中世纪的中国数学（三） —— 宋元数学

1. 中世纪的中国数学（三）——宋元数学 天津师范大学初等教育学院 李林波

2. 主要内容 • 贾宪的数学成就 • 秦九韶的数学成就 • 李冶与朱世杰 • 杨辉的数学成就 • 明清数学

3. 经过“五代十国”的短期战乱，宋元时期（公元960—1368），重新统一了的中国封建社会给数学的发展带来了新的活力。这一时期涌现的优秀数学家代表有：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰，通常称为“宋元四大家”，在世界数学史上占有光辉的地位。经过“五代十国”的短期战乱，宋元时期（公元960—1368），重新统一了的中国封建社会给数学的发展带来了新的活力。这一时期涌现的优秀数学家代表有：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰，通常称为“宋元四大家”，在世界数学史上占有光辉的地位。

4. 一、贾宪的数学成就 • 北宋数学家，可以说他是宋元数学发展的“启动者”，主要的数学成就是“贾宪三角”和“增乘开方法”。他著有《黄帝九章算经细草》九卷，原书已丢失。

6. 「左袤乃积数」指左边由上而下的那一行「一 一 一 一 一 一 一」是二项展开式中常数项系数； • 「右袤乃隅算」指右边由上而下的「一 一 一 一 一 一 一」是展开式中最高次项系数； • 「中藏者皆廉」指中间那些数是对应各次项的系数； • 「以廉乘商方，命实而除之」指开方或解方程时用所得的商去乘各次项系数，再从实（常数项）中减去。

8. 杨辉之后，朱世杰《四元玉鉴》也有同样的图，名为「古法七乘方图」

9. 程大位《算法统宗》载开方作法本原图

10. 贾宪三角在西方称为“帕斯卡三角”（Pascal’s triangle），帕斯卡（1623-1662）最先用数学归纳法证明了这个数字三角形的性质，并且第一个正式指出这个数字三角是二项展开式的系数表。世界上另一个最早提出这种数字三角的是阿拉伯的数学家凯拉吉（1020年前后活跃在巴格达）

12. 增乘开方法 此法是贾宪创立的开方法，由于演算时随乘随加，所以叫“增乘开方法”。由于所求的每一位商都是有关数位上的数字，所以操作时涉及到缩根、退位。这一方法与现代霍纳法是一致的。 例，求 1860867 的立方根。

13. 最高项系数是负数的高次方程的解法，并给出带从开方最高项系数是负数的高次方程的解法，并给出带从开方 10次方程但有“实常为负”的要求 秦九韶（1247） 贾宪 刘益 1113年之后 李冶（1248） 朱世杰 （1303） 对开方法作了重要补充 高次方程的各项系数可正可负 中国古代数学中独特的代数学理论

14. 二、秦九韶的数学成就 • 秦九韶（1202-1261）是宋元时期最著名的数学家之一。美国当代科学史家萨顿曾说过秦九韶是“他那个民族，他那个时代、并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。秦九韶的著作是《数书九章》。

16. 文澜阁四库全书本《数书九章》书影

17. 秦九韶最著名的或最重大的数学成果是一次同余式组解法和高次数字方程解法。秦九韶最著名的或最重大的数学成果是一次同余式组解法和高次数字方程解法。

18. 一次同余式组解法 在《数书九章》的第一卷就给出一次同余式组的解法，此法称为“大衍总数术”，它是《孙子算经》中“物不知数”问题的一般化。

19. 中国剩余定理 设 （ ）， ， 则同余组 （ ） 的解为 。其中 满足

20. 其中 称为“定母”，M 称为“衍母”， 称为“衍数”； 称为“乘率”。 • 大衍求一术 用中国剩余定理解一次同余组问题的关键在于求解同余式：

21. 秦九韶大衍求一术求同余式 的程序：

22. 大衍求一 术云：置奇右上，定居右下，立天元一于左上。

23. 先以 右上除右下，所得商数与左上一相生，入左下。

24. 然后乃以右行上下以少除多，递互除之，所得商数随即递互累乘，归左行上、下。然后乃以右行上下以少除多，递互除之，所得商数随即递互累乘，归左行上、下。

29. 须使右上末后奇一而止，乃验左上所得，以为乘率。须使右上末后奇一而止，乃验左上所得，以为乘率。

30. 《数书九章》卷一“推计土功”题：

31. 《数书九章》卷二“余米推数”题： “问有米铺诉被盗去米一般三箩，皆适满，不记细数。今左壁箩剩一合，中间箩剩一升四合，左壁箩剩一合。后获贼，系甲、乙、丙三名。甲称当夜摸得马勺，在左壁箩满舀入布袋；乙称踢着木履，在中箩舀入袋；丙称摸得漆碗，在右边箩舀入袋；将归食用，日久不知数。索得三器：马勺满容一升九合；木履容一升七合；漆碗一升二合，欲知所失米数，计赃结断三盗各几何。”

32. 相当于求同余组 衍母： 衍数： 乘率：

33. 高次数字方程解法 秦九韶《数书九章》中总结和巩固了前人（贾宪、刘益等）的开方法，整齐而有系统的应用到任意次方程的有理根或无理根的求解上去，实质上和“霍纳法”相同。霍纳在1819年发表其方法，晚于秦九韶572年。

34. 下面用一个例子来说明，卷六“环田三积”题得出一个4次方程下面用一个例子来说明，卷六“环田三积”题得出一个4次方程

37. 0.56162383

38. 秦九韶“三斜求积”公式 不难证明这个公式和海伦公式是等价的。

39. 三、李冶（1192-1297）

40. 李冶（1192-1279）原名李治。金真定栾城县（今河北省栾城县之北）人。1230年考入进士，出任钧州（今河南禹县）的知州。1232年被蒙古士兵占领，李冶微服北渡，流落在忻（xin）、崞（今山西太原北）之间。起初隐居在崞山桐川，埋头研究数学。1248年著成《测圆海镜》十二卷。1251年住到元氏（今河北元氏县）的封龙山，聚集门徒讲学，直到1279年以87岁的高龄去世。他的著作还有《益古演段》三卷(1259).李冶（1192-1279）原名李治。金真定栾城县（今河北省栾城县之北）人。1230年考入进士，出任钧州（今河南禹县）的知州。1232年被蒙古士兵占领，李冶微服北渡，流落在忻（xin）、崞（今山西太原北）之间。起初隐居在崞山桐川，埋头研究数学。1248年著成《测圆海镜》十二卷。1251年住到元氏（今河北元氏县）的封龙山，聚集门徒讲学，直到1279年以87岁的高龄去世。他的著作还有《益古演段》三卷(1259).

42. 《测圆海镜》清抄本书影

44. （李冶）“吾生平著述，死后可尽燔（fan）去，独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾尝静思致力于此，后世必有知者。”（李冶）“吾生平著述，死后可尽燔（fan）去，独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾尝静思致力于此，后世必有知者。” • 他在自序(1248年9月末)里说《测圆海镜》是根据洞渊“九容”之说推衍而得。

45. 今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？答曰：六步。术曰：八步为勾，十五步为股，为之求弦。三位并之为法，以勾成股，倍之为实。实如法得径一步。(“勾股容圆”问题)今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？答曰：六步。术曰：八步为勾，十五步为股，为之求弦。三位并之为法，以勾成股，倍之为实。实如法得径一步。(“勾股容圆”问题)

46. 后来朱世杰在《四元玉鉴》卷中之五：“今有圆城不知大小，各中开门。甲、乙俱从城心而出，甲出南门一十五步而立，乙出东门四十步见甲，问城几何？”后来朱世杰在《四元玉鉴》卷中之五：“今有圆城不知大小，各中开门。甲、乙俱从城心而出，甲出南门一十五步而立，乙出东门四十步见甲，问城几何？”

47. 所谓“九容”，是洞渊推广“勾股容圆”的九个题目。后来李冶将“九容”大加阐发，共得170问，编成《测圆海镜》（1248）一书，广泛使用了“天元术”。所谓“九容”，是洞渊推广“勾股容圆”的九个题目。后来李冶将“九容”大加阐发，共得170问，编成《测圆海镜》（1248）一书，广泛使用了“天元术”。

48. 宋、元的“天元术”，相当于现在的代数或方程论。宋、元的“天元术”，相当于现在的代数或方程论。 • 现存数学中的“天元”的名称，最早见于秦九韶的大衍求一术。李冶的《测圆海镜》和《益古演段》明确的用天元来表示未知数x。

49. “立天元一”是设未知数为x，以常数项为“太极”，在旁边记“太”字，x的系数旁边记“元”字。“立天元一”是设未知数为x，以常数项为“太极”，在旁边记“太”字，x的系数旁边记“元”字。 • 《测圆海镜》规定常数项（太）在一次项（元）的下面，和《益古演段》及其他作者的“元在太下”正好相反。元下必太，太上必元。固有元字，不记太字，有太字不记元字。每一层的次数比下一层多1。