误差分析运用

1. 误差分析运用 及实验数据处理

2. 在物理化学实验数据测定工作中，绝大多数是要对几个物理量进行测量，代入某种函数关系式，然后运算才能得到结果，这称为间接测量。在间接测量中，每个直接测量值的准确度都有会影响最后结果的准确性。在物理化学实验数据测定工作中，绝大多数是要对几个物理量进行测量，代入某种函数关系式，然后运算才能得到结果，这称为间接测量。在间接测量中，每个直接测量值的准确度都有会影响最后结果的准确性。 通过误差分析，我们可以查明直接测量的误差对结果的影响情况，从而找出误差的主要来源，以便于选择适当的实验方法，合理配置仪器；寻求测量的有利条件。 误差分析限于对结果的最大可能误差的估计，因而对各直接测量的量只要预先知道其最大误差范围就够了。当系统误差已经校正，而操作控制又足够精密时，通常可以用仪器读数精密度来表示测量误差范围。常用仪器读数精密度如下：

3. 移液管 一等 二等 容量瓶 一等 二等 25ml ±0.04ml ±0.10ml 1000ml ±0.30ml ±0.60ml 10ml ±0.02ml ±0.04ml 500ml ±0.15ml ±0.30ml 5ml ±0.01ml ±0.03ml 250ml ±0.10ml ±0.20ml 2ml ±0.006ml ±0.015ml 100ml ±0.10ml ±0.20ml 50ml ±0.05ml ±0.10ml 分析天平 ±0．0001g ±0.0004g 工业天平 ±0.001g 台平(1Kg) ±0.1g

4. 常用的指针式测量仪表，如：电压表、电流表、压力表等等，用精度等级来表示测量误差范围，是用引用误差（相对误差表示的基本误差限）的数值来表示的。常用的指针式测量仪表，如：电压表、电流表、压力表等等，用精度等级来表示测量误差范围，是用引用误差（相对误差表示的基本误差限）的数值来表示的。 其中，Δ为用绝对误差表示的基本误差限，d即为“精度”，通常是在仪表的刻度盘上用一个带圈的数字表示， 例如1.5级，用 表示。 一支0.5级的电压表，量程范围为0~1.5V，最大测量误差为±0.5%×1500=±7.5mV。

5. 数字式仪表则一般由其显示的最末位改变一个数来表示的。数字式仪表则一般由其显示的最末位改变一个数来表示的。 如果没有精度表示，对于大多数仪器来说，最小刻度的1/5可以看作其精密度，如玻璃温度计、液柱式压力（压差）计等。

6. 误差分析运用 • 1）误差的计算：讨论实验结果的误差范围。 • 2）仪器的选择：通过对实验的误差要求，选择适当的仪器。 • 3）测量过程最有利条件的确定：讨论在什么样的条件下可以最好的误差期望。

7. 凝固点降低法测物质的摩尔质量用下式计算： 实验直接测定的量是：溶质的质量WB，0.2993g，使用分析天平，绝对误差为0.0004g；溶剂水的质量WA，20g，在台秤上称，绝对误差为0.1g；测量凝固点时用贝克曼温度计，准确度为0.002度。 纯溶剂的凝固点T*f三次测量值为：4.801、4.797、4.802度。平均值：

8. 每次的绝对误差分别为：0.001,0.003,0.002度，则平均绝对误差为：每次的绝对误差分别为：0.001,0.003,0.002度，则平均绝对误差为： 所以T*f=4.800±0.002度 溶液凝固点三次测定值为：4.500,4.504,4.495度，计算可以得到： Tf=4.500±0.003度 ΔTf=0.300±0.005 其相对误差为：Δ(ΔTf)/ ΔTf=±0.005/0.300=±0.017

9. 而： ΔWB/WB=±0.0004g/0.2993g=±1.3×10-3 ΔWA/WA=±0.1g/20g=±5×10-3 由此，可求得测得的MB的相对误差是： =±(1.3×10-3+5×10-3+0.017)= ±0.023 计算结果：MB=255±6 (Kf=5.12) 可以看出，实验误差主要自温度的测量。称重的准确度对实验结果影响不大，如没有必要用分析天平称溶剂。

10. 在用电标定法测KNO3的溶解热实验时，ΔH溶解=MIVt/W。M为分子量，I为电流约0.5A，V为电压约6V，t为时间约400秒，W为KNO3的质量约3g。如果要把相对误差控制在3%以内，应选用什么规格的仪器？在用电标定法测KNO3的溶解热实验时，ΔH溶解=MIVt/W。M为分子量，I为电流约0.5A，V为电压约6V，t为时间约400秒，W为KNO3的质量约3g。如果要把相对误差控制在3%以内，应选用什么规格的仪器？ 实验结果的误差来源于以上4个直接测量物理量。由误差传递公式可知： 时间测量用秒表，误差不超过1秒，相对误差约0.25%，溶质质量若用台秤，误差将大于3%，若用分析天平，0.0004/3，误差在0.02%以下，I、V的测量应将误差控制在1%以下，因此应选用精度为1.0级的仪表。

11. 在利用电桥测电阻时，被测电阻可由下式计算：在利用电桥测电阻时，被测电阻可由下式计算： 式中，R为已知电阻，L=l1+l2，间接测量值RX的误差取决于直接测量值l2。 相对误差为：

12. 因为L为常数，所以当（L-l2）l2为最大时，其相对误差最小。因为L为常数，所以当（L-l2）l2为最大时，其相对误差最小。 故l2=L/2。 也就是说，用电桥测电阻时，滑臂在中间时有最小的测量误差。而根据电桥平衡原理，已知电阻R的值应与被测电阻相近。

13. 实验数据处理 • 列表式：将实验数据制成表格。它显示了各变量间的对应关系，反映出变量之间的变化规律。它是进一步处理数据的基础。 • 图示式：将实验数据绘制成曲线，它直观地反映出变量之间的关系，而且为整理成数学模型（方程式）提供了必要的函数形式的直观表达。 • 函数式：借助于数学方法将实验数据按一定函数形式整理成方程，即数学模型。

14. 一、表格法 表格法的特点 　　在科学试验中一系列测量数据都是首先列成表格，然后再进行其他的处理。 表格法简单方便。 尽管测量次数相当多，也不能给出所有的函数关系。 从表格中不易看出自变量变化时函数的变化规律，而只能大致估计出函数是递增的、递减的或是周期性变化的等。 列成表格是为了表示出测量结果，或是为了以后的计算方便，同时也是图示法和经验公式法的基础。

15. 两类表格 数据记录表是该项试验检测的原始记录表，它包括的内容应有试验检测目的，内容摘要、试验日期、环境条件、检测仪器设备、原始数据、测量数据、结果分析以及参加人员和负责人等。 结果表只反映试验检测结果的最后结论，一般只有几个变量之间的对应关系。试验检测结果表应力求简明扼要，能说明问题。

16. 列表法的基本要求： a.应有简明完备的名称、数量单位和因次； b.数据排列整齐（小数点），注意有效数字的位数； c.选择的自变量如时间，温度、浓度等，应按递增排列； d.如需要，将自变量处理为均匀递增的形式，这需找出数据之间的关系，用拟合的方法处理。

17. 二、图示法 图示法特点： 　　图示法的最大优点是一目了然，即从图形中可非常直观地看出函数的变化规律，如递增性或递减性，是否具有周期性变化规律等。 在图上进一步处理获得更多信息。如：最大值、最小值，作出切线，求出曲线下包围的面积等。 从图形上只能得到函数变化关系而不能进行数学分析。

18. 　　图示法的基本要点为： 　　（1）应以横坐标为自变量，纵坐标为函数量。 　　（2）坐标纸的大小与分度的选择应与测量数据的精度相适应。坐标分度值不一定自零起，曲线以基本占满全幅坐标纸为宜，直线应尽可能与坐标轴成450角。 　　（3）坐标轴应注明分度值的有效数字和名称、单位，必要时还应标明试验条件，在同一图上表示不同数据时应该用不同的符号加以区别。 （4）实验点的标示可用各种形式，但其大小应与其误差相对应。 （5）曲线平滑方法。决定曲线的走向应考虑曲线应尽可能通过或接近所有的点，但曲线不必强求通过所有的点，顾及到所绘制的曲线与实测值之间的误差的平方和最小。此时曲线两边的点数接近于相等。

19. 三、经验公式法 　　测量数据不仅可用图形表示出数据之间的关系，而且可用与图形对应的一个公式来表示所有的测量数据，当然这个公式不可能完全准确地表达全部数据。因此，常把与曲线对应的公式称为经验公式，在回归分析中则称之为回归方程。 　　把全部测量数据用一个公式来代替，不仅有紧凑扼要的优点，而且可以对公式进行必要的数学运算，以研究各自变量与函数之间的关系。 　　所建立的公式能正确表达测量数据的函数关系，往往不是一件容易的事情，在很大程度上取决于试验人员的经验和判断能力，而且建立公式的过程比较繁琐，有时还要多次反复才能得到与测量数据更接近的公式。

20. 　　建立公式的步骤大致可归纳如下： 　　（1）描绘曲线。用图示法把数据点描绘成曲线。 　　（2）对所描绘的曲线进行分析，确定公式的基本形式。 　　（3）曲线化直。如果测量数据描绘的曲线被确定为某种类型的曲线，则可先将该曲线方程变换为直线方程，然后按一元线性回归方法处理。 　　（4）确定公式中的常量。代表测量数据的直线方程或经曲线化直后的直线方程表达式为y=a+bx，可根据一系列测量数据用各种方法确定方程中的常量a和b。 　　（5）检验所确定的公式的准确性。 （6）如果曲线不能转换或不必转换为直线方程，可将其用多项式拟合。

21. 四、回归分析的基本原理和方法 　　若两个变量x和y之间存在一定的关系，并通过试验获得x和y的一系列数据，用数学处理的方法得出这两个变量之间的关系式，这就是回归分析，也称拟合问题，所得关系式称为经验公式，或称回归方程、拟合方程。 直线拟合即是找出x和y的函数关系y=a+bx中的常数a,b。通常粗略一点可用作图法、平均值法，准确的作法是采用最小二乘法计算或应用计算机软件处理。 1．作图法 把实验点绘到坐标纸上，根据实验点的情况画出一条直线，尽量让实验点与此直线的偏差之和最小，然后在图上得到直线的斜率b和截距a。计算斜率量要尽可能从直线两端点求得。这种方法显然有相当的随意性。

22. 2．平均值法 当有6个以上比较精密的数据时，结果比作图法好。 将实验数据代入方程：yi=a+bxi,把这些方程尽量平均地分为两组，每组中各方程相加成一个方程，最后成一个二元一次方程组，可解得a和b。 3．最小二乘法计算 这是最准确的处理方法，其根据是残差平方和最小。这种方法需要7个以上的数据，计算比较繁。

23. 残差平方和： 则： 由此二式联立，可解出：

24. 4．计算机软件应用 实现最小二乘法的程序和软件已经广运用于数据处理中，现在比较常用的是使用Excel和Matlab通用软件，也有些用专用的实验数据处理程序来处理。由于数据处理与图形的结合，使我们的实验数据处理变得非常方便，而且获得的结果更为客观，并有良好界面。而对于不易变换为线性关系的实验数据，能很方便地用多项式拟合出解析式，以便于进一步处理，或得出经验公式。 在我们的实验课中，将学习并初步掌握Matlab的使用，会用它去处理实验数据。