Intégration de logiciels de géométrie dynamique en cycle 3 et en sixième : quels dispositifs de formation et quel accomp

1. Intégration de logiciels de géométrie dynamique en cycle 3 et en sixième : quels dispositifs de formation et quel accompagnement ? Brigitte Grugeon-Allys IUFM d’Amiens Équipe DIDIREM, Université Paris 7

2. Objectifs de la formation • Les logiciels Geoplanw et Cabri-géomètre • Les enjeux de la transition cycle 3 et sixième en géométrie • Analyse de séances d’initiation • quels choix ? • quelles institutionnalisations? • Analyse des choix de progressions • compétences visées • place des connaissances instrumentales • rapports papier-crayon et logiciel • Analyse de dispositifs de formation et de leur accompagnement

3. Plan • Introduction • Séances d’initiation proposées aux élèves • Analyse des choix • synthèse et apports théoriques sur la genèse instrumentale • Progressions en CM2 et en sixième • Analyse des choix (du côté de l’enseignant, du côté de l ’élève) • synthèse autour des d’intégration d’un logiciel de géométrie dynamique dans le travail mathématique conditions et des contraintes • Dispositifs de formation et d’accompagnement • Analyse des choix • Discussion • Perspectives

4. Introduction • En quoi l’usage des logiciels de géométrie dynamique peut-il favoriser la négociation du passage d’une géométrie perceptive à une géométrie théorique dans la transition école / collège ? Comment ? • Quelles sont les conditions et les contraintes de cette intégration du double point de vue de l’élève et des pratiques des enseignants ? • Quelles sont les connaissances nécessaires à une gestion efficace de ces outils logiciels comme instrument du travail mathématique pour l’élève, comme moyens d’enseignement pour le professeur ? • Quels sont les rapports dialectiques entre les apprentissages instrumentaux et géométriques dans les différents environnements d’apprentissage ? • Quels nouveaux dispositifs de formation mettre en place pour permettre un accompagnement des enseignants à moyen terme dans leur démarche de réinvestissement de la formation et d’intégration des logiciels de géométrie dynamique ?

5. Appuis théoriques Approche multidimensionnelle de l’intégration de logiciels (CNCRE 2000) • Enseignement de la géométrie et distinction dessin / figure (Laborde 1994, Parzysz 2001, Houdement et Kuzniak 1999) • Dimension instrumentale et conceptuelle (Rabardel 1999) • Dimension institutionnelle avec l’approche anthropologique en termes de tâches / techniques (Chevallard 1999) • Dialectique ancien / nouveau (Douady 1986, Assude 2002) • Dimension relative aux pratiques enseignantes, au travail et au rôle du maître dans la classe (place de l’institutionnalisation) • Dimension temporelle de l’enseignement

6. Principaux enjeux de la géométrie dans l’articulation école / collège • Proximité des programmes et continuité des apprentissages • Quelle évolution du rapport à la géométrie ? Dessin Figure Objets physiques --> Objets théoriques validations perceptives --> validations déductives Articuler trois étapes dans l’appréhension des objets géométriques • géométrie « concrète » • géométrie «spatio-graphique » : techniques liées à l’usage des instruments et validations instrumentées • géométrie « proto- axiomatique »: techniques portent sur des objets théoriques représentés par des dessins, validations par des raisonnements de type déductif

7. Difficultés rencontrées par les élèves en géométrie • Le statut de la figure • Distinction dessin / figure • Prise en compte des propriétés spatiales pertinentes d’un dessin • La prégnance de la mesure • L’organisation des informations dans l’analyse d’une figure  • Les difficultés d’ordre linguistique

8. Principaux apports des logiciels de géométrie dynamique en complémentarité des instruments habituels • Faire abandonner les repères spatiaux pour caractériser les figures. • Faire expliciter les caractéristiques des objets et des relations en jeu pour les construire • Faire distinguer, par le dynamisme de la figure, des propriétés qui relèvent de la position, de l’orientation, du spatial et qui ne résistent pas au déplacement des propriétés géométriques invariantes qui résistent au déplacement

9. Principaux apports des logiciels de géométrie dynamique (suite) • Mettre en évidence les relations entre les objets et les liens entre relations • Faire conjecturer d’autres propriétés invariantes ; • Augmenter le champ d’expérimentation et favoriser l’articulation entre différents types de contrôle à partir de l’interprétation des rétroactions logicielles  • Articuler différents modes de représentation : langage géométrique, schémas figuratifs,

10. Présentation des expérimentations Prise en compte du long terme (CM1, CM2, 6e, ...) • Ecole Launay, Beauvais (1999-2001) • Classes de CM1 et CM2 (suivi sur 2 ans) • Classes de CM2 à Laon et à Cergy Pontoise • Collège Fauqueux, Beauvais (1999-2002) • Classes de sixième et cinquième (suivi sur 2 ans de la classe de CM2) • Autres expérimentations (1999-2002) Comparaison des logiciels GeoplanW et Cabri Géomètre 2

11. Les choix des séances d’initiation (1) • Choix explicites • mise en contact des élèves avec le maximum de fonctionnalités (pas de mesure) mais d’une façon organisée • pas d’objets mathématiques nouveaux • institutionnalisation de connaissances instrumentales liées au logiciel • les élèves (en individuel ou en binôme) doivent expérimenter, observer et analyser les rétroactions logicielles, confronter leurs points de vue et écrire des remarques pendant le travail sur logiciel

12. Les choix des séances d’initiation de Launay et de Fauqueux (2) • Institutionnalisation de quelques connaissances instrumentales liées au logiciel GeoplanW • construction des objets géométriques (nécessité d’expliciter les relations entre objets à partir des primitives géométriques et des boîtes de dialogue) • fonctionnalités du logiciel et nature des rétroactions logicielles - statuts des points (point libre, point sur objet, point «fixe») - permanence des propriétés par déformation - distinction « non dessiné »/ « supprimer », rôle de « supprimer »

13. En quoi ces logiciels sont-ils différents ? • Par les problématiques caractérisant chaque logiciel :manipulation directe pour cabri Géomètre II avec des transformations contrôlables en temps réel, création et description d’objets pour obtenir une représentation graphique dynamique et interactive pour GeoplanW En conséquence, des différences importantes • Pour le modèle géométrique implémenté (objets de base) • les objets géométriques (objets de base) • les caractéristiques des figures logicielles • Pour l’interface • la structuration des menus et des fonctionnalités • les modes de création et de déplacement • La nature des rétroactions (textuelle / visuelle) et interprétation

14. Logiciel geoplanW Supprimer un objet et tous les objets en relation avec lui Afficher / ne pas afficher (non dessiné) Utiliser un style de crayon pour colorier des lignes, pour remplir des surfaces (ou les hachurer) Utiliser un style de crayon pour dessiner différents types de traits (épaisseur et pointillé) Modifier un objet Renommer un objet Réaliser l’historique Afficher le rappels des objets Éditer le texte de la figure Copier image (ajustée ou non) Afficher des commentaires Agrandir / réduire des dessins Redéfinir un objet dans l’action Modifier les menus Annuler la dernière action Logiciel Cabri Géomètre II Supprimer un objet (le sélectionner et touche Supp) et tous les objets en relation avec lui Montrer/cacher Utiliser un style de crayon pour colorier des lignes, pour remplir des surfaces (ou les hachurer) Utiliser un style de crayon pour dessiner différents types de traits (épaisseur et pointillé) Nommer un objet Réaliser l’historique Marquer un codage d’égalité de longueurs, d’angle, de perpendicularité, clignoter Afficher un texte de commentaires Agrandir / réduire des dessins Redéfinir un objet Tester la validité de propriétés mathématiques Configurer les outils Annuler la dernière action

15. Éléments d’analyse (1) • conflit entre la souris et le crayon • action prioritaire au début, évolution liée au travail en binôme • conflit entre l’ancien et le nouveau • expliciter les relations dans les boîtes de dialogue • désigner les objets • écrire des remarques est difficile mais est facilité par le travail entre élèves du binôme • conflit entre une direction et l’errance • difficultés à lire et à suivre les consignes

16. Éléments d’analyse (2) • les connaissances instrumentales ne sont pas forcément tout de suite opératoires exemple: • l’usage des boîtes de dialogue et la désignation • l’usage des fonctionnalités internes • l’interprétation des rétroactions logicielles • la mobilisation du déplacement pour vérifier la construction • La mobilisation des trois types de points et leur opérationnalité dans les constructions • il est essentiel de prendre en charge le rapport entre les connaissances instrumentales et les connaissances mathématiques

17. Séquence sur les quadrilatères en CM2 – Launay Première étape Situation générale - étude des propriétés géométriques des quadrilatères - construire de plusieurs façons un quadrilatère papier/crayon Construction libre d’un rectangle puis de quadrilatères particuliers Tri et classement de quadrilatères particuliers GeoplanW construction d’un rectangle sans contrainte puis avec contrainte Visées Analyser différents quadrilatères particuliers, analyser leurs propriétés pour pouvoir ensuite les classer Distinguer différents moyens de construire un rectangle, puis d’autres quadrilatères particuliers en liaison avec leurs propriétés

18. Séquence sur les quadrilatères en CM2 - LaunayDeuxième étape des figures GeoplanW déjà construites à déformer des questions à traiter Charger en mosaïque les figures « oui1 », « oui2 », « non1 », « non2 » Déplacer les points. Quelles propriétés doit avoir un quadrilatère pour faire partie de la famille « oui » ? Quelle est la condition pour qu’un parallélogramme soit un rectangle ? oui1 oui2 non1 non2 Visées Observer et analyser les propriétés d’une figure : distinguer dessin / figure Établir un programme de construction et les liens entre propriétés et construction Établir des liens entre les différents quadrilatères particuliers

19. Deuxième étape Avec geoplanW 1. Étude de figures prédéfinies Fi qui résistent ou non (parallélogramme, rectangle, losange, carré construit à partir des côtés) • Conjecture des propriétés et des procédés de construction • Validation par déplacement (et mesurage ou construction) puis à partir de l’historique de la figure Fi • Découverte et analyse du programme de construction 2. Construction d’une figure Fi puis validation par déplacement

20. Séquence sur les quadrilatères en CM2 - LaunayTroisième étape Visées Réinvestir un programme de construction Établir des liens entre propriétés et construction pour construire un «quadrilatère qui garde la même forme »

21. Analyse de la séquence Launay - Types de tâches t1 : construire des quadrilatères t2 : construire des quadrilatères à partir des diagonales étant donnés des segments de longueur donnée t3 : reconnaître des quadrilatères dans une figure complexe t4 : décrire les différents éléments d’une figure et notamment d’un quadrilatère t5 : décrire les propriétés de certains quadrilatères t6 : établir des liens entre différents quadrilatères t7 : élaborer un programme de construction t8 : construire un carré à partir de ses diagonales t9 : construire un carré à partir de ses côtés

22. Analyse de la séquence - Types de techniques - technique perceptive (TP) - technique perceptivo-théorique (TPT) - technique programme de construction (TPC) - technique analytique (TA)

23. Analyse de la séquence - Evolution des types de tâches et des types de techniques - Launay

24. Analyse de la première séance à Launay - Séance organisée autour d’une tâche ancienne en utilisant des instruments anciens : situation ouverte par la diversité des procédures de construction demandées • utilisation de techniques perceptives des carrés et des rectangles essentiellement • Peu de nouvelles constructions pour un même élève

25. Analyse de la deuxième séance à Launay • Séance organisée autour d’une tâche ancienne qui doit être accomplie par une technique nouvelle instrumentée • Utilisation initiale de techniques perceptives remises en cause par déplacement • Grande hétérogénéité des techniques • Difficultés conceptuelles • Difficultés instrumentales (construction, statut des points non opérationnel, interprétation des rétroactions logicielles)

26. Analyse de la troisième séance à Launay • Séance organisée autour d’une tâche ancienne qui doit être accomplie par une technique nouvelle instrumentée • Utilisation initiale de techniques perceptives remises en cause par déplacement • Mobilisation plus difficile de techniques TPT liées : • aux difficultés instrumentales (gestion des boîte de dialogue, statut des points non opérationnel, interprétation partielle des rétroactions logicielles, construction à partir d’éléments de la figure non détruits) mais • rôle important des interactions entre élèves • Découverte par les élèves d’une technique pour écrire les étapes de construction : usage de la liste des objets présents dans le menu supprimer

27. Analyse de la séquence (1) - articulation des tâches en GeoplanW et en papier-crayon - articulation entre des tâches anciennes et nouvelles - deux types de tâches organisent le travail conceptuel des élèves (t1 et t5) même si ces tâches se déploient ensuite dans d’autres tâches (t2, t7, t6) [t2, t8, t6] - évolution des techniques visées: de TP à TPT mais en passant par d’autres techniques comme TA ou TPC [à l’initiative des élèves]

28. Analyse de la séquence (2) • un principe est à la base du choix des types de tâches: une connaissance doit apparaître en tant qu’outil pour résoudre une difficulté ou une question • ce principe de base est un des éléments pour trouver la «juste distance» entre l’ancien et le nouveau qui est l’une des conditions de l’intégration • Ce principe de base vise à travailler les distinctions spatial / géométrique , perceptif / théorique

29. Séquence sur la symétrie axiale en sixième - Fauqueux

30. Analyse de la séquence Fauqueux - Types de tâches t1 : rechercher les axes de symétrie de figures usuelles t2 : construire les axes de symétrie de figures usuelles t3 : construire les axes de symétrie du carré avec contrainte (l’outil bissectrice) t4 : construire les axes de symétrie d’une figure non usuelle sur papier quadrillé sans recours au pliage t5 : construire sur P/C la médiatrice ou la médiatrice d’une figure usuelle t6 : construire une figure avec contrainte t7 : construire figure symétrique par pliage t8 : construire l’image d’une figure par symétrie axiale (un point et trace) t9 : construire l’image d’une figure par symétrie axiale

31. Analyse de la séquence - Evolution des types de tâches et des types de techniques - Fauqueux

32. Des éléments à prendre en compte pour organiser la formation • L’intégration du logiciel dans un enseignement est complexe et met en jeu plusieurs dimensions (instrumentale, épistémologique, cognitive, anthropologique, didactique) • Pour permettre les conditions d’une intégration « réussie » de logiciels dans l’enseignement de la géométrie, la « formation initiale » en stage semble incomplète ; un accompagnement des enseignants en classe est nécessaire. Des indices de l’intégration d’un logiciel dansl ’enseignement de la géométrie : • L’utilisation du logiciel dans la progression est régulière et mise en place sur le long terme ; • L’analyse a priori des séquences prend en compte les apports et les contraintes du logiciel dans un juste équilibre entre l’ancien et le nouveau, en particulier, l’instrumentation, les tâches papier - crayon / logiciel, ..; • Les phases collectives des séquences (phases de description, de confrontation et de validation des procédures employées par les élèves, et les phases d ’institutionnalisation) font référence aux tâches réalisées devant l’ordinateur ; • L’utilisation du logiciel a effectivement favorisé les apprentissages visés.

33. Hypothèse de travail Le dispositif de formation et d’accompagnement prenant en compte les critères précédents doit faciliter : • une évolution du « rapport à la géométrie » des enseignants concernés • compréhension des ruptures d’ordre épistémologique • prise de conscience de différents niveaux de rationalité • une meilleure intégration du logiciel choisi dans l’enseignement de la géométrie

34. Des compétences vers une meilleure intégration pour un enseignant, • mieux analyser les difficultés rencontrées lors de la mise en œuvre des scénarios élaborés en stage à partir de différentes dimensions instrumentale (Rabardel), épistémologique (Parzsyz), cognitive, anthropologique (Chevallard), situation didactique (Brousseau), ..) • mieux prendre en compte ces différentes dimensions dans la construction et la mise en œuvre de l’ensemble des séquences de géométrie (juste équilibre entre l’ancien et le nouveau dans le choix des types de tâches, l’articulation entre instrument papier-crayon et logiciel, le rapport entre connaissances instrumentale / géométrique, ..) • mieux prendre conscience des ruptures d’ordre épistémologique en jeu dans l’apprentissage de la géométrie (liées par exemple à la distinction dessin / figure)(Parzysz, Laborde) et des différents niveaux de rationalité en jeu dans la résolution de problèmes.

35. Présentation d’une formationautour de l’intégration de logiciels de géométrie dynamique • Stage 125C en cycle 3 : travail autour de la distinction dessin / figure, de l’instrumentation de GeoplanW, de progressions en géométrie en CM2 intégrant GeoplanW • Echanges à distance, en particulier, grâce à un site Internet spécialement créé pour cela avec des stagiaires du stage 125C • Suivi de stagiaires qui ont mis en place de façon autonome une progression en géométrie avec le logiciel GeoplanW • Organisation en 2002-2003 d’observations dans les classes de ces stagiaires et de réunions avec les stagiaires et les circonscriptions.

36. Des entrée pour l’organisation d’une formation • Journées de formation organisées autour de plusieurs dimensions : • dimension institutionnelle : l’enseignement de la géométrie dans la transition entre le cycle 3 et la sixième, continuités et ruptures • dimension cognitive : typologie des difficultés en géométrie (à ce niveau scolaire) ; le rôle de la résolution deproblèmes dans l’apprentissage de la géométrie (ex de problèmes) • dimension didactique : l’articulation de tâches papier/crayon / logiciel ; conception et gestion de situations (rôle des différentes phases) • dimension instrumentale : la question de la genèse instrumentale de tout nouvel outil, de l’institutionnalisation de connaissances autres que mathématique • dimension temporelle : nécessité d’un temps long

37. Contenus de formation : un exemple Des dispositifs de formation pour travailler : • la transition école / collège • Ruptures et continuités en géométrie • Le rôle de la résolution de problèmes ; le rôle des instruments en géométrie ; exemples • l’instrumentation d’un logiciel : conditions et contraintes • la conception d’une progression en géométrie mobilisant instruments habituels et logiciel : les variables à prendre en compte • la prise en compte des paramètres matériels (nombre d’ordinateurs) • la gestion des séances (rôle clef du professeur dans les différentes phases)

38. Un exemple : le stage 125C • La transition école / collège : • Comparaison des programmes de fin de cycle 3 et de sixième • Analyse des item sur la géométrie des évaluations nationales de 6ième • Analyse de tâches complexes • Séances d’initiation (Geoplanw, Cabri Géomètre II) • Condition et contraintes d’intégration • Comparaison des logiciels : leurs apports pour l’apprentissage de la géométrie • Analyse de situations puis de progression : les choix • Connaisance apparaît comme outil efficace de résolution (choix des menus) • tâches logicielle / papier-crayon • tâches ancienne / nouvelle • Définition de scénario : rôle des phases de formulation, de validation, d’institutionnalisation • Conception de progression prenant en compte des contextes matériels variés

39. Suivi des stagiairesont mis en place de façon autonome une progression en géométrie avec le logiciel GeoplanW • Huit stagiaires ont mis en place de façon autonome une progression en géométrie avec Geoplanw : • 3 enseignats de l’école de Lassigny (12 ordinateurs et un aide-éducateur) • 2 enseignants de l’école de Thourotte (12 ordinateurs) • 3 enseignants de l’école de Morienval (1 ou 2 ordinateurs dans la classe) • Expérimentation de Lassigny : • 12 ordinateurs, 2 ateliers tournants, 2 élèves par ordinateur • 3 séances d’initiation avec institutionnalisation • 5 séances articulant papier - crayon et logiciel

40. Des critères pour analyser l’intégration des logiciels dans l’enseignement de la géométrie Du côté du professeur • choix a priori et articulation des types de tâches(ancien/ nouveau, p-c/ logiciel) • gestion des phases de mise en commun, en classe entière • discussion des points communs et des différences, quant à la réalisation d’une tâche donnée, selon qu’on utilise ou non le logiciel, • discussion autour de la verbalisation des relations géométriques, des techniques utilisées, de la validation, • distinction dans le vocabulaire utilisé des termes « dessin » et « figure » Du côté de l’élève • au niveau instrumental : la mobilisation ou non de connaissances instrumentales (statut des points, ..) dans la résolution • au niveau géométrique : évolution des techniquesde résolution (perceptive vers perceptivo-théorique)