建筑力学与结构

建筑力学与结构 制作：张银华

第4章静定平面桁架

第1节桁架的概念及特点 一、概述桁架结构是指各杆两端都是铰相连接的结构。这种结构在土木工程中有着广泛的应用，尤其是在大跨度结构中，桁架更是一种重要的结构形式。是水利、建筑、桥梁等工程中广泛使用的一种结构。特别是随着现代工业的发展，大跨度结构不断出现，桁架就成为经常采用的结构形式。武汉、南京的长江大桥，其主体结构就是用钢桁架建成。水利工程中的大型闸门的支撑结构也是桁架形式。返回上一页下一页

钢结构桁架

钢筋桁架楼承板

木桁架桥

桁架桥

桁桥由于桁架的主要内力为轴力，在杆件的横截面上分布均匀，这样杆件的材料可以得到充分利用，故与同跨度的梁相比，具有自重轻、承载大的特点，因此桁架大多被大跨度结构采用。返回上一页下一页

桁架一般可分为平面桁架和空间桁架两种类型。桁架一般可分为平面桁架和空间桁架两种类型。平面桁架：各杆的轴线和荷载作用线位于同一平面内的桁架，称为平面桁架。实际工程中的桁架都是空间桁架，但可简化为平面桁架来分析。在桁架中,实际上在结点荷载作用下各杆的内力主要是轴力,而弯矩、剪力都较小。一般情况下可不考虑弯矩和剪力，就是把结点看成理想铰结点，即桁架各杆都是用理想铰联结起来的。因此，在平面桁架计算中采用以下假设：

根据桁架的实际工作情况和对桁架的实验及理论分析在取桁架的计算简图时，作如下假设：根据桁架的实际工作情况和对桁架的实验及理论分析在取桁架的计算简图时，作如下假设：（1）桁架的结点都是无摩擦的理想铰结点；（2）各杆轴线都是直线，并通过理想铰的中心；（3）杆件自重不计；（4）荷载与支座反力都作用在结点上，并在桁架平面内。符合上述假设的桁架称为理想桁架。理想桁架中杆件的内力都是轴力。必须指出，实际桁架的结点并不是理想铰结点，结点都有一定的刚性，桁架杆件在制造时也难于保证绝对平直，各杆轴线不能完全交于一点。（图4.2了解桁架）

钢屋架 钢筋混凝土屋架返回上一页下一页

根据以上三条假设，图示的房屋中的钢屋架和钢筋混凝土屋架可简化成桁架。每根杆件均为二力直杆，在杆的横截面上只会产生轴力。根据以上三条假设，图示的房屋中的钢屋架和钢筋混凝土屋架可简化成桁架。每根杆件均为二力直杆，在杆的横截面上只会产生轴力。返回上一页下一页

　　桁架的杆件依据所在的位置不同分别给予不同的名称。上边的各杆称上弦杆，下边各杆称为下弦杆，中间部分各杆则称为腹杆，而腹杆又可以分为竖杆和斜杆。　　桁架的杆件依据所在的位置不同分别给予不同的名称。上边的各杆称上弦杆，下边各杆称为下弦杆，中间部分各杆则称为腹杆，而腹杆又可以分为竖杆和斜杆。返回上一页下一页

FP 桁高h FP FP FP FP FP/2 FP/2 上弦杆斜杆竖杆下弦杆节间d 结点跨度l 返回上一页下一页

桁架的分类 实际工程中的桁架主要是简单桁架或联合桁架，这两种桁架可由力学中的汇交力系与一般力系的平衡条件求出杆件内力。常用桁架的几何组成有两条方式，即由三角形组成的桁架，称为简单桁架；由两个简单桁架用一个铰和一根链杆联结，称为联合桁架。其他的桁架形式称为复杂桁架，这种桁架本书不作讨论。

第2节结点法计算桁架杆件内力 　　静定桁架的内力计算主要有两种方法。 1．结点法　　所谓结点法就是取桁架的结点为脱离体，利用结点的静力平衡方程求出各杆的内力。桁架各杆只承受轴力，作用于任一结点的各轴力必然组成一个平面汇交力系，可以列出两个平衡方程，每次只能求解两个未知力。　　在实际应用中，可先由整体平衡方程求出各支座反力，然后从未知力数不超过两个的结点开始计算，依次就可以算出桁架中各杆的内力。在计算中，一般先假设桁架各杆的轴力为拉力，若计算结果为负值，则说明为压力。返回上一页下一页

零杆判断 （c）（a）（b）（d）   在计算桁架内力之前，有些情况下可以不经过计算即可判断某些杆件的内力，从而使计算得以简化。 (1)两杆汇交的结点上无荷载作用时，该两杆的内力都等于零(图a)。内力为零的杆称为零杆。 (2)三杆汇交的结点上无荷载作用时，如果其中两杆共线，则第三杆必为零杆(图b)。共线的两杆内力相等。 (3)四杆汇交的结点上无荷载作用时，如果其中每两杆共线，则共线两杆内力相等(图c)。 (4)四杆汇交的结点上无荷载作用时，如果其中两杆共线并和另两杆的夹角相等，则夹角相等的两杆内力大小相等，符号相反(图d)。如图 d所示，在该结点上由∑Fy=0，-FN4sin- FN3sin=0， FN3=-FN4 如图 c所示，在该结点上由∑Fy=0，FN4sin-FN3sinα=0， FN3= FN4；由∑Fx=0，得FN1= FN2 如b所示，在该结点上由∑Fy=0，得FN3=0；由∑Fx=0，FN2-FN1=0，得FN1= FN2 如图a所示，在该结点上由∑Fy=0，得FN2=0；由∑Fx=0，得FN1=0， FN4 FN3=-FN4 FN1= FN2 FN1 FN1 FN1 FN2 FN1=0 FN2 FN2 y FN1= FN2 FN3= FN4 FN2=0 FN4 FN3 FN3=0 FN3 x 返回

C A B O 注意：桁架中的零杆，不承担载荷，只起到维持结构几何稳定性的作用。故虽列平衡方程时零杆不起作用，但不可将零杆去掉。判断结构中的零杆和等轴力杆。

③ ④ ② ⑤ 11 ⑩ 12 ⑨ ⑧ 13 14 ⑥ ① ⑦ 15 16 17 18 19 20 21 C A B O 此桁架整体为静定结构（简支）桁架

③ ④ ② ⑤ 11 ⑩ 12 ⑨ ⑧ 13 14 ⑥ ① ⑦ 15 16 17 18 19 20 21 C A B O 对整体列平衡方程：

③ ④ ② ⑤ 11 ⑩ 12 ⑨ ⑧ 13 14 ⑥ ① ⑦ 15 16 17 18 19 20 21 C 零杆：⑦，⑧，⑨，13，14，15 等轴力杆：16 = 17 = 18 = 19 = 20 = 21 ⑩ = 12 A B O 0 0   0 0 0 0 判断零杆和等轴力杆： ③= ④ ①=②=⑤=⑥

结点法的求解步骤： （1）先列桁架整体的平衡方程，求出支座约束力。（2）依次对各节点取分离体列平衡方程。（3）首先取只有二杆的节点，再依次取只有二个未知力的节点。（4）各杆内力统一设为拉力（即各节点处力矢从节点向外）。

20kN 20kN 20kN C 10kN E 10kN D 2m α B A G H F 4×2m=8m [例]一屋架的尺寸及所受荷载如图所示，试用结点法求每根杆的内力。 [解] (1) 求支座反力。 FRA ∑MA（F）=0， FRB×8m －10kN×8m－20kN×6m－20kN×4m－20kN×2m＝0 FRB＝40kN （↑） ∑Fy=0， FRA+ FRB－10kN－20kN－20kN－20kN－10kN＝0 FRA＝40kN （↑） FRB (2)计算杆件内力先对桁架各结点进行判断可知FNDF= FNEH=0，FNAF= FNFG，FNHG= FNBH。由于本例中结构和荷载都是对称的，所以左右两边对称位置杆件的内力必然相等，因而只需计算半个屋架即可。其中返回上一页下一页

20kN 20kN 20kN C 10kN E 10kN D 2m α B A G H F FRA 4×2m=8m FRB 10kN 20kN  D α A  解 (1) 求支座反力。例一屋架的尺寸及所受载荷如图所示，试用结点法求每根杆的内力。 FRB＝40kN （↑）； FRA＝40kN （↑） (2)计算杆件内力 FNDF= FNEH=0，FNAF= FNFG，FNHG= FNBH FNAD FNDC ⅰ)取A点为研究对象 y FNDA FNAF FNDG ∑Fy=0， FNADsin+40 kN－10 kN＝0 FNAD＝30kN/0.447=－67.1 kN（压） ∑Fx=0， FNADcos+FNAF＝0 FNAF= FNADcos=67.1 kN ×0.894=60 kN（拉） x ⅱ)取D点为研究对象 ∑Fx=0， FNDAcos+FNDCcos+FNDGcos＝0 ∑Fy=0， FNDAsin+FNDCsin－FNDGsin－20 kN＝0 解得 FNDC＝－44. 7 kN（压） FNDG＝－22. 4 kN（压）返回上一页下一页

20kN 20kN 20kN C 10kN E 10kN D 2m  B A G H F FRA 4×2m=8m FRB 10kN 20kN 20kN FNDC C  D α  A  FNDA α FNDG 20 20 20 -44.7 -44.7 10 20 10 -67.1 -67.1 -22.4 -22.4 0 0 60 60 60 60 40 单位：kN 40 解 (1) 求支座反力。例一屋架的尺寸及所受载荷如图所示，试用结点法求每根杆的内力。 FRB＝40kN （↑）； FRA＝40kN （↑） (2)计算杆件内力 FNDF= FNEH=0，FNAF= FNFG，FNHG= FNBH FNAD ⅰ)取A点为研究对象 y FNAF FNAD=－67.1 kN（压）； FNAF=60kN（拉） ⅱ)取D点为研究对象 FNDC＝－44. 7 kN（压）； FNDG＝－22. 4 kN（压） FNCE FNCD x FNCG ⅲ)取C点为研究对象最后将各杆件的内力标在图上，其中正号表示拉力，负号表示压力。 ∑Fx=0， FNCDcos－FNCEcos＝0 FNCD＝FNCE＝－44. 7 kN ∑Fy=0，－FNCDsin－FNCEsin－FNCGsin－20 kN＝0 FNCG＝20 kN（拉）返回上一页下一页

复习 1.桁架的特点。（1）桁架的结点都是无摩擦的理想铰结点。（2）各杆轴线都是直线，并通过理想铰的中心。（3）荷载与支座反力都作用在结点上，并在桁架平面内。

2. 节点法的求解步骤： （1）先列桁架整体的平衡方程，求出支座约束力。（2）依次对各节点取分离体列平衡方程。（3）首先取只有二杆的节点，再依次取只有二个未知力的节点。（4）各杆内力统一设为拉力（即各节点处力矢从节点向外）。

1）无主动力的三杆节点，其中二杆共线 等轴力杆 2）无主动力的不共线二杆节点 3）不共线的二杆节点，主动力沿其中一杆 3.零杆的判断方法。 0杆 0杆 0杆 0杆

还可利用对称性： 等轴力杆等轴力杆无主动力，共线的二杆节点或两两共线的四杆节点两对等轴力杆

第3节截面法计算桁架杆件内力 用一假想截面将需求内力的杆件截断，使桁架成为两部分，取其中的一部分为分离体，由平衡方程就可解出杆件内力。由于分离体上的力属于平面一般力系，有三个独立的方程，能求解三个未知量，因此，每次截断的杆件一般不得超过三根，且三根杆件不得交于一点或者互相平行。

n 20kN 20kN 20kN C 10kN E 10kN D 2m  B A G H F FRA 4×2m=8m FRB 20kN 10kN D  A F FRA 例试用截面法求例中DC、DG、FG杆的内力。解 (1) 求支座反力。 FRB＝40kN （↑）； FRA＝40kN （↑） n (2)计算杆件内力 FNDC 用截面n-n将杆件DC、DG、FG截断，取左半桁架为研究对象 FNDG G FNFG ∑MA（F）=0，－FNDG sin×2m－FNDG cos×1m－20kN×1m＝0 FNDG＝－22.4kN （压） ∑MD（F）=0， FNFG×1m－FRA×2m+10×2m＝0 FNFG＝60kN （拉） ∑MG（F）=0，－FNDC sin×4m－FRA×4m+10kN×4m+20kN×2m＝0 FNDG＝－44.7kN （压）返回上一页下一页

12kN H 11 G 10 3m 9 12kN F 8 E 6 7 5 3m 4 D C 3 2 3m 1 B A 4m 20kN G H 20kN F E 0 = 0 解 (1)对桁架各结点进行判断，例求图示桁架中，指定杆件的内力。 △ = = Ⅰ Ⅰ 可知FN1= FN4= FN9= FN11=0，FN2= FN5，FN3=－FN6对于指向F结点上的外力，可视为一根压杆则FN7= FN10，FN8=－12kN。 0 △ = 0 (2)计算杆件内力用截面I-I截面，取桁架上半部分为研究对象 ∑MD＝0， ―FN5×4m－20kN×6m―20kN×3m＝0 F N5＝－45kN（压） ∑ME＝0， ―FN7×4m＋20kN×3m＝0 F N7＝15kN（拉） ∑Fx＝0， F N6×4/5―20kN―20kN＝0 F N6＝50kN（拉） FN2=－45kN（压），FN3=－50kN（压），FN10=15kN（拉） y FN5 FN7 FN6 D x 返回上一页下一页

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