第二章 土中的应力计算

1. 第二章 土中的应力计算 • 第一节 土中自重应力 • 第二节基底压力 • 第三节 土中附加应力 • 第四节 土中附加应力

2. 2.1 土中应力形式 • 土中的应力形式主要有： • （1）由土体自重引起的自重应力； • （2）由建筑物荷载在地基土体中引起的附加应力； • （3）水在孔隙中流动产生的渗透应力； • （4）由于地震作用在土体中引起的地震应力或其他振动荷载作用在土体中引起的振动应力等。 • 土中应力计算通常采用经典的弹性力学方法，因此，假设地基是 • 1、均匀； • 2、连续； • 3、各向同性的无限空间线性变形体。

3. 2.2 土中的自重应力 • 2.1.1 相关原理及说明 • １．土的应力、应变的关系 • a.土力学中规定以压应力为正值，拉应力为负值； • b.土体受荷时，其应力与应变的关系是非线性的；

4. 2.1.2 有效应力原理 • 土体中存在两种性质的力。由土的固体骨架传递的应力，称为有效应力；由孔隙水传递的应力，称为孔隙水压力。土的自重应力属于有效应力。 • 定义：在未修建筑物之前，由土体本身 • 的自重引起的应力，称为土层自重应力。

5. 3、任意一层土层某深度Z处的自重应力计算公式3、任意一层土层某深度Z处的自重应力计算公式 • 竖直自重应力设地基中某单元体离地面的距离z，土的容重为r，则单元体上竖直向自重应力等于单位面积上的土柱有效重量，即 • (3-1) • 规律：土的竖向自重应力随着深度直线 • 增大，呈三角形分布。

6. 特殊注意事项： • （1）若计算点在地下水为以下，由于水对土体有浮力作用，则水下部分土柱的有效重量应采用土的浮容重或饱和容重计算； • （2）自重应力是由多层土组成，设各土层的厚度为H1、H2、……Hn，相应的容重分别为，则地基中的第n层底面处的竖向自重应力为：

7. （3）水下的粘土当土的液性指数≥1时，用浮容重；否则用饱和容重（3）水下的粘土当土的液性指数≥1时，用浮容重；否则用饱和容重

8. 2、水平向自重应力在半无限体内，由侧限条件可知，土不可能发生侧向变形（ ），因此，该单元体上两个水平向应力相等并按下式计算： • 式中K0——土的侧压力系，它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直有效应力之比，可由试验测定， ， • v是土的泊松比。

9. 【例2-1】某工程地基土的物理性质指标如图2.2所示，试计算自重应力并绘出自重应力分布曲线。绘出的自重应力分布曲线。【例2-1】某工程地基土的物理性质指标如图2.2所示，试计算自重应力并绘出自重应力分布曲线。绘出的自重应力分布曲线。

10. [思路分析]：本题涉及自重应力的计算和绘制自重应力分布曲线，故需根据公式（2.2）计算自重应力，并根据计算结果绘出自重应力分布曲线(如图2.2).[思路分析]：本题涉及自重应力的计算和绘制自重应力分布曲线，故需根据公式（2.2）计算自重应力，并根据计算结果绘出自重应力分布曲线(如图2.2). • [解] • 填土层底： • 地下水位处： • 粉质粘土层底：

11. 粉砂土层底： • 不透水层面： • 不透水层底：

12. ２.３ 基底压力 • 一、基本概念 • 基础底面处单位面积土体所受到的压力，即为基底压力. • 建筑物荷重  基础  地基在地基与基础的接触面上产生的压力（地基作用于基础底面的反力）

13. 柔性基础基底压力分布　　　　 　刚性基础基底压力分布

14. 2.3.1 中心荷载矩形基础（基底压力呈均匀分布） • F-作用在基础上竖向力设计值，ＫＮ • G-基础自重及上回填土重的总量；G= γGAd为基础及回填土之平均重度，γG一般取20KN/m3，但在地下水位以下部分应扣去浮力；d-基础埋深，必须从设计地面或室内外平均设计地面算起。 Ａ-基底面积，m2

15. 2．偏心荷载下的基底压力 • Pmax min-基底边缘最大、最小压力，kPa； • M-作用于基底形心上的力矩，kN·m； • W-基础底面的抵抗力， m3。 • e-偏心矩，m。

16. 讨论： • ⑴当e=0时，基底压力为矩形； （2）当 时，基底压力呈梯形分布； （3）当 时，pmin=0,基底压力呈三角形分布； （4） 时，Pmin为负值，基底与地基局部脱开，基底压力将重新分布。由基底压力与上部荷载相平衡的条件得出： • （2-6） • 式中：——合力作用点至处距离，m。——垂直于力矩作用方向的基础底面边长。

17. 三．基底附加应力 • 式中：γ 0-基础底面标高以上天然土层的加权平均重度， • P-基底压力，kPa； d-基础埋深，必须从天然地面算起，对于新填土场地则从老天然地面算起；

18. 2.4 土中附加应力 • 2.4.1 地基中的附加应力概念 • 在外荷载作用下，地基中各点均会产生应力，称为附加应力。 • 2.4.2 附加应力的分布规律 • ①在荷载轴线上，离荷载越远，附加 • 应力越小； • ②在地基中任一深度处的水平面上， • 沿荷载轴线一的附加应力最大， • 向两边逐渐减小。

19. P 2.4.3. 竖向集中力作用时的地基附加应力布辛奈斯克解答 x r y q dsz x R dtzx z dtzy dtxz y dtyz dsx dtxy M dtyx dsy

20. （2-8） • 利用几何关系 则 • （2-9） • 令 则 （2-10） • 式中: • F-作用在坐标原点的集中力； • r-M点与集中力作用点的水平距离； • Z-M点的深度； R-M点至坐标原点的距离; • α-为铅直集中荷载作用下地基铅直向附加应力系数，它是 r/z的函数，其值可查表2.2

21. 利用公式（2.10）可求出地基中任意一点的附加应力值。若地基表面作用着多个铅直向集中荷载Fi时(ⅰ=1，2，3，…，n)，按照叠加的原理，则地面下z深度某点M处的铅直向附加应力应为各个集中力单独作用时产生的附加应力之和，即： • (2-11) • 式中：αi-第个集中力作用下，地基中的铅直向附加应力系数。 • 按表2.2查得，其中ri为第i个集中力作用点到点的水平距离。

22. 【例2-2】在地基上作用一集中力F=200kN，要求确定：①z=2m深度处的水平面上附加应力分布；②在r=0的荷载作用线上附加应力的分布。【例2-2】在地基上作用一集中力F=200kN，要求确定：①z=2m深度处的水平面上附加应力分布；②在r=0的荷载作用线上附加应力的分布。 • [思路分析]:本题主要求在集中力作用下附加应力的分布情况，故需根据 求得一组z=2m处水平面上附加应力值和一组荷载作用线上附加应力值。 • [解]： • 附加应力的计算结果见表2.3，表2.4,沿水平面的分布见图2.9，附加应力沿深度的分布见图2.10.

24. 2.4.4 矩形基础底面铅直荷载作用下地基中的附加应力 • （1）铅直均布荷载作用角点下的附加应力 • 矩形(指基础底面)基础，边长分别为b ﹑l,基底附加压力均匀分布，计算基础四个角点下地基中的附加应力。因四个角点下应力相同，只计算一个即可。 • 将坐标原点选在基底角点处(见图2.11)，在矩形面积内取一微面积dxdy，距离原点O为x﹑y，微面积上的均布荷载用集中力dF=P0dxdy代替，则角点下任意深处M的点由集中力dF引起的铅直向附加应力dσz，可按式(2.12)计算： • (2-12)

25. 将其在基底A范围内进行积分可得: • (2-13) • 令 • 则 • （2-16） • 式中：αc-矩形基础底面铅直均布荷载作用下角点下的铅直附加应力系数，据l/b﹑z/查表2.5取得。 • 注意， l恒为基础长边，为短边。

26. （2）铅直均布荷载作用任意点下的附加应力 • 在实际工程中，常需计算地基中任意点下的附加应力。此时，只要按角点下应力的计算公式分别进行计算，然后采用叠加原理求代数和即可。此方法称角点法。 • 图2.12中列出了几种计算点不在角点的情况(即任意点)，计算方法为：通过任意点，把荷载面分成若干个矩形面积，这样。点就必然落到所划出的各个小矩形的公共角点然后再按式(2.15)计算每个矩形角点下同一深度z处的附加应力σz，并求出代数和 。注意:每个小矩形的长边恒为li；短边为bi 。

27. 对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下的情况：对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下的情况： (1) o点在荷载面边缘 (2) o点在荷载面内 (3) o点在荷载面边缘外侧 (4) o点在荷载面角点外侧

28. (1)o点在荷载面边缘 σz＝（αcⅠ＋αcⅡ）p0 (2)o点在荷载面内 σz＝(αcⅠ＋αcⅡ＋αcⅢ＋αcⅣ)p0 o点位于荷载面中心，因αcⅠ=αcⅡ=αcⅢ=αcⅣ σz=4αp0 (3)o点在荷载面边缘外侧 σz＝(αcⅠ－αcⅡ＋αcⅢ－αcⅣ)p0 (4)o点在荷载面角点外侧 σz＝(αcⅠ－αcⅡ－αcⅢ＋αcⅣ)p0

29. 【例2-3】某柱下两独立基础，埋置深度为2m，基底尺寸为2m×3m，作用于两个基础上的荷载均为F=1260kN，两基础中心距离为6m，埋深范围内土的重度为18.5kN／m3，试求：【例2-3】某柱下两独立基础，埋置深度为2m，基底尺寸为2m×3m，作用于两个基础上的荷载均为F=1260kN，两基础中心距离为6m，埋深范围内土的重度为18.5kN／m3，试求： • ① A基础在自身所受荷载作用下地基中产生的附加应力(O点¸ A点)，利用计算结果说明附加应力的扩散规律； • ②考虑相邻基础响影A基础下地基中的附加应力(只求基础中心点下的附加应力)。

30. [解题分析]：本题为矩形基础底面铅直荷载作用下地基中任意点的附加应力的求解，故需根据σz= αCP0和角点法来求，其解题过程应为先求P，再求P0，最后求σz。 解:(1)求基础底面的附加应力

31. 1）计算A基础中心点（O）的附加应力(不考虑B基础的影响)。1）计算A基础中心点（O）的附加应力(不考虑B基础的影响)。 • 过中心点将基底分为四部分，每部分 l=1.5m，b=1m，l/b=1.5, σz= 4αCP0列计算。 • 2）计算A基础边缘点（A）的附加应力 (不考虑B基础的影响)。 • 过边缘点将基底分为二部分，每部分l=3m，b=1m，l/b=3, σz= 2αCP0列计算，，列表2.7计算。 • 从计算结果可知附加应力随深度的增加而逐步减小，A点的附加应力比O点要小。 • 3)考虑相邻基础的影响所产生的附加应力(σz’ )。把B基底面积分为两块，每块对A基础的影响可看成荷载面Ⅰ(oabe)和荷载面Ⅱ(oaed)对O点附加应力之差合成。荷载Ⅰ的l/b=7.0/1.5=4.67 。荷载Ⅱ的l/b=5.0/1.5=3.33 列表2.8计算，最后将计算结果按适当比例绘于图2.13中。

35. 2.4.4、条形基础底面铅直荷载作用下地基中的附加应力2.4.4、条形基础底面铅直荷载作用下地基中的附加应力 • 1）铅直三角形分布荷载作用角点下的附加应力 • 由于弯矩作用，基底反力呈梯形分布，此时可采用均匀分布及三角形分布叠加。可按式(2.16)计算，如图2.14 • （2-16）

36. 在整个矩形基础底面内积分并整理后得 • 同理得: σz= αz1P0 (2-17) • 式中： • αz1-1角点下铅直向附加应力系数，由l/b﹑z/b查表2.9。 • 根据相同的方法，也可求得荷载角点下的铅直向附加应力计算公式： σz= αz1P0 (2.18) • 式中：αz2——2角点下铅直向附加应力系数， l/b﹑z/b 查表2.9获得。应特别注意，对于三角形分布荷载，b为荷载变化边，l为另一边，这与均布荷载是不同的。

37. 图2.14 矩形基底铅直三角形分布荷载作用角点下的附加应力

38. 2）铅直三角形分布荷载作用任意点下的附加应力2）铅直三角形分布荷载作用任意点下的附加应力 • 任意点下的附加应力计算也是采用叠加法，基本概念与均匀荷载的情况相同，只是在计算过程中，每块基底面所对应的荷载都不同，除了荷载面积需叠加外，荷载也应考虑叠加。 • 3）矩形基底铅直梯形分布荷载作用角点、任意点下的附加应力 • 梯形荷载可分成均布荷载与三角形分布荷载，然后按上述各自的方法计算、叠加即可。

39. 2.4.3. 均布的圆形荷载

40. 2.4.4．条形基础底面铅直均布荷载作用下地基中的附加应力2.4.4．条形基础底面铅直均布荷载作用下地基中的附加应力 • 地基表面作用一宽度为b的均布条形荷载P0，沿y轴方向无限延伸。在计算条形基底铅直均布荷载作用下地基中任意一点M的附加应力时，可在宽度b方向取一微条dξ，微条上的荷载可以用P=P0 dξ( kN／m)表示，该微条可看作是铅直均布线荷载作用，在这种荷载作用下，地基中的附加应力可在b宽度内积分，即可得到条形基底铅直均布荷载作用下地基中任意点M的附加应力计算公式为：

41. 计算公式 • 式中、αszαsx - σz σx的附加应力系数，由x/b、z/b查表2.11。

42. 4. 条形基底铅直三角形分布荷载作用下地基中的附加应力 • 如图2.17为条形基底铅直三角形分布荷载作用地基中的附加应力情况，将坐标原点取在零荷载处。以 • 代表线荷载，在整个基础范围内积分得： • σz= αtzP0 • σx= αtxP0 • tzx= αtxxP0 • 式中：αtz、αtx、αtxx分别为σz、 σx、 tzx对应的附加应力系数，可查表2.12

43. 图2.17条形基底铅直三角形分布荷载作用地基中的附加应力图2.17条形基底铅直三角形分布荷载作用地基中的附加应力

44. 【例2-4】某基础基底宽=10m，=120m，铅直荷载(含基础重)1000kN／m。弯矩M=500kN.m，基础边荷载可忽略(即不计基坑挖除的土重)，试分析基底压力的分布,计算距基础中心2.5m的C点下附加应力沿深度的分布(C点位于荷载偏心方向)。如本题改为在中心荷载作用下，C点下附加应力沿深度的分布又如何？【例2-4】某基础基底宽=10m，=120m，铅直荷载(含基础重)1000kN／m。弯矩M=500kN.m，基础边荷载可忽略(即不计基坑挖除的土重)，试分析基底压力的分布,计算距基础中心2.5m的C点下附加应力沿深度的分布(C点位于荷载偏心方向)。如本题改为在中心荷载作用下，C点下附加应力沿深度的分布又如何？ • [思路分析] • l/b=165/15>10，为条形基础，据题意C点下的σz应根据σz= αtzP0 、 σx= αtxP0求的。解题步骤为先求P,再求P0,最后求σz。

45. [解]：1. 求偏心荷载作用下，C点下附加应力σz沿深度的分布 • (1)先求基底附加应力，因忽略边荷载，因此

46. (2)将条形基底铅直梯形分布荷载分成一个P0=60KPa的三角形分布荷载与一个P0=70kPa的均布荷载，计算C点以下不同深度的值(见表2.16)，按一定比例将绘在图2.18中。(2)将条形基底铅直梯形分布荷载分成一个P0=60KPa的三角形分布荷载与一个P0=70kPa的均布荷载，计算C点以下不同深度的值(见表2.16)，按一定比例将绘在图2.18中。

49. 2.中心荷载作用下，C点下附加应力σz沿深度的分布2.中心荷载作用下，C点下附加应力σz沿深度的分布 • (1)同理，先求基底附加应力，因忽略边荷载，因此 • 计算C点以下不同深度的σz值, σz= αtzP0 (见表2.17)，图略,由同学们学习绘制.