Теорема про т ри перпендикуляри

1. Теорема про три перпендикуляри

2. Означення прямої перпендикулярної до площини: Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до любої прямої,яка лежить в цій площині. b c A α d a

3. Ознака перпендикулярності прямої і площини: Якщо пряма перпендикулярна двом прямим,які перетинаються і лежать в площині, то вона перпендикулярна і до самої площини. A c α b a

4. Перпендикуляр, похила, проекція похилої на площину: A В М α

5. Завдання: Пряма a– похила до площини α. Вона перетинає площину в точці М. Побудувати проекцію цієї похилої на площину α. А М В α а

6. Теорема про три перпендикуляри: A В М а α Пряма, проведена в площині через основу похилої перпендикулярно до її проекції на цю площину, перпендикулярна і до самої похилої.

7. Дано:α,АС – похила, ВС – проекція, ВС ┴ с , АВ ┴ α. Довести: АС ┴ с. Доведення. 1.ПроведемоСА1 ┴ с . 2.СА1||АВ по теоремі.(Теорема: Якщодвіпряміперпендикулярнідоплощини, товонипаралельні). 3.ПроведемочерезАВіСА1площину β. 4.с ┴ СА, с ┴ ВС (по Теоремі: «Якщопрямаперпендикулярнадодвох прямих, якіперетинаються ілежать в площині, товонаперпендикулярнадоцієїплощини».), с ┴ β, значить,с ┴АС. А А1 В С с α

8. Iспосіб (відсупротипного) S В А О С t Теорема: Якщопряма, проведенана площинічерезосновупохилої, перпендикулярнадоїї проекції, товонаперпендикулярнаідо самоїпохилої. Доведення: Нехайt ┴ ОА. Припустимо, щоSAнеперпендикулярнадо прямоїt. ПроведемоSB ┴ t, тодіSA> SB. ІзпрямокутнихтрикутниківSOA іSOB ,одержимо: ОА>OB. Разомз тим ОА < OB, такяк ОА ┴ tзаумовою. Доданогопротиріччянаспривелоприпущення, щоSAнеперпендикулярнадо прямоїt. Значить, SA┴ t.

9. II спосіб (властивостірівнобедреноготрикутника) S M O A t N Доведення: Від точки А відкладеморівнівідрізки: АМ= АN. Точки М іN сполучимозточкамиOіS. ОА єодночасновисотоюімедіаною, цейтрикутникрівнобедрений: ОМ = ОN. ПрямокутнітрикутникиOSM іOSNрівні (задвомакатетами). Зїхрівностіслідує, щоSM= SN іSA- медіанарівнобедреноготрикутникаMSN. Значить, SAодночасноівисотацьоготрикутника, тобтоSA┴MN.

10. III спосіб (теорема Піфагора) S O B A t Доведення: На прямійt візьмемодовільну точку В і сполучимоїїз точками О іS. З прямокутних трикутниківSOB, SOA іAOB: SB 2 = SO2+ OB2, SA2 = =SO2+ OA2, OB2- OA2= AB2. Віднявшивід першої рівностідругу, одержимо:SB2 – SA2 = =OB2 – OA2. Прийнявшидоуваги третю рівність, маємо: SB2 – SA2 = AB2, SB2 = SA2 +AB2.Відповідно теоремі, оберненій теоремі Піфагора, SA┴AB, тобто . t┴SA

11. IV спосіб (векторний) S N A O M α Доведення: Задамо вектори Помножимо обидві частини на Скалярний добуток двохперпендикулярних векторів рівний нолю: Але і не нульові вектори, значить, , пряма перпендикулярна до похилої, що і потрібно було довести .

12. Теорема обернена до теореми про три перпендикуляри: A В М а α Прямая, проведена в площині через основу похилої перпендикулярно до неї, перпендикулярна і до проекції похилої на площину.

13. Задачі на доведення D1 C1 A1 B1 D C O A B

14. K D C B A

15. Серед точок прямої b точка В являється найближчою до точки А Доведіть, що вона найближча до точки С C A α B a b

16. EF – середня лінія прямокутного трикутника АВС, МЕ – перпендикуляр до площини цого трикутника M B E F A C

17. M D P A O K C B

18. K P C A D O B

19. Через точку М проведені похила МВ і перпендикуляр ММ1 до площини кута АВС. Гострі кути МАВ і МВС рівні. • Доведіть, що

20. M A K M1 B C T

21. Задачі на побудову • Відрізок МС перпендикулярний площині рівносторонньоготрикутника АВС. • Проведіть через точку М перпендикуляр до прямої АВ М С А B

22. Відрізок MD перпендикулярний площині прямокутника ABCD. Проведіть через точку М перпендикуляри до прямих ВС і АВ M C D B A

23. Відрізок МА перпендикулярний до площини ромба. Проведіть через точку М перпендикуляр до прямої AC M C D O B A

24. Відрізок MN перпендикулярний площині прямокутного трикутника АВС. Проведіть через точку М перпендикуляри до прямих АС і ВС M B N C A

25. Відрізок MN перпендикулярний до площини рівнобедреного трикутника АВС (АВ=АС). Проведіть через точку М перпендикуляр до прямої ВС. М С N A В

26. Відрізок MD перпендикулярний до площини рівнобічної трапеції ABCD(AB=CD).Проведіть через точку М перпендикуляр до прямої ВС M C D A B

27. Відрізок MC перпендикулярний до площини прямокутної трапеції ABCD(кут В –прямий ).Проведіть через точку М перпендикуляри до прямих АВ і AD M C D A B

28. Задачі на обчислення M 17 D 15 C 8 K O A B L

29. P 13 √69 12 A 10 5 B 300 C

30. Знайти: відстань від точки М до сторін і діагоналей квадрата M 4 √20 3√2 C B 2 √2 A D

31. Катети прямокутного трикутника АВС рівні 9см і 16см. Через середину гіпотенузи - точку О проведено перпендикуляр до площини трикутника довжиною 6см. Знайдіть відстань від кінців перпендикуляра до катетів і вершини прямого кута. M 10 6 B 7,5 O 8 9 A 4,5 C 16

32. M C B A

33. ABCD – ромб, OK – перпендикуляр до площини ромба. ОК=5см. Знайти відстань від точки К до сторін ромба, якщо його діагоналі рівні 40см і 30см. K 13 5 C B O 20 25 12 M 15 D A

34. ABCD – квадрат. АВ=2а.DD1=a.Побудуйте проекцію DC на площину α. Знайдіть відстань між прямою АВ і проекцією DC на площину α. C D 2a a B A a√3 C1 D1 α