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7.4 子空间. 1 ．理解并掌握子空间的概念. 2 ．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3 ．掌握子空间的交与和的概念. １．子空间的概念.
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7.4 子空间 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念.
１．子空间的概念 设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空子集.对于W 中任意两个向量α，β，它们的和α+β是V中一个向量. 一般说来，α+β不一定在W 内.如果W中任意两个向量的和仍在W内，那么就说，W对于V的加法是封闭的. 同样，如果对于W中任意向量α和数域F中任意数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与向量的乘法是封闭的.
证W对于V的加法以及标量与向量的乘法的封闭性证W对于V的加法以及标量与向量的乘法的封闭性 保证了向量空间定义里的条件(i),(ii)成立.(iii)中的算律 1），2）和算律5），6），7），8）既然对于V中任意 向量都成立，自然对于W中的向量也成立.唯一需要 验证的是(iii)中的条件3）和4） .由于W对于标量与 向量的乘法的封闭性和命题6.1.2, 对于 , 所以V中的零向量属于W，它自然也是W的零向量， 并且 .因此条件3),4)也成立. 定理7.4.1 设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本身也作成上一个向量空间.
定义1 令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W是V 的一个子空间. 由定理7.4.1，V的一个子空间也是F上一个向量空间，并且一定含有V的零向量。
例１ 向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单独一个零向量所成的集合{0}显然对于V的加法和标量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间，称为零空间。 一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。V的非平凡子空间叫做V的真子空间。 例２ 在空间V2里，平行于一条固定直线的一切向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作成V3的子空间(6.1,例1)。
中一切形如 的向量作成 的一个子空间。 例３ 例４ F [x]中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连同零多项式一起作成F [x]的一个子空间。 例５ 闭区间[a,b]上一切可微分函数作成C [a,b]的一个子空间。
２．子空间的判定 定理7.4.2向量空间W的一个非空子集W是V的一个子空间，当且仅当对于任意a,b∈F和任意α,β∈W，都有aα+bβ∈W 证 如果Ｗ是子空间，那么由于W对于标量与向量的乘法是封闭的，所以对于a,b∈F， α,β∈W，都有aα,bβ∈W.又因为Ｗ对于Ｖ的加法是封闭的，所以aα+bβ∈W． 反过来，如果对于任意的a,b∈F， α,β∈W，都有aα,bβ∈W，取a=b=1,就有α＋β∈W；取b=0,就有aα ∈W．这就证明了Ｗ对于Ｖ的加法以及标量与向量的乘法的封闭性．
设V是数域F上的一个向量空间. 考虑 的一切线性组合所成的集合。这个集合显然不空，因为零向量属于这个集合.其次,设 那么对于任意 那么对于任意 这子空间叫做由 所生成的子空间,并且用符号 表示,向量 叫做这个子空间的一组生成元. 仍是 的一个线性组合．因此， 的一切线性组合作成Ｖ的一个子空间． 仍是 的一个线性组合．因此， 的一切线性组合作成Ｖ的一个子空间．
看 如下的n个向量: 这里除 第 i 位置是1外,其余位置的元素都是零. 令 是 中任意一个向量。我们有 因此, , 而 是 的一组生成元. 例1
F [x]在里,由多项式 所生成的子空间是 例2 就是F上一切次数不超过n的多项式连同零多项式所生成的子空间.
设 是向量空间V的一组不全为零的向量,而 是它的一个极大无关组.那么 根据这个定理,如果子空间 不等于零空间, 那么它总可以由一个线性无关的生成元生成. 设 是向量组 的一个极大无关组.由命题6.3.2,子空间 的每一个向量都可以由 线性表示.另一方面， 的任意一个线性组合自然是 中的向量. 定理7.4.3 于是有
事实上， 任取 则有 同时有 故 为V的子空间. ３．子空间的交与和 子空间的交 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 也为V的子空间， 称之为V1与V2的交.
为线性空间V的子空间，则集合 也是Ｖ的子空间，称为 的交． 推广－多个子空间的交
子空间的和 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 称之为V1与V2的和. 也为V的子空间， 事实上， 任取 设 其中， 则有
为线性空间V的子空间，则集合 也为V的子空间，称为 的和. 推广－多个子空间的和
定理7.4.6 设Ｗ和Ｗ都是数域Ｆ上向量空间Ｖ的有限维子空间．那么Ｗ＋Ｗ也是有限维的，并且 dim（Ｗ＋Ｗ） ＝dimＷ＋dimＷ－dim（Ｗ∩Ｗ）
定义3设 是向量空间 的一个子空间. 的子空间 叫作 的一个余子空间，如果 （i） （ii） 在这一情形，就说 是子空间 与 的直和，并且记作 . 很明显，如果 是 的一个余子空间，那么 也是 的 一个余子空间.
例：在 里，取 容易看出 和 都是 的子空间，并且互为余子空间.
证：显然 .如果 还可以表成 定理7.4. 7 设向量空间V是子空间W与W′的直和 . 那么V中每一向量 可以唯一地表成 ′ W W′. 那么 ， 或 . 最后等式左端的向量属于 ，而右端的向量属于 . 由于 ，所以 即 . .
证：当 或 时，定理显然成立.设 令 是子空间 的一个基. 由定理6.4.4，存在 个向量 ，使得 构成 的一个基. 取 .显然 . 如同定 理6.4.5的证明一样，容易证明 . 所以 是 的一个余子空间。 定理 7.4.8 n维向量空间V的任意一个子空间W都有余子空间 , 如果W′是W的一个余子空间 , 那么 dimV = dimW + dimW′.
４．课堂练习与作业 课堂练习 1、3、4、6、 作业 2、5
