Делители и кратные. Свойства делимости.

1. Делители и кратные.Свойства делимости.

2. Если одно число делится на другое, то для описания их взаимосвязи используются слова «делитель» и «кратное». ДЕЛИТЕЛИ ЧИСЛА. Можно ли 18 карандашей разложить поровну в 3 коробки? А в 4 коробки? 18÷3=6 Значит, в каждой коробке окажется 6 карандашей. 18÷4=4(ост. 2) Значит, 18 карандашей разложить поровну в 4 коробки нельзя. Есличисло а делится на число в , то число в называется делителем числа а. Число 3 является делителем числа 18. Вместе с ним и число 6 является делителем числа 18, а число 4 – не является делителем числа 18.

3. Найдем все делители числа 24: Чтобы найти все делители числа , нужно, отыскав один делитель, записать сразу же и другой, являющийся частным от деления данного числа на найденный делитель. Такие пары делителей удобно записывать друг под другом. Делители 24: Т.е, число 24 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

4. Когда одно число делится на другое, то для описания их взаимосвязи употребляют не только слово «делитель», но еще и слово «кратное». КРАТНЫЕ ЧИСЛА. Если число а делится на число в, то говорят, что число а – кратное числа в (или число а кратночислу в). Например, число 45 делится на 9. Можно сказать, что число 9 является делителем числа 45 или что 45 – кратное числа 9. Рассмотрим числа, кратные 10: 10, 20, 30, 40, 50, … Эта последовательность, как и натуральный ряд, бесконечна, и все числа, кратные 10, выписать нельзя. Обратите внимание на то, как строится эта последовательность: в ней первым идет число 10, а каждое следующее число на 10 больше предыдущего.

5. Для решения задач полезно знать некоторые свойства делимости суммы и произведения нескольких чисел. Они существенно позволяют упрощать вычисления. ДЕЛИМОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. Пример 1: Покажем, что 214×33 делится на 11: 214×(3×11)=11×(214×3) Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Пример 2: Возьмем число 3900. Оно делится на 39, а 39 делится на 13. Значит, 3900 тоже делится на 13. В самом деле: 3900=39×100=(13×3)×100=13×(3×100) Если первое число делится на второе, а второе число делится на третье, то и первое число делится на третье.

6. ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ Возьмем числа 70, 49 и 14. Каждое из них делится на 7. Выясним, делится ли на 7 их сумма. 70+49+14=7×10+7×7+7×2= =7×(10+7+2)=7×19 – делится на 7. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число. Пример 3: Покажите, что число 684 делится на 6. 684=600+60+24=… С суммой связано еще одно полезное свойство делимости: Если одно из слагаемых не делится на некоторое число, а остальные делятся, то сумма на это число не делится . Например, 60+42+10 не делится на 6, т.к. 10 не делится на 6.