第三章 静磁场 Static magnetic field

1. 第三章 静磁场 Static magnetic field

2. 稳恒电流激发静磁场，在稳恒电流的条件下，导体内及其周围空间中，也存在静电场，此时的电场与电流的关系为稳恒电流激发静磁场，在稳恒电流的条件下，导体内及其周围空间中，也存在静电场，此时的电场与电流的关系为 式中为电导率。但是，静电场和静磁场之间并无直接的关系。 本章所要研究的与静电问题类似，静磁问题中最基本的问题是：在给定电流分布（或给定外场）和介质分布的情况下，如何求解空间中的磁场分布。

3.    本 章 主 要 内 容 稳恒电流分布的必要条件 稳恒电流体系的电场 矢势及其微分方程 磁标势 磁多极矩 阿哈罗诺夫—玻姆效应   

4. §3.1 稳恒电流分布的必要条件 Essential condition of steady current profile

5. 电荷在导体内稳恒流动，导体内部将会不断地产生焦耳热，即电磁能将不断地损耗。根据能量守恒方程电荷在导体内稳恒流动，导体内部将会不断地产生焦耳热，即电磁能将不断地损耗。根据能量守恒方程 由于稳恒条件要求

6. 且有 当存在外来电动力场时，则 故 故有

7. 该式的物理意义是： 外来电动力场所作的功等于体系内焦耳热损耗和从体系的界面流出去的能量的总和。因此，体系要保持电荷稳恒流动的必要条件是必须要有外来的电动力（即外来电动势）。

8. §3.2稳恒电流体系的电场 Electric field of steady current system

9. 根据Maxwell's equation,稳恒电流 及其电场所满足的方程为： 在导体内流有电荷的情况下，我们并不知道其电荷分布 的情况，所以无法从（1）式求场，只有从（2）

10. 式出发： 即 因为 ，所以用标势，即 ，于是有 由此可见，假若 给定，即可由（3）式求出电势 。 在 区域，（3）式变为 相应的边值关系为：

11. 用 表示交界面上的关系，即 （4）、（5）式就是分区均匀的稳恒电流体系的电场所满足的方程和边值关系。若整个体系的边界条件已知，即可求出电流的电场。

12. 从 出发，可求得导体内的电荷分布： 其中，稳恒电流条件要求： 从 可看出，均匀导电体系内不会出现电荷堆积，只有当导体在沿着电荷流动方向不均匀

13. 时，才有可能有电荷存在。因此，对于分块均匀的导电体，电荷只可能分布在交界面上，即时，才有可能有电荷存在。因此，对于分块均匀的导电体，电荷只可能分布在交界面上，即 利用 ，得到面电荷密度为 所以，如果交界面两侧各自的介电常数与电导率之比值相等，则交界面上也不存在面电荷密度。

14. §3.3 矢势及其微分方程 Vector potential and differential equation

15. 1、矢势 稳恒电流磁场的基本方程是 由此可看出，磁场的特点和电场不同。静电场是无旋的，即引入标势 来描述。而磁场是有旋的，一般不能引入一个标势来描述整个空间的磁场，但由于磁场是无源的，可以引入一个矢量来描述它。

16. 即若 则 称为磁场的矢势。 根据 ，可得到 由此可看到矢势 的物理意义是： 矢势 沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。 必须注意：①只有 的环量才有物理意义，而在每点

17. 上的 值没有直接的物理意义。 ②矢势 可确定磁场 ，但由 并不能唯一地确定 ，这是因为对任意函数 。 即 和 对应于同一个 ， 的这种任意性是由于 的环量才有物理意义的决定的。 2、矢势微分方程 由于 ，引入 ，在均匀线性介质内有 ，将这些代入到 中，即

18. 若 满足库仑规范条件 ，得矢势 的微分方程

19. 或者直角分量： 这是大家熟知的Pisson's equation. 由此可见，矢势 和标势 在静场时满足同一形式的方程，对此静电势的解。 可得到矢量的特解：

20. 由此即得 作变换 ，即得 这就是毕奥——萨伐尔定律。 当全空间中电流 给定时，即可计算磁场 ，对

21. 于电流和磁场互相制约的问题，则必须解微分方程的边值问题。于电流和磁场互相制约的问题，则必须解微分方程的边值问题。 3、矢势边值关系 在两介质分界面上，磁场的边值关系为 对应矢势 的边值关系为

22. 其实，边值关系（3）式也可以用简单的形式代替，即在分界面两侧取一狭长回路，计算 对此狭长回路的积分。当回路短边长度趋于零时（如同 时）。 另一方面，由于回路面积趋于零，有 因此使得 由于 只有

23. 另外，若取 ，仿照第一章关于法向分量边值关系的推导，可得 （5）、（6）两式合算，得到 即在两介质分界面上，矢势 是连续的。 4、静磁场的能量 磁场的总能量为

24. 在静磁场中，可以用矢势 和电流 表示总能量，即 即有：

25. 这里不能把 看作为能量密度。因为能量分布 于磁场中，而不仅仅存在于电流分布区域内。另外，能量式中的 是由电流 激发的。 如果考虑两个独立电流系之间的相互作用能，则设电流系 建立矢势为 ，另一电流系 建立矢势为 ， 分布于 ， 分布于 ，若电流分布为 磁场总能量为

26. 由此可见，上式右边第一、二项是电流系 各自的自能，其相互作用能为

27. 因为其中： 所以

28. ↑I dz z o P R 该两式相等，因此电流 在外场 中的相互作用能量为 5、举例讨论用 计算 [例1]无穷长直导线载电流I，求空间的矢势 和磁场 。 Solution : 取导线沿z轴，设p点 到导线的垂直距离为R，电 流元Idz到p点距离为

29. 因此得到 积分结果是无穷大（发散的）。计算两点的矢势差值可以免除发散，若取R0点的矢势值为零，则

30. 每项相乘后，再二次项展开得 亦即 故 0

31. 0 取 的旋度，得到 结果与电磁学求解一致。

32. z P(r,θ,φ) R r θ o y a φ' (a,φ',o) x [例2]半径为a的导线园环载电流为I，求空间的矢势和磁感应强度。 Solution: 首先求解矢势

33. 由于问题具有轴对称性，可以把观察点选在xz平面上，这样的好处是φ'=0，故 只与r，θ有关。 其中 即得

34. 又∵ 园电流环在xy平面上，故 ，于是得到 因此得到：

35. 作变换： 令

36. 这样 于是有

37. 令 ，则有 考虑一般情况，这里的y方向实际上就是 方向，因

38. 此上式可改为：

39. 令 这里Κ(k) , Ε(k)分别为第一、第二类椭园积分。从而得到 故磁感应强度的严格表达式为

40. 讨论： 对于远场，由于R>>a，且有

41. 当R>>a情况下，上式分母展开为： 于是得到

42. 若R>>a，且

43. 于是磁感应强度为

44. 可见，对于一个园电流环，在远处所激发的磁场，相当于一个磁矩为 的磁偶极子激发的场。

45. §3.4 磁标势 Magnetic scalar potential

46. 本节所研究的问题是避开矢量 求磁感应强度 的不便理由。类比于静电场，引入磁标势 。然后讨论 所满足的微分方程，继而讨论静磁问题的唯一性定理。 1、磁标势引入的条件 （1）所考虑的空间区域没有传导电流 根据静磁场的Maxwell's equation:

47. 若考虑传导电流为零的空间，则一定有 于是可以引入标势 ，从而有 这与静电学中 完全类似，故 称为磁标势，因此引入磁标势的第一个条件是空间无传导电流。 （2）空间应为单连通区域 根据积分式子 ，我们将可看到，对于

48. I 一个任意的积分闭合路径，如果I=0，有可能定义磁标势，这时 ，引入磁标势 是保守场的势，但是 只说明该区域内没有涡旋场的源。许多情况下，区域内虽然没有电流分布，但磁场仍然是涡旋的，它就不是保守场，故不能引入磁标势，这一点由一无限长载流导线周围的空间的场可以看出，即 导线外界空间I=0，满足 ，但磁场是涡旋的。 然而，真实的情况是由Ampere环路定律所表达的。

49. 沿闭合曲线积分一周是否为零取决于路径的选择，若考虑一个环形电流附近的空间（电流环除外）中的磁场，显然，这个区域由于不存在传导电流而认为可以用 来描述。设该空间磁场的标势为 ，且 ，将磁场强度 沿一闭合曲线L积分，而此积分曲线是穿过电流环的，因而积分回路包围电流，故 另一方面

50. 于是有 因为 是沿闭合曲线积分的起点和终点的标势，是空间同一点的值，应该是单值函数。而现在表明 不是单值的，它与积分回路的选取有关。因此，仅有“无传导电流”这一条件还不够，必须要求 为单值的。 为此，引入以电流环为边界的任意曲面，并规定积分路径不允许穿过此曲面。任何闭合积分路径都不穿过曲面，这样， 就是一个单值的。从曲面的一侧穿过曲面到另一侧，磁标势 不是连续的。存在着大小为I的跃变，由此可见，若电流是环形分布的，只能