 세가지방법 ▷ • 일반적인 선형계획법 문제로 수식화하여 푸는 방법 • 중간창고에 대한 두 제약식 추가-중간창고 3 : X13 + X23 = X35 + X36 + X37 + X38-중간창고 4 : X14 + X24 = X45 + X46 + X47 + X48 • 보통의 수송모형으로 변환시켜 푸는 방법 • 공급지에서 수요지로 직접 수송이 이루어지는 보통의 수송모형으로 변형시킨 다음 수송심플렉스법 적용 • 직접 수송심플렉스법을 적용하는 방법 • 중간창고가 수요지로서의 역할과 공급지로서의 역할을 동시에 수행하므로 수송표의 공급지와 수요지에 모두 포함 • 공급량과 수요량은 총공급량 (= 총수요량) • 공장에서 대리점으로 직접 수송할 수 없으므로 비용을 'M'으로 표시 ▶중개수송모형
▶중개수송모형 • 첫번째 방법에 의한 해 공 장 대리점 <수요량> <생산량> 200 5 200 600 1 3 600 350 6 50 150 150 7 350 400 400 2 4 250 8 300 R전자회사의 최적 수송계획
▶중개수송모형 • 두번째 방법 : 보통의 수송모형으로 변환시킨 그림 대리점 공 장 <수요량> <생산량> 40(창고3) 5 200 1 20(창고4) 600 50(창고3) 6 150 80(창고4) 50(창고3) 7 350 50(창고4) 400 2 60(창고3) 8 300 60(창고4) R 전자회사 문제의 변형된 수송모형
▶중개수송모형 • 예) 공장 1에서 대리점 5로 가는 방법 • 중간창고 3을 거치면 수송비용 : 20 +20 = 40 • 중간창고 4를 거치면 30 +40 = 70 • 따라서 중간창고 3을 거치는 수송경로만 고려 • 수송심플렉스법 적용 결과, 다음의 최적 수송표를 얻음 변형된 R전자회사 문제의 최적 수송표
▶중개수송모형 • 세번째 방법 : 직접 수송심플렉스법을 적용한 결과 R전자회사 문제의 최적 수송표
▶할당모형 • 전형적인 할당모형의 예 • 작업자와 작업 또는 기계의 할당 문제 • 판매원과 판매지역의 배정 • 연구부서와 연구과제의 배정 문제 • 할당모형 고유의 해법 : 헝가리법(Hungarian method) • 예제 모형 : S기업의 연구과제 배정문제 • 한 연구소에서 하나의 과제만을 수행해야 함 • 연구과제별 연구비신청액(단위 : 천만원)
헝가리법의 절차 • 1단계: 각 행과 열에 대하여 기회비용표를 작성한다. ☞기회비용 = 각 칸의 비용과 그 행(열)의 가장 작은 비용과의 차이 • 2단계: 각 행(열)에 대해 기회비용의 값이 0인 칸을 모두 지울 수 있는 최소 직선 수와 행(열)의 수를 비교 → 그 수가 같으면 4단계로 • 3단계: 직선의 수가 행(열)의 수보다 작으면 기회비용표를 수정 ► 직선으로 지워지지 않은 칸들의 값 중 최소값을 찾음► 직선이 지나지 않는 칸은 그 값을 빼주고, 직선의 교차점에는 더해준 다음 2단계로 돌아간다. • 4단계: 직선의 수와 행(열)의 수가 같으면 최적할당을 시작►하나의 0을 포함하는 행(열)이 있으면 그 칸에 우선적으로 배정 ► 나머지 행(열)에 대해서는 두 칸이 동시에 배정되지 않도록 할당 ▶할당모형
▶할당모형 S기업 문제에 대한 기회비용표 헝가리법의 2단계 적용 결과 • 0을 지우는 최소직선의 수가 3개로 행(열)의 수 4보다 작음
▶할당모형 헝가리법의 3단계 적용 결과 • 최소 직선의 수가 4개이므로 최적할당을 시작 • 첫 번째 행과 4번째 열이 하나의 0만을 포함하고 있으므로 우선 배정 S기업문제의 최적할당 결과
◁ 할당모형의 두가지 특수한 경우 ▷ ▶할당모형 • S기업의 최적 배정정책 : -연구과제A - 가 연구소-연구과제B - 다 연구소-연구과제C - 나 연구소-연구과제D - 라 연구소 • 연구비 총지출액은 21(천만원)이지만 기회비용은 0이다. • 두 집단의 크기가 다른 경우(불균형할당모형)►수가 적은 쪽에 가상의 개체를 도입하여 균형할당모형으로 만듬► 최적할당정책을 구하여 가상의 개체와 짝이 된 개체는 실제로는 아무 것도 할당되지 않는 것으로 처리 • 두 집단의 어느 특정한 조합은 짝이 될 수 없는 경우► 수송모형에서 차단경로를 설정한 것과 같은 경우► 해당 칸의 비용을 임의의 큰 수 'M' 으로 할당하여 해를 구함
경영과학(Ⅰ) 제6장수송모형과 할당모형 수고하셨습니다…