Download
1 / 48
490 likes | 923 Views
IV Tutorial z Metod Obliczeniowych. Interpolacja i aproksymacja. Karol Daszkiewicz Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo. Interpolacja - wstęp.
E N D
IV Tutorial z Metod Obliczeniowych Interpolacja i aproksymacja Karol Daszkiewicz Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo
Interpolacja - wstęp Celem interpolacji jest wyznaczenie wartości funkcji na zadanym przedziale [a,b], gdy znane są jej wartości tylko na brzegach przedziału oraz dla pewnej liczby punktów z tego przedziału.
Interpolacja - wstęp • interpolację stosuje się dla niewielkiej liczby punktów pomiarowych • najczęściej wykorzystuje się kilka funkcji przybliżających, gdyż znalezienie jednej funkcji dla większej liczby punktów jest trudne lub wręcz niemożliwe • poszukiwana funkcja interpolacyjna lub funkcje interpolacyjne muszą przechodzić przez wszystkie punkty pomiarowe
Interpolacja - zastosowanie • interpolacja służy najczęściej do wyznaczenia wartości funkcji w punktach pośrednich • pozwala zastąpić skomplikowany wzór funkcjami prostszymi np. liniowymi • w praktyce inżynierskiej interpolacja jest stosowana przy obróbce wyników badań doświadczalnych, np. przy zagadnieniach identyfikacji właściwości materiałowych
Rodzaje interpolacji • Przeprowadzenie interpolacji wymaga przyjęcia pewnej z góry założonej postaci poszukiwanej funkcji. W zależności od tej postaci najczęściej się stosuje interpolacje: • wielomianową Newtona (liniowa, kwadratowa, sześcienna …) • wielomianową Czebyszewa • wielomianową Hermite’a • wielomianową Lagrange’a • trygonometryczną (np. szeregami Fouriera)
Interpolacja Newtona dla wielomianu dowolnego stopnia Gdzie funkcje z nawiasami kwadratowymi oblicza się z zależności rekurencyjnych:
Interpolacja sześcienna Interpolacja sześcienna jest szczególnym przypadkiem interpolacji Newtona dla n=3:
Interpolacja – treść zadania POLECENIE: Posługując się gotowym algorytmem interpolacji lub aproksymacji funkcji znaleźć podane w treści zadania wartości zadanej funkcji. 1.Na podstawie algorytmu podanego w skrypcie napisać funkcję interpolującą lub aproksymującą. 2.Współrzędne zadanych i poszukiwanych punktów zapisać w zbiorze dane1.m 3.Napisać program wczytujący zbiór z danymi, a następnie posługując się zdefiniowaną funkcją wyznaczyć wartości funkcji w zadanych punktach. 4.Sporządzić wykres przedstawiający funkcję z zaznaczonymi punktami zadanymi i wyliczonymi .
Interpolacja – algorytm rozwiązania Wczytanie danych w programie: Na laboratorium dane należy wczytywać z pliku dane1.m. Wyznaczenie brzegów przedziału [minx,maxx]. Wczytanie do zmiennej n liczby punktów poszukiwanych.
Interpolacja liniowa – algorytm rozwiązania Obliczenie współrzędnych poszukiwanych punktów: Sprawdzenie czy punkt należy do przedziału [minx,maxx]. Obliczenie numeru najmniejszego elementu większego od poszukiwanego punktu Zaimplementowanie do programu wzoru: Potrzeba stworzenia funkcji interpolacyjnej !!!
Interpolacja kwadratowa – algorytm rozwiązania Obliczenie współrzędnych poszukiwanych punktów: Sprawdzenie czy punkt należy do przedziału [minx,maxx]. Obliczenie numeru najmniejszego elementu większego od poszukiwanego punktu Uruchomienie funkcji interpolującej dwumian, przekazanie do niej współrzędnych danych punktów oraz odciętych punktów poszukiwanych.
Interpolacja kwadratowa – algorytm rozwiązania Funkcja interpolująca dwumian(): Wykorzystanie w funkcji dwumian() wcześniej zaprezentowanych wzorów:
Interpolacjasześcienna – algorytm rozwiązania Obliczenie współrzędnych poszukiwanych punktów: Sprawdzenie czy punkt należy do przedziału [minx,maxx]. Obliczenie numeru najmniejszego elementu większego od poszukiwanego punktu Uruchomienie funkcji interpolującej cub, przekazanie do niej współrzędnych danych punktów oraz odciętych punktów poszukiwanych.
Interpolacja – algorytm rozwiązania Funkcja interpolująca cub(): Wykorzystanie w funkcji cub() wcześniej zaprezentowanych wzorów:
Interpolacja kwadratowa – algorytm rozwiązania Sporządzenie wykresu: - wypisanie wyników w CommandWindow Narysowanie punktów danych oraz wyliczonych z interpolacji Dla interpolacji liniowej łatwo można narysować przebieg funkcji, gdyż wystarczy połączyć dane w zadaniu punkty.
Interpolacja – wynik rozwiązania metodą numerycznądla interpolacji liniowej
Aproksymacja - wstęp Celem aproksymacji jest wyznaczenie przybliżonego przebiegu funkcji dla danego zbioru punktów, w których znane są wartości funkcji (np. punkty pomiarowe).
Aproksymacja - wstęp • aproksymację stosuje się dla znacznej liczby punktów pomiarowych • w aproksymacji poszukuje się jednej funkcji przybliżającej, która nie musi przechodzić przez wszystkie punkty pomiarowe • wobec tego w każdym punkcie pomiarowym pojawia się różnica (błąd) między wartością pomierzonej funkcji a wartością funkcji aproksymującej
Aproksymacja – kryteria błędów • W aproksymacji poszukuje się takiej funkcji przybliżającej, dla której błąd przybliżenia punktów pomiarowych będzie najmniejszy. • Najczęściej stosowane kryteria błędów: • - kryterium minimum sumy błędów • - kryterium minimum wartości bezwzględnej błędów • kryterium minimum błędu maksymalnego • kryterium minimum sumy kwadratów błędów
Aproksymacja – kryteria błędów Dla liniowej funkcji aproksymującej: Kryteria obliczania błędu: Definiowane są następująco: Minimum sumy błędów: Minimum sumy wartości bezwzględnych błędów: Kryterium minimum błędu maksymalnego (tzw. Kryterium „minimax”):
Aproksymacja – kryteria błędów Minimum sumy kwadratów – metoda najmniejszych kwadratów: Kryterium te jest najczęściej stosowane, ze względu na otrzymywaną najbardziej pożądaną postać funkcji przybliżającej.
Rodzaje aproksymacji • W zależności od przyjętego sposobu oszacowania błędu aproksymacji, wyróżnia się trzy rodzaje aproksymacji: • aproksymacja interpolacyjna – sprowadza się do interpolacji jedną funkcją całego przedziału • aproksymacja jednostajna – aproksymacja w której jako kryterium minimalizacji błędów przyjmuje się kryterium minimax • aproksymacja średniokwadratowa – metoda najmniejszych kwadratów
Aproksymacja – metoda najmniejszych kwadratów Aproksymacja średniokwadratowa jest najczęściej stosowanym sposobem aproksymacji. Posiada wiele wariantów, tutaj przyjęto wariant liniowy metody. Żądamy w niej, aby zostało spełnione kryterium minimum sumy kwadratów błędów. Jeśli wartości funkcji dane są w punktach , to szukamy funkcji aproksymującej jako kombinacji liniowej pewnych funkcji : Gdzie: l – liczba funkcji aproksymujących jest dużo mniejsza odn – liczby punktów, w których dana jest wartość funkcji.
Aproksymacja – metoda najmniejszych kwadratów Minimum wariancji H możemy obliczyć przyrównując jej pochodną do zera: Otrzymujemy układ l równań o l niewiadomych Gdzie:
Ocena dokładności aproksymacji Wariancja H wyraża średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (błędów) wartości funkcji od obliczonej wartości średniej funkcji w poszukiwanych punktach. gdzie: jest wartością średnią funkcji w punktach poszukiwanych. Ponieważ wariancja rośnie wraz ze wzrostem n, stosuje się średnią wartość wariancji – tzw. odchylenie standardowe:
Aproksymacja – algorytm rozwiązania Wczytanie danych w programie: Na laboratorium dane należy wczytywać z pliku dane1.m. Zmienna m jest zwiększana o jeden ponieważ wielomian n stopnia ma n+1 niewiadomych współczynników
Aproksymacja – algorytm rozwiązania Obliczenie elementów pomocniczych macierzy A i B: Sprawdzenie czy użytkownik wczytał wystarczającą liczbę punktów do zdefiniowania wielomianu stopnia m-1 Obliczenie elementów macierzy A i B zgodnie z poniższymi wzorami: Potrzeba stworzenia oddzielnej funkcji aproksymacyjnej !!!
Aproksymacja – algorytm rozwiązania Obliczenie na podstawie funkcji aproksymującej wartości funkcji w punktach poszukiwanych : Narysowanie wykresu funkcji aproksymującej z zaznaczeniem punktów danych i poszukiwanych:
Prezentacja została wykonana na podstawie skryptu: METODY NUMERYCZNE W MECHANICE KONSTRUKCJI z przykładami w programie MATLAB prof. dr hab. inż. Paweł Kłosowski dr inż. Andrzej Ambroziak Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej
