1 / 30

MATEMATIKA 03

MATEMATIKA 03. Mgr. Marie Mikolášová. Určování význačných vlastností funkce. Monotónnost funkce Lokální extrémy funkce Konvexnost a konkávnost funkce Inflexní bod Asymptoty funkce. Monotónnost a 1. derivace. Nechť funkce f(x) je spojitá na (a,b)

tacita
Download Presentation

MATEMATIKA 03

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. MATEMATIKA 03 Mgr. Marie Mikolášová

  2. Určování význačných vlastností funkce • Monotónnost funkce • Lokální extrémy funkce • Konvexnost a konkávnost funkce • Inflexní bod • Asymptoty funkce

  3. Monotónnost a 1. derivace • Nechť funkce f(x) je spojitá na (a,b) • Funkce f(x) je rostoucí na (a,b) právě tehdy když f´(x)>0 pro všechna • Funkce f(x) je klesající na (a,b) právě tehdy když f´(x)< 0 pro všechna

  4. Lokální extrémy • Funkce f(x) má v bodě lokální minimum bodu x0, že • Funkce f(x) má v bodě lokální maximum bodux0, že

  5. Lokální extrémy a 1. derivace • Stacionární bod – bod x0, v němž f´(x0)=0. V něm může nebo nemusí nastat lokální extrém. • Lokální minimum (maximum) v bodě x0 • f´(x0)=0 • Funkce f(x) je v bodě x0 spojitá • V levém okolí bodu x0 je f´(x)<0 (f´(x) >0),v pravém okolí bodu x0 je f´(x) >0 (f´(x)<0)

  6. Monotónnost a derivace, lokální extrémy – příklad 1

  7. Monotónnost a derivace – příklad 2

  8. Lokální extrémy a 2. derivace • Nechť f´(x0)=0 • Nechť existuje v bodě x0 druhá derivace f´´(x0) • Je-li f´´(x0) >0, pak má funkce v bodě x0 lokální minimum • Je-li f´´(x0) < 0, pak má funkce v bodě x0 lokální maximum

  9. Lokální extrémy a druhá derivace – příklad 2

  10. Konvexnost a konkávnost funkce v bodě • Funkce f má derivaci v bodě x0derivaci • Funkce je v okolí bodu x0 konvexní,jestliže existuje takové okolí bodu x0, že pro všechna x≠ x0 leží body grafu funkce „nad tečnou“ sestrojenou v bodě x0 • Funkce je v okolí bodu x0 konkávní,jestliže existuje takové okolí bodu x0, že pro všechna x≠ x0 leží body grafu funkce „pod tečnou“ sestrojenou v bodě x0

  11. Konvexnost a konkávnost funkce v intervalu I • Funkce je konvexní v intervalu I, jestliže je konvexní v každém bodě tohoto intervalu • Funkce je konkávní v intervalu I, jestliže je konkávní v každém bodě tohoto intervalu

  12. Konvexnost a konkávnost funkce a 2. derivace • Je-li f´´(x0) >0, pak je funkce v bodě x0konvexní • Je-li f´´(x0) <0, pak je funkce v bodě x0konkávní • Je-li f´´(x) >0 v každém bodě intervalu I, pak je funkce f v intervalu I konvexní • Je-li f´´(x) <0 v každém bodě intervalu I, pak je funkce f v intervalu I konkávní

  13. Inflexní bod funkce f • Nechť funkce f má v bodě x0 derivaci • Graf funkce f v tomto bodě přechází z polohy „nad tečnou“ do polohy „pod tečnou“ • Je-li x0 inflexním bodem a má-li funkce v tomto bodě 2. derivaci, pak f´´(x0)=0

  14. Inflexní bod funkce • Nechť funkce f má 2. derivaci v každém okolí bodu x0 • Nechť druhá derivace funkce má v levém a pravém okolí bodu x0 různá znaménka • Pak bod x0 je inflexním bodem funkce f

  15. Konvexnost, konkávnost funkce

  16. Asymptoty grafu funkce f • Asymptoty bez směrnice • Rovnoběžky s osou y; x=a • Bod • Funkce f má v bodě a aspoň jednu jednostrannou nevlastní limitu • Asymptoty se směrnicí

  17. Asymptota se směrnicí • Přímka o rovnici y = ax + b

  18. Průběh funkce • Definiční obor; funkce sudá, lichá, periodická • Jednostranné limity v bodech, v nichž funkce není definována • Limity v nevlastních bodech • Průsečíky s osami x a y • Výpočet 1. derivace, nulové body první derivace, body, v nichž 1. derivace není definována

  19. Průběh funkce • Lokální extrémy, intervaly monotónnosti • Výpočet 2. derivace, nulové body 2. derivace a body, v nichž není def. • Intervaly konvexnosti, konkávnosti, inflexní body • Asymptoty svislé, šikmé • Graf funkce

  20. Průběh funkce – příklad 1

  21. Průběh funkce – příklad 2

  22. Obsah rovinného útvaru • Obsah útvaru omezeného • osou x, přímkami x=a, x=b • grafem spojité nezáporné funkce v uzavřeném intervalu <a,b>

  23. Obsah rovinného útvaru • Obsah útvaru omezeného • osou x, přímkami x=a, x=b • grafem spojité nekladné funkce v uzavřeném intervalu <a,b> • S =

  24. Obsah rovinného útvaru • Obsah útvaru omezeného • Křivkami y = f(x), y = g(x), f(x)≤g(x) • Pro všechna

  25. Užití určitého integrálu k výpočtu obsahu ploch Vypočtěte obsah plochy vymezené grafem funkce: y=x2 , osou x a přímkou x=2

  26. Výpočet obsahu rovinného útvaru – užití určitého integrálu Vypočtěte obsah rovinného útvaru vymezeného grafem funkce f; y= sin x a osou x

  27. Výpočet obsahu rovinného útvaru – určitý integrál Vypočtěte obsah rovinného útvaru vymezeného grafem funkce f; y = - x2 a osou x

  28. Výpočet obsahu rovinného útvaru – určitý integrál Vypočtěte obsah rovinného útvaru vymezeného grafem funkce f; y = x2 – 2x a osou x

  29. Obsah rovinného útvaru ohraničeného grafy 2 funkcí Vypočtěte obsah plochy ohraničené grafy dvou funkcí f; y = x2 – 2x a g; y = 4x – x2

  30. Obsah rovinného útvaru ohraničeného grafy 2 funkcí Vypočtěte obsah plochy ohraničené grafy dvou funkcí f; y = x2 + 3 a g;y = 2x2 + 3

More Related