1 / 19

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ Μ I ΚΡΟΣΚΟΠΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Ή ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ Μ I ΚΡΟΣΚΟΠΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Ή ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ.

tan
Download Presentation

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ Μ I ΚΡΟΣΚΟΠΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Ή ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΜIΚΡΟΣΚΟΠΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟΉ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Όπως και στην περίπτωση της μακροσκοπικής ανάλυσης, έτσι και στη διαφορική ανάλυση απαιτείται η επαναδιατύπωση των νόμων της φυσικής έτσι ώστε αυτοί να μπορούν να εφαρμοστούν σε διαφορικούς όγκους ελέγχου. Αυτό επιτυγχάνεται με το Διαφορικό Θεώρημα Μεταφοράς που έχει την παρακάτω γενική μορφή: Διαφορικός Ρυθμός μεταβολής της ιδιότητας Ν του ρευστού στον όγκο ελέγχου Διαφορικός Ρυθμός καθαρής εκροής της ιδιότητας Ν του ρευστού διαμέσου της διαφορικής επιφάνειας Διαφορικό Σύστημα Διαφορικός Ολικός Ρυθμός μεταβολής της ιδιότητας Ν του ρευστού ανά μονάδα όγκου Απειροστά μικρός διαφορικός όγκος ελέγχου έτσι ώστε το ρευστό να δύναται να θεωρηθεί ως συνεχές μέσο = ποσότητα της ιδιότητας Ν ανά μονάδα μάζας ρευστού = ποσότητα της ιδιότητας Ν ανά μονάδα όγκου

  2. Η τιμή της ιδιότητας μάζας ανά μονάδα μάζας είναι προφανώς μονάδα • Ο ολικός ρυθμός μεταβολής της μάζας ανά μονάδα όγκου εξαιτίας της Διατήρησης Μάζας πρέπει να είναι ίσος με μηδέν ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΜΑΖΑΣ Εφαρμόζοντας το διαφορικό θεώρημα μεταβολής για την ιδιότητα της μάζας, προκύπτει: Διαφορική εξίσωση Συνέχειας “Στον διαφορικό όγκο ελέγχου, το άθροισμα του καθαρού ογκομετρικού ρυθμού εκροής μάζας και του ογκομετρικού ρυθμού συσσώρευσης μάζας ισούται με μηδέν” Ογκομετρικός διαφορικός ρυθμός συσσώρευσης μάζας Καθαρός Ογκομετρικός διαφορικός ρυθμός εκροής μάζας

  3. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ Διαφορική μορφή Η εξίσωση αυτή είναι γενική και ισχύει για όλα τα πεδία ροής Διανυσματική μορφή Για ασυμπίεστο ρευστό ισχύει: Eξίσωση συνέχειας για ασυμπίεστο ρευστό

  4. ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΑΛΛΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ζ Σε κυλινδρικές Συντεταγμένες P(r,θ,z) P(x,y,z) z r θ z x Χ θ φ y r Σε σφαιρικές Συντεταγμένες P(r,θ,φ) Υ

  5. Η τιμή της ιδιότητας της ορμής ανά μονάδα μάζας είναι ίση με το διάνυσμα της ταχύτητας • Ο ολικός ρυθμός μεταβολής της ορμής ανά μονάδα όγκου είναι ίσος με το διάνυσμα της δύναμης ανά μονάδα όγκου σύμφωνα με τον 1ο νόμο κίνησης του Νεύτωνα Ογκομετρικός διαφορικός ρυθμός μεταβολής ορμής στον διαφορικό όγκο ελέγχου Καθαρός Ογκομετρικός διαφορικός ρυθμός εκροής ορμής ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ Εφαρμόζοντας το διαφορικό θεώρημα μεταβολής για την ιδιότητα της ορμής, προκύπτει: Διαφορική εξίσωση ορμής

  6. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΟΡΜΗΣ Επειδή από εξίσωση συνέχειας ισχύει: Διαφορική εξίσωση ορμής

  7. Διάνυσμα Δύναμης ανά μονάδα όγκου ρευστού Διάνυσμα επιτάχυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΟΡΜΗΣ Η ανωτέρω διανυσματική εξίσωση αναλύεται σε τρεις συνιστώσες στο σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων Στον άξονα Χ Στον άξονα Υ Στον άξονα Ζ

  8. Ζ χ Υ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ ΟΓΚΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ Το διάνυσμα της δύναμης ανά μονάδα όγκου αποτελείται από τρεις όρους: α) Δύναμη Βαρύτητας β) Δύναμη Πίεσης γ) Δύναμη Ιξώδους Δύναμη Βαρύτητας Διαφορικός όγκος ελέγχου Όπου, gx, gy, gzείναι οι συνιστώσες της επιτάχυνσης της βαρύτηταςστους τρεις άξονες Χ, Υ, Ζ του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων

  9. Ζ χ Υ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ ΟΓΚΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ Ανάπτυγμα Σειράς Taylor Δύναμη Πίεσης i, j, k είναι τα μοναδιαία διανύσματα στους άξονες Χ, Υ, Ζ αντιστοίχως

  10. Ζ χ Υ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ ΟΓΚΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ Δύναμη Ιξώδους Φαίνονται μόνο οι τάσεις που διευθύνονται στον άξονα Χ Ομοίως

  11. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ ΟΓΚΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ Συνεπώς,

  12. ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΣΕ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Στον άξονα Χ Στον άξονα Υ Στον άξονα Z Γενικευμένη Διανυσματική Εξίσωση Ορμής

  13. ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Κατά r Κατά θ Στον άξονα Ζ

  14. ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Κατά r Κατά θ Κατά φ

  15. ΕΞΙΣΩΣΗ NAVIER-STOKES ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ-ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ (ρ και μ σταθερά) ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ Για Νευτωνικό και ασυμπίεστο ρευστό ο Stokes απέδειξε ότι ισχύουν γενικά οι παρακάτω σχέσεις: Εισάγοντας τις παραπάνω σχέσεις στην γενική εξίσωση ορμής προκύπτει η γνωστή εξίσωση Navier-Stokes

  16. ΕΞΙΣΩΣΗ NAVIER_STOKES ΣΕ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Στον άξονα Χ Στον άξονα Υ Στον άξονα Z Γενικευμένη Διανυσματική Εξίσωση

  17. ΕΞΙΣΩΣΗ NAVIER-STOKES ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Κατά r Κατά θ Στον άξονα Ζ

  18. ΕΞΙΣΩΣΗ NAVIER_STOKES ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Κατά r Κατά θ Κατά φ

  19. ΕΞΙΣΩΣΗ EULER ΓΙΑ ΑΤΡΙΒΗ ΡΟΗ Σε περίπτωση ατριβούς ροής (μ=0), η εξίσωση Navier-Stokes παίρνει τη μορφή της εξίσωσης Euler Στον άξονα Χ Στον άξονα Υ Στον άξονα Z Γενικευμένη Διανυσματική Εξίσωση Euler

More Related