第５章　波の生成とシアー中の重力波について

北上山地はほのかな幾層の青い縞をつくる- 第５章　波の生成とシアー中の重力波について前章ではおもに重力波の存在性（大気中に波として存在可能であること、さらに大気を強制したときに，条件によっては鉛直に伝播可能であること）を議論した。大気には散逸過程が存在するので、常に強制がないとそのうち波動はなくなってしまう。実際には常に波動が観測されるので、何か生成のメカニズムが存在するはずである。そこでこの章の前半では、この問題のいくつかを簡単に議論する。　後半は、波動の働き（６章）の準備として、基本的流れのシアー中の波動の振る舞いについて述べる。５−１：赤道ケルビン波の生成について 15日程度の下部成層圏 Kelvin波の話し −＞簡単化された励起の問題赤道下部成層圏におけるKelvin波の時間変動

図（温度の時間変化）から想像されるように　−＞温度が変動している図（温度の時間変化）から想像されるように　−＞温度が変動しているそこで，熱帯対流圏で熱的な強制が時間的に振動すれば，その周りに波動として伝わることが出来るであろう．ー＞熱帯対流圏のところで、以下の式のような局所的で一定の時間変動のHeatingを考える．（Holton, 1972, J. Atmos. Sci.）下図が変動成分である、 Ricciardulli and Garcia, 2000, JAS

対流圏で局所的な関数形の熱強制を与えているので、対流圏は複雑である。対流圏で局所的な関数形の熱強制を与えているので、対流圏は複雑である。熱の強制のない成層圏では大気の運動は鉛直伝播的に振舞う．この場合波数１が卓越している。ここで　　　　　　はHeatingの南北鉛直構造を表し，K/dayの大きさ，　　は経度，　　　　，　は与えられるHeatingの振動数である。 Heating Qをフ−リエ分解する（西向き、東向き成分に分ける）。　　　 u’ ここでは，熱帯下部成層圏の応答を考えているので，観測されているKelvin波を想定して，周期は15日に決め，南北対称なHeatingの形を与える．平均東西風もある形に仮定．線型の方程式を解いて応答を調べる。 shadeが西風加熱の鉛直構造（実線） Kevin波の分散式で（1/4H2は無視）： c=ω/k=2*3.14/ (15日）/(2*3.14/4x107)=30m/s m=N/c=2x10-2/30=2/3x10-3ー＞Lz=2x3.14x3/2x103 波の鉛直波長を見積もると約10ｋｍとなる．図の鉛直構造の波長と大差はない。

GCMのHeatingを与えて、東西平均風の線形的な応答をみる。GCMの結果との比較。波数1成分の時間−高度断面図、上図はGCMの結果で、下図が線形モデルの結果（線形の方が応答が大きい、自己調節（例えば壊れたりする）が十分でないからであろう）。基本的な応答はよく似ている。GCMのHeatingを与えて、東西平均風の線形的な応答をみる。GCMの結果との比較。波数1成分の時間−高度断面図、上図はGCMの結果で、下図が線形モデルの結果（線形の方が応答が大きい、自己調節（例えば壊れたりする）が十分でないからであろう）。基本的な応答はよく似ている。大気大循環モデル（GCM）中のThermal Heatingによる波動生成：波数1で東に伝播する成分。経度0での時間変動、緯度10度の平均、 Manzini and Hamilton (1993, J. Atmos. Sci.) 、このモデルは湿潤対流調節で対流を起こしている波数1、東に伝播する東西風間隔0.1K/d 2m/s間隔、鉛直波長が12-15km、周期が12-14days GCM中の熱的加熱の時間高度断面図時間高度断面図（位相の下方伝播が見える）

Wheeler and Kiladis, JAS, 1999 対流圏中のケルビン波：成層圏のものより遅い h=25m 等価深さh=25m 周期西向き東向き OLRのdataからスペクトル解析して対称のモードを取り出す Kelvin波のバンド域のシグナルの強いところ、対流圏はlocalityが強いある部分が分散式にのっていること

境界層topの上昇流に比例して熱 Q をだし、波の位相速度を小さくすることを考える。赤道でのGMSデータのスペクトル解析と赤道波の分散式（線であらわされている）をあらわしている。赤道波の分散式にのっている部分がある。 Wave-CISK（２種条件不安定）の考え：のような熱力学の式を仮定して問題を解く．残りの線形運動方程式も使い、線形の固有値問題をとく(cf. Hayashi, 1970, JMSJ)。 Kelvin波等が不安定になる．３層モデルで固有値問題をとく。下の図は２つのη の鉛直分布と差分化、右図はη１＝０としてη２の値を変化したとき、それにともなって波の固有値 c （時間微分から　-ikcがでる）が変化することを示している。Heating Qをきめるηを変化させることで、位相速度cを変化させて、比較的ゆっくりした波の速度（10m/s程度）を出すことができる（Takahashi,1987, JMSJ ）。ある部分はこのようなメカニズムで赤道波が生成されている可能性がある。問題点−＞熱の鉛直分布を決めるパラメ−タηに敏感に依存する．　 cの虚部 ci 対応する固有値は　√gh＝１４ｍ／ｓ（ｈ＝２０ｍ）、Kelvin波の場合はc = √gh 、の浅い波の赤道波に対応している。鉛直波長は √gh=N/m →14/1x10-2 x2x3.14 -> 9km 半波長では5kmでかなり鉛直スケールが小さい波に対応している。位相速度

計算して、Aは Watanabe and Jin, 2003, J. Climate 補足：より一般的な局所的wave-CISK＜ーENSOに適用飽和を仮定して熱力学と水蒸気の式（対流と表面fluxからの） Heatingとmoisture sinkバランス対流評価はRelaxation型のheating また雲について、境界層bの湿潤静的エネルギーをfactor A, Bをとおしてつかう表面での顕熱，潜熱fluxによる境界層と雲層の保存則から Ch: バルク係数 W: surface wind over barは基本状態でprimeは摂動

定常解：ドライなLinear Baroclinic Model に対する(a)鉛直平均加熱Q’cと、(b)500mbでのheight応答、MoistなLBMに対する加熱(c)、と500mbの高度差(d)の応答（赤道で高気圧偏差）上からSSTのanomaly（ENSO-LaNinaの差）、OLRの差、500mbの高度差類似性高度場の応答がdryとmoistで異なる、東西および南北の構造の違い

５−２：対流と重力波生成について 鉛直流 12例を集めたcompositeの図 Sato et al. ( 1994, J. G. R. ) ：対流圏の対流（夏７月の日本、35N, 136Eでの観測）と成層圏擾乱が結びついているように見える。つながっていない時もある。対流が強いと、成層圏に影響をあたえるのだろう。ただし、この緯度では１日振動は上方に伝播しない。対流圏(5.4km-15km)と下部成層圏(16-22km)との関係

対流圏の振動するupdraftからの重力波生成：モデル実験から、Fovell et al., 1992, JAS 平均東西風の鉛直分布；２次元対流モデル t=6hにおける東西風（上, 4m/s間隔）と鉛直流（下,1m/s間隔）の東西-高度分布、雲は太い実線 x=291kmにおけるt=5.5hからt=6.5hでの鉛直流の時間高度分布図、対流圏においてupdraftが時間的に振動している 16m/sで動く系でみた雨の時間的振る舞い、時間的に振動している

別例：２次元対流モデルの対流と重力波、Eitzen and Randall, JAS, 2005 実線の方が中緯度状況での基本流鉛直速度のスペクトル（実線は14kmの高度）対流圏の対流と成層圏の重力波、中緯度の状況鉛直波長7km程度の重力波が生成

流体粒子に軌跡について： Updraftsの軌跡例規格化された鉛直流（縦軸）と変位（横軸）で分類された、波／乱流波／乱流に分類された流体粒子の軌跡の例：上下に振動的か、起点は(0,0)にとってある。

５−３：その他いくつか 台風からの重力波台風 Kelly ( 1987, 10月）とからんだ重力波(Sato, 1993, J. Atmos. Sci.)　この図は南北風が卓越した、水平波長が600km（台風全体のスケールを感じている？）で鉛直波長が6kmの重力波らしい。周期は地面にたいして６時間程度の重力波（下図の９に対応）。

中緯度の重力波のスペクトル図 地衡風調節からの中緯度の重力波？ MU観測 Model結果東西風 MU観測 Model結果南北風地衡風調節で生成されていると言われているが、詳細な生成メカニズムは調べられていない高分解能のGCM（分解能は100km程度）に現れた重力波（右）：中緯度の重力波、左は観測で見られるもの、構造がよく似ている。Sato et al., 1999, J. Atmos. Sci.

このような山があって、風が吹いた時にどのような波が生成されるか　が今の問題である。 このような山があって、風が吹いた時にどのような波が生成されるか　が今の問題である。５−４：山岳強制波高さによらない一様な西風が吹いているとする。その風が山にあたり重力波が作られることになる。そのとき、境界条件は z = 0 で、定常状態を仮定した方程式は図：奥羽山脈で作られた重力波？　重力波の生成問題で最も簡単な問題は山岳による強制問題であろう。それは東西に一様な風が吹いており、下端に凸凹した山がある場合である。図にその様にして生成されたと思われる山岳重力波の写真をのせておく。として、上方に伝播する定常な重力波は簡単のために sin または cos の形の山を考えよう。実際の山は非常に複雑な形をしているが、それをフーリエ分解して１つの成分を取り出してみたとする。すると山の形は、ここで鉛直波数はここで h0は山の高さの振幅、k は sin 的な山の波長の逆数の  倍である。をみたす

鉛直に伝播する山岳重力波を図示すると、下のようになるであろう鉛直に伝播する山岳重力波を図示すると、下のようになるであろう sin(kx+π/2)=coskx 図：観測されたRocky Mountainによる山岳波の一例。横軸はmile ではかってある。Lilly (1978) 引用はGillから。 sinkx 高さとともに位相が増加している（同位相線はうしろの方へ傾ぐ右図のようにかなり非線形的な様相をしていて、最近は数値実験になってしまうが、位相などの定性的振る舞いはよく似ている数値実験の例：Satomura and Bougeault(1994, J. M. S. J. )から、ピレネー山脈の風下波。

Eckermann and Preusse, 1999, Science 衛星による山岳重力波の観測について：高さに依存する基本風重力波の分散式から、鉛直波長をみつもる。上図からU=２０m／sの風で、数百kmの長波として（アンデスで長いであろう）, 94年11月３０km で急に波が違ったようにみえる？リチャートソン数はかなり小さいー＞　シアー不安定？

高さに依存する基本風の中での伝播の問題ー＞波の作用の準備高さに依存する基本風の中での伝播の問題ー＞波の作用の準備 −＞流れの不安定による生成問題は８章で議論。基本風のシアー流中の内部重力波について考察する。東西方向に平均をした東西風を考えれば最も簡単な一般風とみなせる。それは実際には時間変動をしている（例えば太陽放射が時間的に変っていたり、非線形のため）がここではその事は考えない。５—５：シアー流中の重力波高さ緯度に依存する平均風 u0(y,z) その基本風は高さと南北方向の関数である。しかもそれは地衡風バランスと静力学平衡のバランスから、温度も高さと南北方向の関数でもあるが、ここでは簡単のために東西風が高さのみの関数と仮定する。さらに温度場は話しの簡単化のために等温大気と仮定する。すなわち速度場として、前章の拡張として以下の形を仮定する。 (1) 基本状態に prime のついた摂動（それを内部重力波とする）がつけ加わり、その摂動の振幅が小さいと仮定して前と同様にして線形方程式を導く。長波で東西・鉛直の２次元運動の仮定をおく。以下の話しに必要なため、運動量と熱力学の式に線形の小さな damping を入れておく。 (２) (5) (3) (6) (4) ここでprimeは省略

前章との違いは東西方向の運動方程式において基本流による移流の項、及び基本流の鉛直シアーの項がつけ加わったこと、熱力学の方程式に基本流による温位の水平移流の項がつけ加わったことである。前章との違いは東西方向の運動方程式において基本流による移流の項、及び基本流の鉛直シアーの項がつけ加わったこと、熱力学の方程式に基本流による温位の水平移流の項がつけ加わったことである。運動方程式での linear damping をRayleigh friction（ a をRayleigh friction coefficient ）、熱力学での linear damping をNewtonian cooling と呼ぶ。運動方程式の中で運動量がその場で消えてなくなる？は物理的におかしいが、簡単なので（微分の階数が上がらない）よく使われる。物理的には運動量は拡散するので例えば (7) と思えばよいであろう。ここで　　は鉛直方向の、渦による（考えている擾乱のスケールより小さい）拡散係数で、m は波の鉛直波数。 Newtonian coolingについて成層圏ではいい近似で成り立っていることは２章で議論した。とにかく a を一定として以下議論を進める。またRayleigh frictionとNewtonian coolingの係数が同じというのもおかしいのですが（変えるとおもしろいことも起こる、cf. Andrew and McIntyre ( 1976, J. Atmos. Sci. ); Takahashi and Uryu ( 1981, J. M. S. J. ) ）。これまでと同様に (8) non-Hydroの場合は｛　｝の中に −k２がつく。この式と前章で求めた式とを比較してみると中括弧の第２項の部分がつけ加わっている。もちろん第１項の u0は高さの関数である。式は解析的には解けないので、普通は数値的に解くことになる。鉛直に伝播するとき、どんな風に振舞うかがここでの問題である。の形を仮定する。ここで c は波の東西方向の位相速度であり、ω= c k である。damping の効果は (9) のように複素数の位相速度を導入して使い分ければよい。(8) を使うと以下のような方程式が導かれる。 (10) 位相速度と基本風が等しい u0=cで特異点になる

ここで b は無次元のパラメータで ある。いま波の位相速度 c が u0より速いとしよう。解き方の１例である：あとの評価（振幅の２次のorder）のときに使う。適当な物理数学の教科書を見る。寺沢寛一編の’自然科学者のための数学概論（応用編）’を眺める。するとまず基本場 u0(z) は緩やかに変化していることが必要とかいてある。そこで５—６：ＷＫＢ近似　 u0(z) u0(z) c z このとき上向きに伝わる波を考える。前章の群速度の議論を思い出してとおけそうである。そうすると(10)は以下のようになる。 (11) の形の解を選ぶことにする。微分してここで u0が一定ならば前章と同じになる。しかし今はu0が高さの関数となる。前章とのつながりからさらにＷＫＢ近似解を求めるために、教科書に従って無次元のパラメータを導入して(11)を以下のようにかくことにする。 (12) 上式を(12)に代入すると (13)

となる。b2のみの項から第０近似を取り出せばとなる。b2のみの項から第０近似を取り出せば＜ーだから（前と同様、以下 m は正を選ぶことにする）＜ー　波の位相がきまるとなる。次の order に高めるにはｂが大きいとしてを(13)に代入して、 (14) b2の項は前と同じ。b 項として (15) 上式に０次の項を代入するとだから (16) ＜ー　波の振幅変化がきまる最終的に b=1 とおいて (17) ＜ーそれぞれの場所のu0を感じているが求めるＷＫＢ近似解である。A は境界条件から求められる。ｍ１／２のように振幅が変化する事は大事である。臨界層（ u0=c )では　　大 w は小、　一方　u は大になる赤道波にたいしては、Lindzen, 1971, JASを参照のこと、力作ですが、式の変形が大変．

(10) ５—７：臨界層( Critical Level )での線形重力波の振舞い数学的な話し（重要なので少しは述べないと）をします。それは特異点の話しです。線形の critical level の話しは何とか理解出来るから。非線形の話しは数学の得意な人に任せます。数学が好きでそういうことをやってみたい人に、例えば Kelly and Maslowe (1970)など方程式 (10) で、基本流と重力波の位相速度が同じになったらどうなるかという話しです。この問題をはじめて解いたのは Booker and Bretherton ( 1967, J. Fluid )。ここではあとの話しに必要なさわりのみ。ここではCritical level を z=0におきます。一定の風話しをわかり易くするために基本流の設定をしておきます。ｃがあってもいいとしておきます。 z < 0 で位相速度 c は基本流より速く動き、z > 0で基本流の方が速く動いているとします。すなわち z<0 で波は相対的に東に、z > 0で波は西に伝播しているとします（左図のような状況）。ここで z = 0 の近傍のみを議論する。このとき基本流は高さの１次関数の基本風 U=c -> 山上のような状況を考えます。と書かれる。ここでいまの場合 du0 / dz > 0 である。すると、z=0 近傍において(10)式は次のようになる。 t<0 の時　w=0 t>0 w=a coskx z=山のところでこんな問題をきちんと解く。高さの１次関数なら解は第１種のmodified Bessel functionで表現される。時間的にどんな変化をするか？　—＞　Laplace変換なんかして、詳しいことはBooker and Brethertonを参照。

z=0 の近傍では中括弧の第一項が大きいのでその項のみを残すと方程式は、 (18) この方程式はオイラー型（の特別な形）なので、 (19) とおく。これを(18)に代入して、 (20) ここで重要な無次元量 Richardson 数（Ri と書く）は以下のように定義される。(21) Ri < 1 / 4 のとき流れが不安定となり大気中に擾乱が発生する（可能性があると書いた方が正確か）。不安定のための必要条件が積分定理から導かれるが、ここでは述べない。積分定理の基本論文は Miles (1961)とHoward(1961)。応用数学の世界です。 Ri を導入すると、 (22) 今 z が大きい所で一定の風が吹いているとする。そして基本流に対しての波の位相速度の関係（基本流が位相速度より速い）が z >0 近傍と同じとする。そのとき波の鉛直波長に比べスケール・ハイトが非常に大きいとして、 m > 0 に選んで、 Ri を評価する。N2は成層圏で 4x10-4程度。shear は５０ｋｍで１００ｍｓ—１とすると、Ri = 100 になる。Ri は1/4 に比べて大きい。そのような場合を考える。すると解は (23) ここでとなる。書き直すとである。これからの議論はRi が十分に大きいときのみ。 —＞（波が吸収される） Critical level だから　　　　の形が上向きの波であることがわかる。　これを、Critical level近傍の波につなげる。

補足：波のエネルギーの流れ（フラックス）から補足：波のエネルギーの流れ（フラックス）からこのz>0解をどのように z < 0 につなげばよいか？ z = 0 が分岐点である。これを処理するために大気はいつも粘性等があるため damping が存在することをつかう。そのために (2), (5) で linear damping を導入していた。これにより、z = 0 の分岐点をすこしずらすことを考える。複素数の位相速度になるので、Critical point はさらにを満足するから、分岐点が虚軸の正の方になる。 (25) u0-c＞０だからｐとｗは正の相関を持つ　-> ｐｗはエネルギーの流れだから、これは上向きの波である　　　＿ｚ軸今は風に対して西に伝播している。 z z軸をマイナスの方へ移動させるとき、位相の変化は−iπ（図）である。だからz < 0 で波の形は　exp (ikx −ikct + imz) 　だから(23)において z > 0 の解として (24) を選ぶべきであるので、解は z < 0 でを選ぶのが都合がいい。ｚ＞０のとき増加する位相の変化の仕方が同じであるから。（ critical levelの近くでｍ〜Ｎ／ｚなので、　ｗがＷＫＢ的とすれば、ｍ１／２に逆比例だからｗはｚ１／２に比例して小さくなる　）

ここで critical level の上下で振幅の因子が　exp(πμ）だけ異なることに注意（この差はかなり大きい）。Critical level の下の振幅と比較してCritical level の上の振幅はほとんどゼロになる。さらなる詳しい議論は原論文を読んで頂くとして（例えば時間的にどんなふうに変化するか？）ここでは先に進むことにする。参考として図にCritical level 近傍の鉛直流の振舞い、および実験室で得られたCritical level における波の吸収（ Critical level の上で波がなくなっている）の写真をのせておこう（図）。 z Critical Level近傍の重力波（Ｗ、鉛直流）の振舞い。松野、島崎（１９８１）より。図は実験室でのCritical Level 近傍の重力波の振舞い。Thorpe(1981) , 引用は Gillの教科書（１９８２）より。

数値的な方法を使ってCritical level近くの解を数値的に求める。２つの基本状態を以下のように仮定。５−８：数値計算例１つはz＝0（地面）から20ｋｍまでは20ｍｓー１の風、次に20ｋｍから40ｋｍまでは風はゆっくり減少して40ｋｍで−20ｍｓー１になる（このときRi = 100 ）、40ｋｍから50ｋｍまでは−20ｍｓー１とする。もう一つの風プロフィールはｚ＝0から20ｋｍまでは20ｍｓー１の風、次にすぐ次の差分点なる20.1ｋｍから50ｋｍまでは−20ｍｓー１とする（図参照）。このとき Critical level でRi = 0.0025 である。山の高さは100ｍ、山の波長は200ｋｍと仮定して計算をした。　x＝0の鉛直風の高さ分布を示したのが図ａとｂである。前者は波が吸収されており、前図と同じ構造をしている。一方後者はCritical level から波が放射している。図ａ：Critical level absorptionの例。縦軸は高度、横軸はwの振幅を表す；波が臨界層で吸収されている。図ｂ：シアーが強い風のときの波の振舞い。縦軸が高度、風のshearが大きい時、波は成長している。 z 線形の範囲：吸収とover-transmission（ Ri が１／４以上では波の吸収、１／４以下では不安定と絡んでover-transmission（過剰伝播）、が条件に依存して起こる）　

第５章 波の生成と シアー中の重力波について