Parametrické vyjádření přímky v rovině

1. Název projektu: Moderní škola Parametrické vyjádření přímky v rovině Mgr. Martin Krajíc 1.4.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

2. Parametrické vyjádření přímky rozlišujeme čtyři typy rovnic přímek: • parametrické vyjádření • obecná rovnice • směrnicový tvar • úsekový tvar

3. Parametrické vyjádření přímky Směrový vektor: • přímka je určena dvěma různými body v rovině • přímka má nekonečně mnoho bodů • přímku označujeme: p = AB • pro libovolné dva různé body A,B přímky p = AB platí: vektor u = AB = B – A se nazývá směrový vektor přímky A B D C E uvw p Poznámka: směrový vektor přímky leží na přímce nebo je s danou přímkou rovnoběžný vektory u, v, w jsou směrové vektory přímky p

4. Parametrické vyjádření přímky Parametrické vyjádření přímky: A B X u v p • dána přímka p = AB a bod X ɛ p • vektory u = AB, v = AX jsou směrové vektory přímky p • pro vektory u, v platí: v = t.u AX = t. u X – A = t. u X = A + t. u Rovnice X = A + t. u se nazývá parametrické vyjádření (rovnice) přímky p určené bodem A a směrovým vektorem u. Proměnná t je parametr a píšeme t ɛ R.

5. Parametrické vyjádření přímky • vyjádříme body A, X a směrový vektor u v souřadnicích: A[a1, a2],X[x, y], u = (u1, u2) • parametrické vyjádření v souřadnicích: x = a1 + tu1 y = a2 + tu2t ɛ R Poznámka: • t ɛ R … přímka AB • t ɛ ˂0, 1˃ … úsečka AB • t ɛ ˂0, ∞) … polopřímka AB • t ɛ (-∞, 0˃ … polopřímka opačná k polopřímce AB

6. Parametrické vyjádření přímky Př: Napište parametrické vyjádření přímky p = AB, jestliže A[2, -5], B[1, 3]. • vypočítáme souřadnice směrového vektoru: u = AB = B – A = (-1, 8) • zapíšeme do parametrického vyjádření v souřadnicích: x = 2 + (-1)t y = -5 + 8tt ɛ R upravíme: x = 2 – t y = -5 + 8t t ɛ R

7. Parametrické vyjádření přímky Př: Určete číslo m tak, aby vektor u byl směrovým vektorem přímky AB, jestliže A[-1, 1], B[2, 3], u = (1 + m, 2 – m). • musí platit: t.AB = u t(B – A)= u 3t = 1 + m 2t = 2 - m • z první rovnice vyjádříme m = 3t – 1,dosadíme do druhé rovnice • po dosazení: 2t = 2 – (3t – 1) t = • po dosazení za m = dostaneme: u = ( , ) t(3, 2) = (1 + m, 2 – m) (3t, 2t) = (1 + m, 2 – m) dopočítáme m: m = 3t – 1 m = 3. - 1 =

8. Parametrické vyjádření přímky Př: Zjistěte, zda bod M[5, 0] leží na přímce CD, jestliže C[1, 2], D[-1, 3]. • směrový vektor u = CD = D – C = (-2, 1) • sestavíme parametrické vyjádření: x = 1 – 2t y = 2 + tt ɛ R • do parametrického vyjádření dosadíme za x, y souřadnice M a zjišťujeme, zda existuje t ɛ R takové, aby soustava byla platná 5 = 1 – 2t t = -2 0 = 2 + t t = -2 • z obou rovnic máme stejné řešení, bod M leží na přímce CD • bod M získáme dosazením t = -2 do parametrického vyjádření

9. Parametrické vyjádření přímky Př: Zjistěte, zda bod N[1, 2] leží na přímce CD, jestliže C[2, 3], D[1, 5]. • směrový vektor u = CD = D – C = (-1, 2) • sestavíme parametrické vyjádření: x = 2 – t y = 3 + 2tt ɛ R • do parametrického vyjádření dosadíme za x, y souřadnice N a zjišťujeme, zda existuje t ɛ R takové, aby soustava byla platná 1 = 2 – t t = 1 2 = 3 + 2t t = -0,5 • z obou rovnic máme různé řešení, bod M neleží na přímce CD

10. Parametrické vyjádření přímky Př: Jou dány body K[-1, 0], L[3, -2], M[1, 5]. Určete souřadnice těžiště T trojúhelníku KLM. • těžiště leží na těžnici (úsečka z vrcholu do středu protější strany) a to ve dvou třetinách její vzdálenosti od vrcholu platí: KT = KSK, LT = LSL, MT = MSM • střed SK úsečky LM vypočteme: SK = M SL SK T K SM L

11. Parametrické vyjádření přímky • vypočteme souřadnice těžiště T ze vztahu: KT = KSK T – K = (SK – K) T = K + (SK – K) = K + ( - K) = K + T = K + T = • vypočteme souřadnice těžiště T: t1 = = 1 t2 = = 1 T[1, 1]

12. Parametrické vyjádření přímky – samostatná práce Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení). Seneca: „…. se pro život, ne pro školu.“ • Napište parametrické vyjádření přímky p = MN, jestliže M[-2, 5], N[7, 3]: a) U…x = -2 + 9t, y = 5 – 2t b) Ž…x = -2 + 9t, y = 5 + 2t • Zjistěte, zda bod Z[7, -21] leží na přímce p z prvního cvičení: a) I…ANO b) Č…NE • Zjistěte, zda bod E[70,-11] leží na přímce p z prvního cvičení: a) I…ANO b) J…NE • Určete souřadnice těžiště T trojúhelníku KLM, K[-12, 13], L[5, -7], M[-2, -6]: a) T… [-3, 0] b) E… [3, 1]

13. Operace s vektory – správné řešení UČIT Seneca: „………. se pro život, ne pro školu.“

14. Operace s vektory – použitá literatura Použitá literatura: KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-04-01].