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現階段最佳承繼式低相關化方法之選定

現階段最佳承繼式低相關化方法之選定. 指導教授：許榮欣教授 學生：張伯偈 報告日期： 2004/04/30. 前言. 經歷一連串之探討與實驗之後，對於以二維低相關化 技巧解整週波數未定值矩陣之應用已有初步之成果。本 次報告之重點即著重於從可用性的觀點及對於運算效率 之考量出發來建議使用者採用何種演算方法。. 理論基礎. Least-squares AMBiguity Decorrelation Adjustment （ LAMBDA ） 承繼式二維低相關化技巧 (Successive 2-D Decorrelation Approach).

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現階段最佳承繼式低相關化方法之選定

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  1. 現階段最佳承繼式低相關化方法之選定 指導教授：許榮欣教授 學生：張伯偈 報告日期：2004/04/30

  2. 前言 • 經歷一連串之探討與實驗之後，對於以二維低相關化 技巧解整週波數未定值矩陣之應用已有初步之成果。本 次報告之重點即著重於從可用性的觀點及對於運算效率 之考量出發來建議使用者採用何種演算方法。

  3. 理論基礎 • Least-squares AMBiguity Decorrelation Adjustment（LAMBDA） • 承繼式二維低相關化技巧(Successive 2-D Decorrelation Approach)

  4. 主要培養之低相關演算法介紹 • The Minimum Variances Approach • The Least Correlations Method • The Maximum Correlation Approach

  5. The Minimum Variances Approach • 由Teuissen所提出的LAMBDA方法當中，我們可以清楚的見到，在進行低相關化動作的同時，矩陣之對角線元素（此處即為variance）皆會持續的降低，對於方差-協方差矩陣來說，這象徵著整體精度的提升。 • 根據這項特性，許榮欣老師訂出了目標函數 。此外，我們認為在兩次低相關化之間去觀察variance的變化，若是variance削減的越快代表這個操作是越有效的。

  6. 轉換前後之方差、協方差矩陣 [1] 目標函數

  7. MVA演算流程 • 1.將每一行元素皆除以同一行之對角線元素 • 2.取出每一行之最大值，存在一維陣列M裡面 • 3.以陣列M裡面之各元素，分別計算其相應之 • 4.取出最大之 ，以其相應之方差、協方差元素進行低相關化 • 5.重複步驟1～4，直到完全低相關化為止

  8. The Least Correlations Method • 既然名為低相關化，意即：經過轉換之後，任二 元素的相關係數值會較轉換前減小，而低相關化就是要根據門檻限制來徹底降低各方差之間的相關性，而得到此先決條件下相關係數最小之待轉換矩陣，根據這個現象所擬出的演算法，我們稱為最小相關法。 • 在許榮欣老師的手稿裡提到：兩個經過低相關轉換後的方差，其轉換之後的相關係數為

  9. 若令 • 則 • 要使上式有最小值，則選擇之 必須為一最小值 • 我們可以得知當 之值越小時，則 之值也隨之越小，其搜尋目標剛好與Minimum Variance Approach相反

  10. LCM演算流程 • 1.將每一行元素皆除以同一行之對角線元素 • 2.取出每一行之最小值，存在一維陣列M裡面 • 3.以陣列M裡面之各元素，分別計算其相應之 • 4.檢查矩陣M中各元素是否為有效值，遇到無效值則指定一極大值給它，再進入係數矩陣中遞迴運算 • 5.取出最小之 ，以其相應之方差、協方差元素進行低相關化 • 6.重複步驟1～5，直到完全低相關化為止

  11. The Maximum Correlation Approach • 最大相關係數法之概念在於：「低相關化」即是透過轉換讓矩陣元素間之相關性降低；因此，去針對相關性最高之矩陣元素進行低相關化之動作，以期達成最有效之低相關化運算。 • 將相關係數與低相關化目標函數連結在一起，我們可以得到下列之關係式： [2]

  12. 更進一步，許榮欣老師在手稿中將轉換後之矩陣對角線元素寫作：更進一步，許榮欣老師在手稿中將轉換後之矩陣對角線元素寫作： • 以數值之解析來看，當所選取之相關係數小於0.5，而方差間之大小差異也不大時，此演算法將出現遲緩之現象 • 我們可以發現當 愈大以及 愈小時，則相關係數之值將愈大

  13. 若我們想跳過直接計算矩陣之相關係數，而以指標來觀察其中目標函數之變化情形，由於牽涉到三項條件，並不容易同時滿足。我們將 拆解成 • 因此將範圍縮小至兩個變數，但是仍然無法以單一個簡單的指標去決定出正確之 。即使我們以(8)式中所推論出 之作為指標，仍然不能保證函數之行為能夠被正確的預測，欲與其他演算法組合使用也有其難度存在

  14. MCA演算流程 • 1.計算整個精度矩陣之相關係數矩陣 • 2.挑選出最大之相關係數 • 3.以相應之有效方差、協方差組合進行低相關化動作 • 4.反覆1~3，運算停止條件為max( )<0.5

  15. 實際算例與分析

  16. 最小方差演算法結果令人很驚喜，只花了22次迭代運算便結束低相關化，足足比選擇Sji最小值進行低相關化的Least Correlation Method快了一倍！（LCM花費44次運算），而且與先前預估（並且實際使用後得知）迭代次數最少的「最大相關係數法」相比，只多花了1次運算。 • 從MVA以及MCA兩者的圖形上看來，可以發現最小方差法其trace削減的程度是越來越平緩（以圖形斜率來說），而較最大相關係數法來的穩定。

  17. 至於LCM的部分，以趨勢較為平緩的部分來看，在第5～10次之間以及第16～24次之間，參照附表中Sji之值，我們取出5～10附近的部分數據來討論，可以發現：至於LCM的部分，以趨勢較為平緩的部分來看，在第5～10次之間以及第16～24次之間，參照附表中Sji之值，我們取出5～10附近的部分數據來討論，可以發現： • 第四次選中：2425.024 • 第五次選中：441.248 • 第六次選中：681.738 • 第七次選中：716.826 • 第八次選中：896.820 • 第九次選中：1579.760 • 第十次選中：4481.370 • 第十一次選中：15613.008

  18. Sji即為每次迭代過後整體trace之變化量，此演算法是針對Sji最小的來挑選，所以在各個column挑出一個最小值時，若其中最小和最大的Sji差距甚遠的時候，那麼在運算效率上就會明顯的減緩下來；像Minimum Variance Approach在此時就會佔了演算效率上的優勢。

  19. 結論 • 在這三種主要培養之低相關演算法中，最小方差法(Minimum Variance Approach)是在程式運作上最為簡單的，不但在運算量上只有最小相關法(Least correlation Method)之1/2不到，其計算之指標亦較最大相關係數法(Maximum Correlation Approach)單純，且矩陣方差和之削減效率相去不遠。因此本篇報告所欲提供給LAMBDA法解相關之使用者的建議是採用最小方差法，為現階段最實用的承繼式二維低相關化操作法。

  20. 參考文獻 • [1] Rongshin Hsu，2004，Manuscript p.9 Eq.(28),Eq.(29) • [2] Rongshin Hsu，2004，Manuscript p.11 Eq.(36)

  21. 附錄 • MVA trace:（順序由左至右，由上而下，共22次迭代運算） 7.8895e+005 3.5583e+005 1.7736e+005 1.2074e+005 9.1348e+004 7.2996e+004 5.8970e+004 4.7275e+004 3.6604e+004 2.7731e+004 2.1467e+004 1.6618e+004 1.5747e+004 1.4621e+004 1.1742e+004 1.1216e+004 9.4434e+003 9.0249e+003 8.6066e+003 8.1358e+003 7.4555e+003 7.2648e+003

  22. LCM • 由左至右，由上而下，共44次迭代運算： 1.2828e+006 1.233e+006 1.1894e+006 1.0706e+006 1.0295e+006 1.0251e+006 1.0156e+006 1.0085e+006 9.9948e+005 9.8369e+005 9.3887e+005 7.8274e+005 7.8061e+005 5.3054e+005 5.2898e+005 3.2055e+005 3.1764e+005 3.1585e+005 3.0452e+005 3.0366e+005 3.0081e+005 3.0053e+005 3.0016e+005 2.9206e+005 2.425e+005 2.3951e+005 2.0027e+005 1.9588e+005 1.9507e+005 1.9354e+005 1.9313e+005 17032 15651 15020 14977 14839 14184 11705 11539 10328 9647.3 7873.9 7455.5 7264.9

  23. MCA • 由左至右，由上而下，共21次迭代運算： 1.2828e+006 8.6651e+005 6.8803e+005 2.4171e+005 1.7896e+005 1.3858e+005 84660 46938 36266 32349 27390 24104 22230 17893 16773 15068 13794 13434 12005 8484.2 7288.4 7264.9 22個trace值，但其實是21次迭代運算，第一個 1.282e+006是未經低相關化之前的矩陣原始trace值。

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