Conditional Value-at-Risk 最小化を考慮した新聞売り子問題に対する解法

Conditional Value-at-Risk最小化を考慮した新聞売り子問題に対する解法筑波大学大学院システム情報工学研究科１年高野祐一

新聞売り子問題とは‥ • ある処に新聞売り子君がいるとする。 • 彼は困っている。「毎日、新聞の需要は変化する‥。仕入れ部数は何部に設定すればいいんだ！？」ランダムな需要の下での仕入れ部数決定問題 Point 新聞：翌日には価値が無くなってしまう。

新聞売り子問題が応用できる例 • スーパーの経営者 • 洋服屋さん • 電力会社「肉や生鮮食品はどれくらい揃えておけば‥？」「今年は冬物コートを何着仕入れよう‥？」「発電量はどれくらいに設定すれば‥？」

新聞売り子の利潤関数 売上売れ残りを返品機会損失のペナルティー仕入れ費用：販売価格：仕入れ部数（決定変数） Assumption 1 ：返品価格：仕入れ価格：需要部数（確率変数）：仕入れ不足ペナルティー

新聞売り子の費用関数 仕入れ過剰コスト仕入れ不足コスト if Y≧0, then [Y]+=Y. if Y＜0, then [Y]+=0. ：販売価格：仕入れ部数（決定変数） Assumption 1 ：返品価格：仕入れ価格：需要部数（確率変数）：仕入れ不足ペナルティー

（古典的な）新聞売り子問題の解 利潤・費用関数の間に以下の等式が成り立つ。問題として等価ゆえに、需要の分布関数の逆関数　　　　の存在を仮定した上で、以下の最適解が得られる。：仕入れ過剰コスト：仕入れ不足コスト

研究の動機付け 期待利潤の最大化のみを考えれば十分なのか？ NO! 利潤（i）利潤の変動は　　避けたい。 × ○ 期（ii）上司から課せられるのは期待利潤の最大化　　ではなくノルマの達成。

関係論文 • 利潤の標準偏差の最小化　 Lau, H (1980) etc… • 利潤目標達成確率の最大化 Lau, A. and Lau, H (1988) etc… 非凸な問題となり、扱いが難しい‥。

CVaR（Conditional Value-at-Risk） 損失がVaRを上回る場合という条件付き期待損失：信頼水準分布関数リスク！（確率１ーβ） VaR 損失額小さく！リスク損失の期待値：CVaR 密度関数リスク！損失額

CVaRの定式化Rockafellar, R.T. and S. Uryasev. (2002) CVaR最小化は以下の関数の最小化と等価である。：（決定変数）最適化すると、　≒VaR ：信頼水準：損失関数 Proposition 1 もし、　　　　　　　　　　　　　　　　が凸関数ならば、　　　　　　　は凸関数になる。

新聞売り子問題におけるCVaR最小化の凸性 • CVaRの損失関数　　　　　として以下の２つを用いる。 • よって、Proposition 1より以下が成り立つ。純損失関数：費用関数：凸関数 Proposition 2 純損失関数、費用関数を用いて定義した CVaRの最小化は凸関数の最小化となる。

解析解の導出(新聞１種類、制約無しの場合) Proposition 3 　　　　　において、純損失関数を用いて定義したCVaR最小化問題の最適解はである。＜期待利潤最大化＞

解析解の導出（新聞１種類、制約無しの場合）解析解の導出（新聞１種類、制約無しの場合） Proposition 4 　　　　　において、費用関数を用いて定義したCVaR最小化問題の最適解はである。＜期待利潤最大化＞

CVaR最小化の最適解の性質(1) 需要　　　　　　　　　として最適解を計算してみる。（純損失：　　費用：　　）仕入れ過剰コスト高仕入れ不足コスト高 (E, U, V ) = (60, 30, 20) (E, U, V ) = (30, 60, 50)

CVaR最小化の最適解の性質(2) 費用CVaR • 仕入れ過剰コスト：高　→　仕入れ部数：少 • 仕入れ不足コスト：高　→　仕入れ部数：多 • 仕入れ部数を少なくすることで、利潤が大きく落ち込むリスクを避ける。 ∵費用関数純損失CVaR ∵仕入れ部数を増やすと、利潤のばらつきは　大きくなる。

平均‐CVaRモデル • リスクの最小化のみを追い続けるというのも非現実的。 • 期待利潤の最大化とCVaRの最小化をトレード・オフ・パラメータ：λ（>0）で調整しながら同時に行う。

最適解の計算方法 Proposition 5 平均‐純損失CVaRモデルは以下の方法で最適解を導出することができる。 Step 1 もし、　　　ならば以下が最適解となる。 Step 2 もし、　と　がを満たしているなら、以下が最適解となる。

つづき Proposition 5 Step 3 もし、以上を満たさなければ、単調減少を解いて　を求め、　は以下で定義される。

平均‐CVaRモデルの解(s=0) Proposition 6 平均‐純損失CVaRモデルは仕入れ不足ペナルティー：ｓ＝０の場合に、以下の closed formの最適解を導出することができる。

最適解の計算方法 平均‐純損失CVaRモデルの最適解の計算方法と同様にして、平均‐費用CVaRの最適解も計算することができる。 Proposition 7 平均‐費用CVaRモデルは以下の方法で最適解を導出することができる。省略（Proposition 5と同様）。

線形計画問題に変換 （ここまでの結果）新聞１種類、制約無しの問題 →微分して解析解 Proposition 8 需要の分布が有限のシナリオに従うと仮定すれば、純損失関数・費用関数を用いたCVaR最小化問題・平均‐CVaRモデルは、すべて等価なＬＰに変換可能。新聞多種類、制約ありの問題 →ＬＰに変換して、数理計画用ソルバーで　解くことが可能。

ヒストグラムによる比較（新聞１種類　需要：正規分布　β=0.9）ヒストグラムによる比較（新聞１種類　需要：正規分布　β=0.9）期待利潤最大化期待利潤最大化確率確率 1.4% 2.4% 利潤費用純損失CVaR 純損失CVaR 確率確率 0.1% 27% 利潤費用費用CVaR 費用CVaR 確率確率 2.3% 0.9% 利潤費用

「都市のOR」でのこの発表の意義 確率変数が絡んだ最適化問題 →交通量、人口の増減 etc… 期待値の最適化 →同様の意思決定が繰り返される場合に平均的に良い。（大きな損失を被るリスクを回避したい） CVaRの最小化・VaRによるリスク分析 →損失関数が凸関数なら凸計画問題

新聞売り子も 楽じゃないよ‥。

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