Algebra di Boole ed elementi di logica

1. Algebra di Booleed elementi di logica Marco D. Santambrogio – marco.santambrogio@polimi.it Ver. aggiornata al 17 Ottobre 2014

2. Installation Party • Dove: LM1 • Quando: • Martedì 21 Ottobre • 12.oopm - 2.00pm

3. A grande richiesta… Come si stampano \n e %c

4. A grande richiesta… Come si stampano \n e %c

5. A grande richiesta… Come si stampano \n e %c Ma non aveva detto che dovevamo farlo da soli?

6. A grande richiesta… Come si stampano \n e %c Ma non aveva detto che dovevamo farlo da soli? Si ma poi voi mi dite che “sono sempre un po’ troppo acido nelle risposte, tende a scoraggiare future domande”

7. Ops… Forse era acida anche questa?:)

8. Un paio di osservazioni looks like things start to get tricky

9. Un paio di osservazioni looks like things start to get tricky Trovo profondamente triste il fatto che non vedremo come funziona una libreria in dettaglio, ma immagino che data la durata ridotta del corso, il docente abbia preferito farci concentrare su qualcosa di più utile/interessante.

10. Un paio di osservazioni looks like things start to get tricky Trovo profondamente triste il fatto che non vedremo come funziona una libreria in dettaglio, ma immagino che data la durata ridotta del corso, il docente abbia preferito farci concentrare su qualcosa di più utile/interessante. Trovo anche molto stimolante il fatto che il professore non risponda direttamente alle domande poste in alcuni casi, ma lasci il compito di trovare la risposta allo studente.

11. Un paio di osservazioni looks like things start to get tricky Trovo profondamente triste il fatto che non vedremo come funziona una libreria in dettaglio, ma immagino che data la durata ridotta del corso, il docente abbia preferito farci concentrare su qualcosa di più utile/interessante. Trovo anche molto stimolante il fatto che il professore non risponda direttamente alle domande poste in alcuni casi, ma lasci il compito di trovare la risposta allo studente. Rispetto a quanto fatto alle superiori, qui non imparo semplicemente la sintassi, ma apprendo anche il significato informatico di ogni simbolo.

12. Obiettivi • Algebra di Boole • Algebra di boole a due valori: algebra di commutazione • Operazioni logiche • Espressioni logiche • Assiomi e proprietà dell’algebra di commutazione

13. Cenni all’algebra di Boole • L’algebradiBoole (inventata da G. Boole, britannico, seconda metà ’800), o algebra della logica,si basa su operazioni logiche • Le operazioni logiche sono applicabili a operandi logici, cioè a operandi in grado di assumere solo i valori vero e falso • Si può rappresentare vero con il bit 1 e falso con il bit 0 (convenzione di logica positiva)

14. Algebra Booleana: definizione • Algebra Booleana B è un sistema algebrico identificato dalla sestupla (B,+,*,’,0,1) dove: • B è l'insieme su cui vengono definite le operazioni (supporto) • +,*,’ sono le operazioni binarie OR e AND e l’operazione unaria NOT • 0,1 sono elementi speciali di B. • 0 è l’elemento neutro rispetto a + • 1 è l’elemento neutro rispetto a * • Assiomi

15. Algebra Booleana a due valori:Algebra di Commutazione “Tra tutte le algebre booleane, l'algebra booleana a due valori........è la più utile. Essa è la base matematica della analisi e progetto di circuiti di commutazione che realizzano i sistemi digitali.” [Lee, S.C., Digital Circuit And Logic Design. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1976]

16. Operazioni logiche fondamentali • Operatori logici binari (con 2 operandi logici) • Operatore OR, o somma logica • Operatore AND, o prodotto logico • Operatore logico unario (con 1 operando) • Operatore NOT, o negazione, o inversione • Poiché gli operandi logici ammettono due soli valori, si può definire compiutamente ogni operatore logico tramite una tabella di associazione operandi-risultato

17. Operazioni logiche fondamentali 0 1 1 0 + 0 1 0 0 1 1 1 1 * 0 1 0 0 0 1 0 1 • Le variabili dell’algebra booleana a due valori possono assumere solo i due valori 0 e 1 • precisamente, se x indica una variabile, è • x = 0 se e solo se x  1 • x = 1 se e solo se x  0 • Algebra Booleana a due valori: ({0,1},+,*,’,0,1) dove + (OR) e * (AND) sono definiti come • Mentre l’operazione a un solo elemento (unary operation) detta complementazione o negazione (NOT) è definita come • Nota: il simbolo associato al NOT è spesso indicato come ’ (esempio x’), !(esempio !x) o sopra segnando la variabile. ‘

18. A B A and B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 (prodotto logico) A B A or B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 (somma logica) Operatori logici di base e loro tabelle di verità A not A 0 1 1 0 (negazione) Le tabelle elencano tutte le possibili combinazioni in ingresso e il risultato associato a ciascuna combinazione

19. Espressioni logiche (o Booleane) • Come le espressioni algebriche, costruite con: • Variabili logiche (letterali): p. es. A, B, C  0 oppure 1 • Operatori logici: and, or, not • Esempi: A or (B and C) (A and (not B)) or (B and C) • Precedenza: l’operatore “not” precede l’operatore “and”, che a sua volta precede l’operatore “or” A and not B or B and C (A and (not B)) or (B and C) • Per ricordarlo, si pensi OR come “” (più), AND come “” (per) e NOT come “” (cambia segno)

20. Tabella di verità di un’espressione logica A and B or not C A B C X = A and B Y = not C X or Y 0 0 0 0 and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = 1 0 0 1 0 and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = 0 0 1 0 0 and 1 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = 1 0 1 1 0 and 1 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = 0 1 0 0 1 and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = 1 1 0 1 1 and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = 0 1 1 0 1 and 1 = 1 not 0 = 1 1 or 1 = 1 1 1 1 1 and 1 = 1 not 1 = 0 1 or 0 = 1

21. A B NOT ((A OR B) AND (NOT A)) 0 0 0 1 1 0 1 1 Due esercizi 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 AB C (B OR NOT C) AND(A OR NOT C) 0 0 0 0 0 1 01 0 0 1 1 10 0 10 1 11 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1

22. Vero e falso in C • In C non esiste un tipo di dato specifico per rappresentare i concetti vero e falso • Una condizione assume un valore intero pari a • 0 se la condizione è falsa • 1 se la condizione è vera • In generale, ogni valore diverso da zero è considerato vero • ( 3 ) VERO • ( 1 ) VERO • ( a – a ) FALSO

23. Problema Si scriva un programma in C che, dato un numero, dica se questo è positivo o negativo

24. Soluzione • Si inserisca N • N è maggiore di 0? • Vero: N è positivo • Falso: N non è positivo

25. In C: positivo condizione int main() { int n; printf (“Inserisci un numero\n"); scanf ("%d", &n ); if ( n > 0 ) printf ("Un numero positivo ! \n"); else printf ("Un numero negativo o nullo\n"); printf ("Fine del programma\n"); return 0; }

26. Pausa 5’ George Boole

27. Problema: caratteri MaIuScOli Si scriva un programma che, preso un carattere minuscolo da tastiera, ne riporta a video l’equivalente maiuscolo

28. Maiuscolo: esecuzione

29. HELP: errori sull’input

30. Problema: errori sull’input • Problema • Preso un dato inserito da tastiera • Per potervi applicare la trasformazione di nostro interesse • Dobbiamo prima verificare che il dato sia coerente con quanto ci aspettiamo • Soluzione • Definire l’insieme dei caratteri validi • Verificare l’appartenenza del carattere inserito, all’insieme dei caratterei validi

31. Pseudocodice • Dati • L’insieme dei caratteri ammissibili {a, b, c, …, z} • Richiedere l’inserimento di un carattere • Se carattere inserito corretto • Allorastampa a video carattere-32 • Altrimentistampa a video un messaggio di errore

32. Condizione da verificare • Dati • L’insieme dei caratteri ammissibili {a, b, c, …, z} • Il carattere inserito deve essere • =>a • <= z

33. Maiuscolo: solo if

34. Condizione da verificare • Il carattere inserito deve essere • X: =>a • Y: <= z • X e Y devono essere entrambe vere • X Y X and Y • 0 0 0 • 0 1 0 • 1 0 0 • 1 1 • (prodotto logico)

35. Maiuscolo: AND

36. Maiuscolo: codice ottimizzato

37. Maiuscolo: esecuzione

38. A che cosa servono le espressioni logiche? • A modellare alcune (non tutte) forme di ragionamento • A  è vero che 1 è maggiore di 2 ? (sì o no, qui è no)  0 • B  è vero che 2 più 2 fa 4 ? (sì o no, qui è sì)  1 • A and B  è vero che 1 sia maggiore di 2 e che 2 più 2 faccia 4 ?Si ha che A and B  0 and 1  0, dunque no • A or B  è vero che 1 sia maggiore di 2 o che 2 più 2 faccia 4 ?Si ha che A or B  0 and 1  1, dunque sì • OR, AND e NOT vengono anche chiamati connettivi logici, perché funzionano come le congiunzioni coordinanti “o” ed “e”, e come la negazione “non”, del linguaggio naturale • Si modellano ragionamenti (o deduzioni) basati solo sull’uso di “o”, “e” e “non” (non è molto, ma è utile)

39. Che cosa non si può modellare tramite espressioni logiche? • Le espressioni logiche (booleane) non modellano: • Domande esistenziali: “c’è almeno un numero reale x tale che il suo quadrato valga 1 ?” x | x2 1 è falso (si sa bene che non c’è) • Domande universali: “ogni numero naturale è la somma di quattro quadrati di numeri naturali ?” x | x  a2b2c2d2` è vero (“teorema dei 4 quadrati”) Più esattamente andrebbe scritto: x a,b,c,d | x  a2b2c2d2 •  e  sono chiamati “operatori di quantificazione”, e sono ben diversi da or, and e not • La parte della logica che tratta solo degli operatori or, and e not si chiama calcolo proposizionale • Aggiungendo gli operatori di quantificazione, si ha il calcolo dei predicati (che è molto più complesso)

40. Tautologie e Contraddizioni • Tautologia • Una espressione logica che è sempre vera, per qualunque combinazione di valori delle variabili • Esempio: principio del “terzo escluso”: A or not A (tertium non datur,non si dà un terzo caso tra l’evento A e la sua negazione) • Contraddizione • Una espressione logica che è sempre falsa, per qualunque combinazione di valori delle variabili • Esempio: principio di “non contraddizione”: A and not A (l’evento A e la sua negazione non possono essere entrambi veri)

41. Equivalenza tra espressioni • Due espressioni logiche si dicono equivalenti (e si indica con )se hanno la medesima tabella di verità. La verifica è algoritmica. Per esempio: A B not A and not B  not (A or B) 0 0 1 and 1 = 1 not 0 = 1 0 1 1 and 0 = 0 not 1 = 0 1 0 0 and 1 = 0 not 1 = 0 1 1 0 and 0 = 0 not 1 = 0 • Espressioni logiche equivalenti modellano gli stessi stati di verità a fronte delle medesime variabili

42. Proprietà dell’algebra di Boole • L’algebra di Boole gode di svariate proprietà, formulabili sotto specie di identità • cioè formulabili come equivalenze tra espressioni logiche, valide per qualunque combinazione di valori delle variabili

43. Algebra Booleana a due valori: Assiomi • Gli operatori descritti godono delle proprietà definite dai seguenti assiomi (postulati di Huntington): • Le operazioni di disgiunzione (+) e congiunzione (·) sono commutative, cioè per ogni elemento a,b B a+b = b+aa·b = b·a • Esiste un elemento neutro (o identità) rispetto a + (indicato con 0) e un elemento neutro rispetto a · (indicato con 1), cioè: a+0=aa·1=a • Le due operazioni sono distributive rispetto all’altra, cioè per ogni a,b,c B, risulta: a+(b·c)=(a+b)·(a+c) a·(b+c)=(a·b)+(a·c) • Per ogni a B esiste l’elemento a’ B, detto negazione logica o complemento di a, tale che: a+a’=1 a·a’=0 Vale per la somma rispetto al prodotto come per il prodotto rispetto alla somma – non esiste precedenza fra le due operazioni, occorre sempre immaginare le parentesi “sottintese” intorno a ogni applicazione di un’operazione.

44. Algebra di Commutazione: Proprietà 1 1: associativa a+(b+c)=(a+b)+c a*(b*c)=(a*b)*c 2: idempotenza a+a=a a*a=a 3: elemento nullo a+1=1 a*0=0 4: unicità elemento inverso: il complemento di a, a’, è unico 5: assorbimento a+(a*b)=a a*(a+b)=a

45. Algebra di Commutazione: Proprietà 2 6: Semplificazione a+a’b = a+b a*(a’+b) = a*b 7: involuzione ((a)’)’ = a 8: Leggi di De Morgan (a+b)’ = a’*b’ (a*b)’ = a’+b’ 9: consenso a*b+a’*c+b*c = a*b + a’*c (a+b)*(a’+c)*(b+c)=(a+b)*(a’+c)

46. Uso delle proprietà • Trasformare un’espressione logica in un’altra, differente per aspetto ma equivalente: not A and B or A  (assorbimento) • not A and B or (A or A and B)  (togli le parentesi) • not A and B or A or A and B  (commutativa) • not A and B or A and B or A  (distributiva) • (not A or A) and B or A  (legge dell’elemento 1) • true and B or A  (vero and B  B) • B or A è più semplice dell’espressione originale • Si può verificare l’equivalenza con le tabelle di verità • Occorre conoscere un’ampia lista di proprietà e si deve riuscire a “vederle” nell’espressione (talvolta è difficile)

47. Problemi di fine giornata… • Si scriva un programma in C che richiede l’inserimento di un numero intero positivo, se l’inserimento e’ errato ritorna un messaggio di errore • Si scriva un programma in C che, dati due caratteri, li ordina in ordine alfabetico “inverso”

48. Fonti per lo studio + Credits • Fonti per lo studio • Introduzione ai sistemi informatici, D. Sciuto, G. Buonanno, L. Mari, 4a Ed, McGrawHill • Capitolo 2 • Credits • Daniele Braga • http://home.dei.polimi.it/braga/ • Cristiana Bolchini • http://home.dei.polimi.it/bolchini/didattica/retilogichea/index.htm