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第四讲 LTI 离散时间系统在变换域中的分析. 浙江大学光电信息工程学系 胡慧珠 huhuizhu2000@zju.edu.cn. 主要内容： 频率响应（ 4.8 ， 4.9 ） 传输函数（ 6.7 ） 传输函数的类型（ 7.1~3 ） 简单滤波器（ 7.4 ） 一些特殊的传输函数 （全通滤波器、最大、最小相位滤波器、互补滤波器） 逆系统 系统辩识 双输入双输出系统 —— 数字二端口网络. 4. 1 频率响应（ frequency response）. 4. 1.1 定义. h1=ones(1,5)/5; h2=ones(1,14)/14;
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第四讲 LTI离散时间系统在变换域中的分析 浙江大学光电信息工程学系 胡慧珠 huhuizhu2000@zju.edu.cn
主要内容： • 频率响应（4.8，4.9） • 传输函数（6.7） • 传输函数的类型（7.1~3） • 简单滤波器（7.4） • 一些特殊的传输函数 • （全通滤波器、最大、最小相位滤波器、互补滤波器） • 逆系统 • 系统辩识 • 双输入双输出系统——数字二端口网络
4.1 频率响应（frequency response） • 4.1.1 定义
h1=ones(1,5)/5; h2=ones(1,14)/14; w=0:pi/255:pi; H1=freqz(h1,1,w); H2=freqz(h2,1,w); m1=abs(H1); m2=abs(H2); plot(w/pi,m1,'r-',w/pi,m2,'b--'); xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度'); legend('r-','M=5','b--','M=14'); pause; ph1=angle(H1)*180/pi; ph2=angle(H2)*180/pi; plot(w/pi,ph1,'r-',w/pi,ph2,'b--'); xlabel('\omega/\pi');ylabel('相位（度）'); legend('r-','M=5','b--','M=14'); • 4.1.2 用MATLAB计算频率响应
4.1.4 相延时（phase delay）和群延时（group delay） 例： DSB-SC双边带抑制载波调制信号 x[n] =A cos (ω0 n)cos (ωc n) =(A/2) cos (ωl n)+ (A/2) cos (ωu n) 式中,ωl = ωc － ω0 ，ωu = ωc + ω0 . 如x[n]通过频率响应为H(e jω)的系统，假定 | H(e jω) | 1 , l ωu ，则其输出信号为：
假设x[n]为窄带信号 ，即ωl ，ωu 非常接近于ωc, 将LTI离散时间系统的相位响应用 Taylor级数展开得：
4.2 传输函数（transfer function） • 4.2.1 定义
4.2.2 传输函数的表达方式 FIR数字滤波器： 有限维LTI IIR离散时间系统：
4.2.4 用几何插值的方法估计频率响应 • 有理系统可分解成一阶的零极点向量的积的形式; • 幅值: 零向量幅值之积与 • 极点向量幅值之积的比; • 相位: 零向量相位之和与 极点向量相位之和的差。
零极点分布 上：幅度 下：相位 例1：系统有一极点在 z = 0, 一零点在 c = 0.9 e j/4 ,其分 布如下左图；幅度和相位响应如右图；
4.2.5 极点位置与稳定性 FIR：当h[n]系数为有限值时总是稳定的 IIR：可能不稳定，或经系数量化后不稳定。其稳定性和因果性取决于ROC和极点的位置，所有极点在单位圆内则系统为因果稳定的系统。
4.4 传输函数的类型 • 4.4.1 理想滤波器（ideal filters）
4.4.2 零相位（zero-phase）和线性相位（linear-phase）传输函数 零相位传输函数：频率响应为非负实数 因果的零相位传输函数是无法实现的，但如果放松因果条件限制，对有限长的输入信号，非实时地实现零相位的传输函数是很容易的 方法一： 时反 时反
方法二： 时反 时反
线性相位传输函数：在通带内相位函数为线性函数线性相位传输函数：在通带内相位函数为线性函数
4.4.3 线性相位FIR传输函数 FIR可以很容易地设计为线性相位，IIR则比较困难
对称中心 1 0 2 n 0 N/2 N=4
2 对称中心 1 0 0 N/2 n N=5
对称中心 1 N=2 0 2 n N/2 0 -1
对称中心 1 N=1 0 2 n N/2 0 -1
类型2：总有零点在z=-1，不能用于高通 类型3：总有零点在z=1和z=-1，不能用于低通、高通和带阻 类型4：总有零点在z=1，不能用于低通
z=1 z =－1 z=1 Type I Type II z= －1 z=1 z=1 Type IV Type III
4.4.5 有界实传输函数 定义：因果、稳定、实系数的传输函数H(z)，如果满足 则称为有界实传输函数（bounded real (BR) transfer function） 如果 则称为无损有界实传输函数（lossless bounded real (LBR) transfer function）
4.5 简单的数字滤波器 • 4.5.1 简单FIR滤波器
4.5.3 梳状滤波器（comb filter） 梳状滤波器：频率响应是ω的周期函数，周期为2π/L 梳状滤波器可以通过将原型滤波器中的每个延时单元替换为 L个延时单元来实现。
(a) (b)
4.6 全通（allpass）传输函数 • 4.6.1 定义 M阶因果实系数全通函数可以表示为： 如果定义 则
4.6.2 性质 1、因果稳定的全通传输函数为LBR（lossless bounded response）传输函数 2、 3、
4.6.2 应用 延时均衡器，用于实现线性相位
4.7 最小相位和最大相位传输函数 （minimum phase）（maximum phase） 最小相位传输函数：所有零点都在单位圆内的因果稳定系统 最大相位传输函数：所有零点都在单位圆外的因果稳定系统 （注：如果是稳定系统，则所有极点都在单位圆内） • 任意非最小相位传输函数都可以表示成为最小相位传输函数与一个稳定全通函数之积 • H(z) = H min(z)Hap(z).
最小相位系统特点: • 对所有相同|H(e jω)| LTI系统 ，最小相位系统具有最小相移； • 对相同|H(e jω)| LTI系统 ，最小相位系统具有最小群延迟；
4.8 互补（complementary）传输函数 • 4.8.1 延时互补传输函数（delay-complementary） 例（略） • 4.8.2 全通互补传输函数（allpass-complementary） 例（略）
