Použití metody konečných prvků v úlohách elasticity s malou stlač i telností

1. Použití metody konečných prvků v úlohách elasticity s malou stlačitelností Jana Cibulková Obor Matematické modelování v technice Školitel: Ing. Jiří Plešek, CSc. Konzultant: RNDr. Marta Čertíková

2. Klasická formulace smíšené úlohy pružnosti Na oblastis jednou spojitě diferencovatelnouhranicí Γ hledáme složky kde splňující • Lamého rovnice pro homogenní a izotropní materiál v Ω, i=1,2: • Okrajové podmínky: λ, μ Lamého konstanty τij tenzor napětí: vektor vnějších sileijtenzor malé deformace zadaný vektor napětí na Γt νi vektor jednotkové vnější normály zadané posunutí na Γu

3. Slabá formulace a její aproximace MKP • Hledáme složky splňující Prostor testovacích funkcí • Nechť Vh je konečně rozměrný podprostor V s bází . Řešení hledáme ve tvaru • Výsledkem je systém rovnic pro neznámý vektor posunutí U v uzlech Zde B je matice derivací testovacích funkcí a E je matice elastických konstant.

4. Uzamknutí (locking) a jeho odstranění Locking je označení situace, kdy tvarové funkce prvku nepřenesou žádaný deformační mod. Hlavní typy uzamknutí • smykové uzamknutí (shear locking) • objemové uzamknutí (volumetric locking) Projevy uzamknutí • výskyt fiktivních napětí • zvýšení tuhosti • výrazné změny hodnot napětí na elementu Metody odstranění uzamknutí • smíšené a hybridně–smíšené metody • podintegrování a stabilizace

5. Numerické experimenty • známé analytické řešení • pole napětí nezávisí na Poissonově čísle • Q4 – bilineární isoparametrický element se 4 uzly • obdélníková a čtyřúhelníková síť

6. Obr. 2: Konvergence numerického řešení a): 16 elementů b): 64 elementů c): 256 elementů d): 1024 elementů Konvergence numerického řešení k anlytickému se zjemněním sítě pro Q4 Obr. 1: Regulární zahušťení sítě

7. Q4 a podintegrace • Plná Gaussova integrace: 2x2 Gaussovy body • Redukovaná integrace : 1 Gaussův bod ve středu elementu • Mod 1 - 3: pohyb tuhého tělesa • Mod 4 - 6: konstatní deformace • Mod 7 - 8: ohyb Obr. 3: Nezávislé mody posunutí elementu Q4

8. Referenční příklady • 1. příklad – pevná deska • Jednoosá napjatost • Okrajové podmínky • Analytické řešení • Očekáváme • mody nulové energie

9. Obr. 4: Vývoj napětí na desce 2x2 integrace Poissonovo číslo ν=0.3 ν=0.4998 1x1 integrace Poissonovo čísloν=0.3ν=0.4998 1. referenční příklad

10. Referenční příklady • 2. příklad – pevná deska s dírou • Okrajové podmínky • Analytické řešení (s pomocí Airyho funkce napětí) podél osy x Maximální hodnota napětí • Očekáváme • objemové uzamknutí pro rostoucí Poissonovo číslo

11. 2. referenční příklad- 2x2 integrace Obr. 5: Vývoj napětí na desce pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3 a ν=0.4998

12. 2. referenční příklad- 2x2 integrace Obr. 6: Vývoj napětí podél osy x pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3, ν=0.4998

13. 2. referenční příklad- Podintegrace Obr. 7: Vývoj napětí na desce pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3 a ν=0.4998

14. 2. referenční příklad- Podintegrace Obr. 8: Vývoj napětí podél osy x pro hodnotu Poissonova čísla ν=0.3, ν=0.4998

15. Chyba numerických výsledků Obr. 9: Vývoj chyby promaximum napětí σy a hodnoty Poissonova čísla ν = 0.3 - 0.4998

16. Závěr Hlavní výsledky práce • vývoj vlastního MKP programu pro testování uzamykání a metod pro jeho odstranění,implementace metody podintegrace • testovacíúlohy pro objemové uzamknutí • porovnaní analytického řešení a podintegrace na desce s dírou Získané poznatky • demonstrace projevů objemového uzamknutí • podintegrace postačuje k zabránění uzamknutí na složitější síti • pointegrovaní nestačí pro pravidelnou obdélníkovou síť a vyžaduje stabilizaci v posunutí Práce byla součástí grantového projektu 101/06/0914.