天体物理学Ｉ　：　授業の内容

天体物理学Ｉ　：　授業の内容 天文学は天体からの光を研究する学問です。そこでこの授業では、「光」をどう扱うかの基礎を学びます。授業計画は、Ａ．水素原子　　Ｂ．エネルギー準位　　Ｃ．熱平衡　　Ｄ．線吸収　　Ｅ．連続吸収　　Ｆ．光のインテンシティ　Ｇ．黒体輻射　Ｈ．等級　　Ｉ．色等級図　　Ｊ．光の伝達式　Ｉ　　Ｋ．光の伝達式　ＩＩ　Ｌ．星のスペクトルという順で進めます。最後まで行くと、星のスペクトルがどんな仕組みで決まっているかが判る、というのが目標です。ＡからＥまでは光の吸収に関係する物理の話です。Ｆでは光の強さをきちんと定義します。ＧからＩは光の強さを天文学でどう使うかを示します。ＪからＬは光がガス中を伝わる様子を式に表わし、その式を解いて星のスペクトルを導きます。それでは、始めましょう。

Ｈ　等級 今回の内容（H．１）　　等級って何？　　等級の歴史、星の等級は地震の等級とどこが違うのかなどを説明します。　　（ H．２）　みかけ等級　　何種類かある等級の内最も良く使われる等級で、観測した明るさを示します。　　　　　（ H．３）　絶対等級　　天体を見た時の明るさは距離に影響され比較に不便です。同じ距離に並べ　　たとした時の等級を絶対等級と呼びます。　　（ H．４）　輻射等級　　普通の等級は一定の波長での明るさを表わします。これは、全波長で測った　　とした時の等級です。（ H．５）　ＵＢＶシステム　　最も広く使われている等級システムを解説します。（ H．６）　その他のシステム　　それぞれ特徴のある等級システムの紹介です。授業の内容は下のHPに掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html

Ｈ．１．　等級って何？ 紀元前２世紀にギリシアのヒッパルコスが目で見える星の明るさを１等から６等までの６グループに分けました。（と、プトレマイオスの「アルマゲスト」に書いてあるそうです。）　その後、１８３０年にジョンハーシェル、１８５６年ポグソンが定式化しました。ハーシェルの方法口径Ｄａの望遠鏡で明るさAの星を、口径Ｄｂの望遠鏡で明るさBの星を見たら同じ明るさに見えたとします。　これは、　　　　Ａ×Ｄａ２　＝　Ｂ×Ｄｂ２　　したがって、　Ａ / Ｂ =Ｄｂ２/Ｄａ２を意味します。こうして、等級が１等上がると明るさは約　（１/２．５）倍に落ちることを見出しました。　 =

ハーシェルの真似をして、自分たちで１等差が明るさで何倍かを推定して見ましょう。ハーシェルの真似をして、自分たちで１等差が明るさで何倍かを推定して見ましょう。下の表（理科年表より）は何等の星が何個あるかを示しています。等級(M)　　　　　－１　　０　　１　　　２　　　３　　　４　　　　　５　　　　　６　　　個数　　　　　　２　　７　　１２　　６７　１９０　７１０　　２０００　　５６００累積（NＴ) 　　　２　　９　　２１　８８　２７８　９８８　　２９８８　　８５８８　 log NＴ0.30 0.95 1.32 1.94 2.44 2.99 3.48 3.93 とても大雑把な仮定をおきましょう：（１）　星の本当の明るさは皆同じ（２）　星の数密度は一様等方すると、（１）暗く見える星は遠くにある。（２）ある等級より明るい星はその等級で決まる距離内にある。ことが判ります。０等 N０ N４４等

前ページの表を見ると、 　　　　　Ｎ０＝ゼロ等までの星＝－１等と０等の和＝　９個、　　　　　Ｎ４＝４等までの星＝－１、０、１、２、３、４等の星の和＝９８８個です。Ｎ４がＮ０の約１００倍なのは、４等までの星が含まれる空間が１００倍大きいからと考えるのです。そこで、星がゼロ等に見える距離をＤ０、その時のフラックスをＦ０とします。ゼロ等より明るい星は体積Ｖ０＝４πＲ３/３内に含まれます。（１）　距離がＸ・Ｄ０　の時の星のフラックス　Ｆは幾つでしょう？（２）　フラックスがＦ以上の星が含まれる体積 V はいくつでしょう？（３）　フラックスがＦ以上の星の総数ＮをＦ，　Ｆｏ，　Ｎｏ　で表わして下さい。　　　

星の見かけ等級ｍ が１等増すと、明るさ　Ｆは１/Ａになると考えます。（１）　１等の星のフラックスはＦ１＝（１/ Ａ）Ｆ０です。ｍ等の星のフラックス　　　　はいくつですか？（２）　１等の星の距離Ｄ１をＤ０　を使って表わして下さい。（３）　ｍ等の星の距離Ｄｍ　をＤ０　を使って表わして下さい。（４）　ｍ等までの星の総数Ｎｍ　をＡ、ｍ、Ｎ０　を使って　logＮｍ＝　　　　の形で、表わして下さい。　

（１）　下のグラフ枠に（ｍ、logＮｍ）をプロットして下さい。（１）　下のグラフ枠に（ｍ、logＮｍ）をプロットして下さい。（２）　プロットした点を一次式で近似して下さい。有効数字は１桁。（３）　Ａはいくつですか？　　　　　　４ log N ３２１００１２３４５６－１ M

我々が決めたＡの値を使って等級の定義を作りましょう。前々ページの（１）で我々が決めたＡの値を使って等級の定義を作りましょう。前々ページの（１）でＦｍ　＝　（１/ Ａ）ｍＦ０　と学びました。上の式を変形して、　等級ｍの定義　ｍ＝　の式を導いて下さい。この節の最初で、ハーシェルはＡ＝２．５に定めたと学びました。ハーシェルのＡを使って、上と同様に等級ｍの定義　ｍ＝　の式を導いて下さい。

Ｈ．２．　みかけ等級　（ａｐｐａｒｅｎｔ　ｍａｇｎｉｔｕｄｅ）Ｈ．２．　みかけ等級　（ａｐｐａｒｅｎｔ　ｍａｇｎｉｔｕｄｅ）ボグソンが決めた見かけ等級ｍの定義は、　　　ｍ（λ）＝ー２．５ｌｏｇ１０[ Ｆ（λ） / Ｆｏ（λ） ] Ｆ（λ）＝対象天体のフラックス　　　　　　　　　Ｆｏ（λ）＝基準天体(ベガ）のフラックス　フラックスは波長により変化しますから、同じ星でもその見かけ等級は波長によって変わるのです。ベガはどの波長でもゼロ等です。ハーシェルは星の等級が１等増すと、明るさは１/Ａ＝０．４倍　に減るとしましたが、ボグソンの新しい定義ではこの数字が少し変わります。次の問題で確かめて下さい。　　

（１）　ボグソンの式を変形して、ｍ等の星のフラックスＦを求めて下さい。（１）　ボグソンの式を変形して、ｍ等の星のフラックスＦを求めて下さい。（２）　ボグソンの等級が１等上がるとフラックスは１/Ａになります。　　　　Ａはいくつでしょう？あまり大した差ではありませんから、１等増えると明るさとしては　（１／２．５）に減ると覚えていても構いません。等級の定義としては（我々のものも含め）どれでも構わないのですが、結果的にはボグソンの定義が広く使われることになりました。

等級には等級差が小さい時に使える便利な性質があります。等級には等級差が小さい時に使える便利な性質があります。等級がｍとｍ＋Δｍの二つの星を考えます。すると　　　　　ｍ＝－２．５log (Fｍ/Fo), ｍ＋Δｍ= －２．５ log （Fｍ＋Δｍ/Fo) Δｍ=－２．５ log （ Fｍ＋Δｍ/Fｍ） Fｍ＋Δｍ/Fｍ＝１０－０．４ Δｍ　＝ｅｘｐ[－(ln 10)・０．４Δｍ] 今は　 Δｍ＜＜１の場合を考えていますから、ｅｘｐ[－(ln 10)・０．４Δｍ]　≒　１－ (ln 10)・０．４Δｍ　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１－２．３０２６・０．４Δｍ＝１－０．９２ Δｍつまり、 Fｍ＋Δｍ/Fｍ≒ １－ Δｍ例えば、０．１等大きいというのは１割暗いことなのです。割りと便利だと思いませんか？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

０等フラックスＦｏ（１） ゼロ等のフラックスの定義は天体の明るさを決める基礎です。しかも、天文学の性質上それを天体の観測と結び付けて定義しなければ使い物になりません。そのため、昔からゼロ等をどう決めるかの研究がされてきました。（１）　ＩＡＵ(International Astronomical Union)１９２２年総会　　　　写真等級（photographic magnitude）と　　　　写真実視等級(photovisual magnitude) を北極系列　(north polar sequence)　の９６星で定義。 αUMi(北極星、Polaris)=２等で基準星だったが、後に変光星と判明。（２）　Ｊｏｈｎｓｏｎ（１９５３）により、光電管による新しい等級の提唱 αＬｙｒ　(A0型）＝　０等　（３）　ＣＣＤ測光の導入で有効波長、ゼロ等フラックス等は精密化しています。（４）　最近提唱されたＡＢ等級はゼロ等フラックスを初めに定義しています。

０等フラックス（２） 注意しておきたいのはフラックスと違い、等級ｍには周波数表示と波長表示の違いはないことです。ｍλ＝－２．５log10[F(λ)/Fo（λ）] 　　　＝－２．５log10[λF(λ)/λFo（λ）] 　　　＝－２．５log10[νF(ν)/νFo（ν）] 　　　＝－２．５log10[F(ν)/Fo（ν）]＝ｍν だからです。　　現在ではゼロ等のフラックスFoは、多数の標準星のセット＋精密な大気モデルから決められています。下のシステムではＶ（ベガ）＝０．０３、Ａ０Ｖ星のカラー＝０下の表は、実用上の目的から、波長λに対してＦｏ（ν）が示されているので注意して下さい。１Jy=１０－２６W/ｍ２/Hz　です。Ｆ(mag=０,ν) バンド U B V Rc Ic J H K L M N Q λ(μ) 0.366 0.438 0.545 0.641 0.798 1.22 1.63 2.19 3.45 4.8 10.6 21 Fo(Jy)1790 40633636 3064 2416 1590 1020 640 285 170 36 9.4 Bessell, Castelli,Plez 1998 Rieke,Lebofski,Low 1985

０等フラックス（３） αＬｙｒ αＬｙｒ（Ｖｅｇａ）　のスペクトルは１００００Ｋの黒体輻射に近い。しかし、遠赤外観測人工衛星のＩＲＡＳ(InfraRed Astronomical Satellite 1983)では、温度T=10,000K, 立体角Ω＝１．５７・１０－１６の黒体円盤からのフラックスを０等として採用しました。 A0V星の半径Ｒは太陽の2.5倍＝１．７４×１０９ｍ αＬｙｒの距離Ｄは７．７ｐｃ＝2.37×１０１7ｍしたがって、視半径θ＝Ｒ／Ｄ＝7.34×10－９ αＬｙｒの立体角＝πθ２＝１．６９×１０－１６上の１．５７と少し違う（８％）のはＡ０Ｖ星の有効温度Ｔｅｆｆ＝９８００Ｋとの２％の温度差による総フラックス差（８％）を補うためでしょう。

αＬｙｒは黒体輻射を比べると、以下の特徴があります。αＬｙｒは黒体輻射を比べると、以下の特徴があります。１）　ＵＢＶバンドでずれが大きい。後の課で説明する。２）　下に示すように遠赤外でフラックス超過が見られる。ダスト円盤がついていた。特に、（２）は予想外で、中間・遠赤外域　ではαＬｙｒ　を標準とする等級システムは作ることが出来なくなりました。下の表は、ベガ＝ αＬｙｒ　のフラックスを現在使用されている測光標準システムのゼロ等フラックスＦｏ及び、ＩＲＡS　が採用した黒体輻射により定義されたゼロ等フラックスを比較したものです。標準システムとベガが黒体フラックスと比べ UBV で食い違い、λ＝１２－１００ μでベガのフラックスが黒体を大きく上回っていることが判ります。バンド U B V Rc Ic λ(μ) 0.366 0.438 0.545 0.641 0.798 12 25 60 100 Fo(Jy)1790 40633636 3064 2416 Vega 1736 3941 3527 2972 2343 41.5 11.0 9.5 7.7 ＦＩＲＡＳ2420 2887 2951 2764 2397 28.3 6.73 1.19 0.43

4 log F(ν) (Jy) 3 2 B B V αＬｙｒ(Vega)と黒体輻射と比べると、 R I J Fo(Vega) U H F(IRAS) K L 青い波長帯で黒体輻射からずれ遠赤外超過 1 0 -0.5 0 0.5 1 1.5 log λ(μ)

Ｈ．３．　絶対等級　（ａｂsolute　ｍａｇｎｉｔｕｄｅ）Ｈ．３．　絶対等級　（ａｂsolute　ｍａｇｎｉｔｕｄｅ）天体からのフラックスは距離の二乗に反比例しますから、同じ種類の天体でも距離が違うと見かけ等級は異なります。それでは、天体の真の明るさが決められないので、天体を全て同じ距離においたと仮定し、その時得られるであろう等級を計算から割りだすことにしました。その基準距離としては１０ｐｃが選ばれました。それが絶対等級です。　　　　　　絶対等級＝天体を距離１０ｐｃに置いたとした時の等級 α　Ｌｙｒａｅ　（ベガ）　は等級を決める基準星でその（見かけ）等級は０です。 α　Ｌｙｒ　の距離は約８ｐｃです。　α　Ｌｙｒ　の絶対等級は何等でしょう？

どちらの等級もゼロ等は地球から見るベガで決めています。どちらの等級もゼロ等は地球から見るベガで決めています。絶対等級のゼロ等は１０ｐｃ離れた所に置かれたベガと勘違いしがちですが違います。見かけ等級絶対等級星の距離は様々。等級基準はαＬｙｒで距離は８ｐｃ星の距離は１０ｐｃに揃える。等級基準はαＬｙｒで距離は８ｐｃ αLyr 基準 αLyr 基準 7.7pc 7.7pc １０ｐｃ

距離指数（Distance Modulus） 光度　Ｌ　は、ある星が単位時間当たり放出する輻射エネルギーです。光度も輻射強度と同じく単位振動数当たりの光度　Ｌν、単位波長当たりの光度　Ｌλがありますが、面倒ですから当分ただの　Ｌ　で済ませます。　さて、光度Ｌの星が１０ｐｃの距離にあった時の等級はその星の絶対等級Ｍです。ではその星が距離Ｄ　にあった時のみかけ等級ｍはいくつでしょう。ｍの計算　：　　　Ｍとｍの定義から出発しましょう。　　　　ｍ＝－２．５　log （ＦＤ/Ｆｏ）、　　Ｍ＝－２．５　log （Ｆ１０ｐｃ/Ｆｏ）　　でした。　　ＦＤ＝Ｌ/（４πＤ２）、　　　　　　　　　Ｆ１０ｐｃ＝Ｌ/（４π１０ｐｃ２）　　ですから、　　ｍ＝Ｍ－２．５　log （ＦＤ/Ｆ１０ｐｃ）　　　　＝Ｍ－２．５ log （１０ｐｃ２ /Ｄ２）　　　　＝Ｍ＋５ log （Ｄ/１０ｐｃ）　　　この式は、距離Ｄ＝１０ｐｃなら　　ｍ＝Ｍ、　　　　　　　　　　　　Ｄ＞１０ｐｃだと　　ｍ＞Ｍ　　になることを表わしています。

前ページの式から、　m－M＝5 log(D/10pc)　です。多くの星はスペクトルを調べるとその絶対等級Ｍが推定できます。ですから見かけ等級ｍを観測で求めると、（ m－M ）が計算できるのです。したがって、天文学ではしばしば距離Ｄの代わりに、（ m－M ）が使われます。（ m－M ）は距離そのものではないので「距離指標」（ distance modulus ）と呼ばれます。距離指数の例天体　　　　　　　　　　　　距離　　　　　　　　　　距離指数 αＣｅｎ　　　　　　　　　　　　　　　1.4 pc -4.3 αＬｙｒ 7.7 pc -0.57 大マゼラン雲　　　　　　　　　　　５０　ｋｐｃ　18.5 Ｍ３１（アンドロメダ銀河） 0.71 Mpc 24.3 Ｖｉｒｇｏ銀河団 18 Mpc 31.3

Ｈ．４．輻射等級 (Bolometric Magnitude) 輻射等級ｍBOL は全波長に渡る総輻射フラックス　∫F(λ)dλ　に対する等級です。　　　　　　　　　　ｍBOL=－2.5 log [∫F(λ)dλ / FoBOL]＝－2.5 log (Ｆ / FoBOL) 通常の等級ではＡ０型の主系列星であるベガ (α Lyr) をゼロ等にして決めていました。それに倣うと、輻射等級のゼロ等もベガの総フラックスで決めそうですが、違うのです。輻射等級がゼロ等の星は、ｍＶ＝０　である　Ｆ３型の主系列星です。その総フラックス　　 FoBOL　＝　２．５ ×１０－８　Ｗ／ｍ２なぜ、A0　型でなく、 F3 型が選ばれたか、それはＶバンドにスペクトルピークがくるのがＡ０でなく、Ｆ３だったからなのです。輻射等級も見かけ輻射等級と、絶対輻射等級があるのは他と同じです。　　　　見かけ輻射等級 Apparent Bolometric Magnitude　：　　　ｍBOL=－2.5 log [∫F(λ)dλ / FoBOL]＝－2.5 log (Ｆ / FoBOL) 　　絶対輻射等級 Absolute Bolometric Magnitude 　　ＭＢＯＬは１０ｐｃから見た輻射等級。

logλF(λ) 1 0 －１－０．５ V ０ logλ(μ) Ｆ＝ ∫Ｆ(λ)ｄλ＝共通 Vバンド B型スペクトル　ＶＡ型　Ｂ型　　　暗い　Ａ型　やや明るいＦ型　Ｆ型　　　明るいＭ型　Ｍ型　　　暗い同じ総フラックス同士でＶ等級をくらべると、Ｆ３Ｖ型星が最も明るい。そこで、Ｖ＝０のＦ３Ｖ星の輻射等級　ｍＢＯＬ＝０と定めました。すると、Ｖ＝０の星のｍＢＯＬは全て０より小となります。ｍＢＯＬ（Ｖ＝０）＝輻射補正（ＢＣ）と呼びます。

輻射補正 Bolometric Correctionは、下式で定義されます。 mBOL = ｍV+BC ここに、見かけ輻射等級 Apparent Bolometric Magnitude　：ｍBOL=-2.5log[∫F(λ)dλ/FoBOL]＝-2.5log(Ｆ/FoBOL) FoBOL：ｍＶ＝０のＦ３Ｖの星の全フラックス＝２．５１０－８　Ｗ／ｍ２ＢＣは、ｍＶ　と、あとカラー［Ｂ－Ｖ］か温度Ｔ程度の情報しかない天体の全フラックスを推定するために使用されます。

Ｈ.　５．　ＵＢＶシステム 眼視等級　　　　　ヒッパルコス星表　（前２世紀）　　　　　　　　　　　　　　１等＝最も明るい星。　　　６等＝目で見える最も暗い星。　　　　　　　　　　　Ｐｏｇｓｏｎ　　１８５６　　　ｍａ－ｍｂ＝－２．５ｌｏｇ（Ｅａ／Ｅｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｍ＝等級　　　Ｅ＝入射エネルギー口径　Ｄｍ　の望遠鏡を覗いた時、何等まで見えるか？　　　暗い晩の人間の瞳孔径＝７ｍｍ　　ｍｂ＝６等　　Ｄｍ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｅｂ×（７ｍｍ）２＝Ｅａ×（Ｄｍ）２　ｍａ＝ｍｂ－２．５ｌｏｇ（７ｍｍ/Ｄｍ）２＝６＋２．５ｌｏｇ（Ｄ２１０６/４９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１６．８＋５ｌｏｇＤ写真システム　北極星の周りの９６星（周極星）のセットが標準星。 (IAU1922) Pg : photographic magnitude0.43 μｍ Pv : photovisual magnitude0.54 μｍ

ＵＢＶシステム＝最も広く使われている測光系です。H.L.Johnson and W.W.Morgan, 1953, Ap.J. 117, 313-352 Ｕ Corning 3384　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３５０　ｎｍＢ Corrning 5030 + Schott GG13 + 1P21 フォトマル　４３０　ｎｍ　Ｖ Corning 9863　　　　　　　　　　　（ＲＣＡ）　　　５５０　ｎｍ UBV Response Curve　と　A0型星のスペクトル（　　　　　）透過率 A0星Ｕ B V 3,000 4,000 5,000 6,000 λ(A)

ＵＢＶシステムの標準星 ゼロ等の決定(次ページの　　　） V B-V Sp. V B-V Sp. αLyr 0.030.00 A0V γUMa 2.450.00 A0V 109 Vir 3.75 -0.01 A0V α CrB 2.23 -0.02 A0V γ Oph 3.72 0.04 A0V HR 3314 3.89 -0.01 A0V Ｂ－Ｖ＝-2.5 log (B出力/Ｖ出力）+1.040、Ｕ－Ｂ＝-2.5 log (Ｕ出力/Ｂ出力）- 1.120 A0V ６星のカラーの平均値＝Ｕ－Ｂ＝Ｂ－Ｖ＝０ UBV Primary Standard Stars(次ページの　　　） V B-V Sp. V B-V Sp. α Ari 2.00 1.151 K2III HR 875 5.17 0.084 A1V β Cnc 3.52 1.480 K4III η Hya 4.30 -0.185 B3V β Lib 2.62 -0.111 B8V α Ser 2.66 1.165 K2III ε CrB 4.15 1.227 K3III τ Her 3.89 -0.155 B5IV 10 Lac 4.88 -0.203 O9V HR88325.57 1.010 K3V

UBV 標準星　　Ｈ．Ｊｏｈｎｓｏｎ　in Basic Astronomical Data 1963 ０ V 前ページの標準星の等級とカラー　Ｂ－Ｖ（カラーはスペクトルの傾きです。）１２ K2III K2III B8V ３ B5IV K4III ４ K3III B3V O9V ５ A1V K5V ６０１ B-V －０．４１．６

標準星と色補正（１）　　（ここは、実際に観測データをいじる時の話）　標準星と色補正（１）　　（ここは、実際に観測データをいじる時の話）　標準システム　Ａに対して、　Ｂシステムでは図のように感度が少し長波長側に寄っていたとします。Ｂシステムで測った等級をＡシステムに統一しないと比較ができません。ＡＢ感度赤い星　（長波長側が強い）青い星　（短波長側が強い） λ λＡ λＢ例えば、図の赤い星と青い星は、Ａシステムでは同じ等級だが、Ｂシステムでは異なる等級となります。Ｂシステムの観測値をＡ（標準）システムでの値に直さなくてはなりません。

標準星と色補正（２）　ＶＡとＶＢの差が生じる原因は、左図からわかるように、スペクトルの傾きです。そこで、傾きの違いで、ＶＡとＶＢの差がどう変わるかを右図にプロットしました。ＡＢ感度ＶＡ－ＶＢ星１星１星１星２ β 星２ λ ０１カラー（Ｂ－Ｖ）Ｂ λＡ λＢＶＡーＶＢ＝α（Ｂ－Ｖ）Ｂ＋β　　と普通、１次式を仮定します。 αを決めるためには、（Ｂ－Ｖ）Ａが青（≒０）と赤（≒１．５）の両方欲しい。ーー＞　標準星がＯ，Ｂ，Ａ型（青星）とＫ型（赤星）から選ばれています。

Ｈ．６．UBVシステムの拡大 RIJKLMN Johnson/Mitchell 1962 Comm.Lunar Plantary Lab.1,73 Johnson et al. 1966 Comm.Lunar Plantary Lab.4,99 　バンド R I J K L M N Q λc 0.7 0.9 1.25 2.2 3.4 4.9 10.2 20.0 Cousins 1976, Mem.RAS 81, 25　の R, I バンドの新提案。バンド Rc Ic λc 0.638 0.797 H (1.63μ) Glass 1974 MNAS SA,33, 53 　　の追加。注意　　　λ（Ｒ）とλ（Ｒｃ）、λ（Ⅰ）とλ（Ⅰｃ）はちょっとだけ違うのです。実際の観測にはもっと大きな標準星表を使います。ＵＢＶＲｃＩｃ　　Ｌａｎｄｏｌｔ　１９９２、Astron.J.　１０４，３４０　 JHK Ｅｌｉａｓ et al.　１９８２、AJ, 87, 1029.

その他のシステム（１） Stromgren 4-color systemuvby Ｕ B V バルマー不連続、金属量、温度をより正確に測る。Ａ－Ｆ型星向き透過率 A0星 u: 完全にバルマージャンプ　　　より短波長側。　 b：　メタル吸収の影響をＢ　　　ほどは受けない。 y: 基本的にはＶと同じで、　　巾が狭い。ｕｂｖｙ 0.3 0.4 0.5 0.6 λ(μ) ｍ１＝（ｖ－ｂ）－（ｂ－ｙ）　：　　金属量ｃ１＝（ｕ－ｖ）－（ｖ－ｙ）　：　バルマー不連続ｂ―ｙ　：　温度

その他のシステム（２）　ＤＤＯ　ｓｙｓｔｅｍ　その他のシステム（２）　ＤＤＯ　ｓｙｓｔｅｍ　ＭｃＣｌｕｒｅ　１９７６　ＡＪ　８１、１８２　　Ｇ，Ｋ型星に狙いをつけたシステム３５フィルター　４－ｃｏｌｏｒのｕと同じ３８フィルター　ｖより金属吸収によい４１フィルター　ＣＮバンド測定４２，４５，４８　連続光Ｕ B V 透過率 A0星 48 45 38 41 35 42 0.3 0.4 0.5 0.6 λ(μ) （３５－３８）カラー：　バルマージャンプ（３８－４２）カラー：　金属量（４２－４５）カラーと（４５－４８）カラー：　重力と温度　

その他のシステム（３）　 Thuan-Gunn システム 　　　　　Ｔｈｕａｎ／Ｇｕｎｎ１９７６ PASP 88, 543 市街地の水銀線と夜光の[OI]線　を避ける。基準星は。ＣＤ＋１７４７０８（Ｇ型矮星）で、この星の g=9.50 g-r=u-v=v-g=0 と独特の定義。Ｕ B V 透過率 A0星 u v g r 0.3 0.4 0.5 0.6 λ(μ)0.7

その他のシステム（４）　　ＡＢ等級 Fν(０等)＝３６３１Jy SDSSで採用ＡＢ＝－2.5 log [fν/3631Jy]= 8.900－2.5 log [fν(Jy)] 旧来のゼロ等がＡＢで何等になるか？Ｆ(mag=０,ν) バンド U B V Rc Ic J H K L M N Q λ(μ) 0.366 0.438 0.545 0.641 0.798 1.22 1.63 2.19 3.45 4.8 10.6 21 Fo(Jy)1790 40633636 3064 2416 1590 1020 640 290 170 36 9.4 AB 0.768 -0.122 –0.002 0.184 0.442 0.897 1.378 1.885 2.744 3.324 5.009 6.467

星がゼロ等に見える距離を Ｄ０、その時のフラックスをＦ０とします。ゼロ等より明るい星は体積Ｖ０＝４πＲ３/３内に含まれます。（１）　距離がＸ・Ｄ０　の時の星のフラックス　Ｆは幾つでしょう？（２）　フラックスがＦ以上の星が含まれる体積 V はいくつでしょう？（３）　フラックスがＦ以上の星の総数ＮをＦ，　Ｆｏ，　Ｎｏ　で表わして下さい。　　　（１）．　Ｆ＝Ｆｏ/Ｘ２（２）．　Ｖ＝Ｘ３Ｖｏ（３）．（２）より　Ｎ＝Ｘ３Ｎｏだが、（１）よりＸ＝（Ｆｏ / Ｆ）１/２　だから、　　　　Ｎ＝（Ｆｏ / Ｆ）３ / ２Ｎｏ　

星の見かけ等級ｍ が１等増すと、明るさ　Ｆは１/Ａになると考えます。（１）　１等の星のフラックスはＦ１＝（１/ Ａ）Ｆ０です。ｍ等の星のフラックス　　　　Ｆｍ　はいくつですか？（２）　１等の星の距離Ｄ１をＤ０　を使って表わして下さい。（３）　ｍ等の星の距離Ｄｍ　をＤ０　を使って表わして下さい。（４）　ｍ等までの星の総数Ｎｍ　をＡ、ｍ、Ｎ０　を使って　logＮｍ＝　　　　の形で、表わして下さい。　　　　　（１）．Ｆｍ　＝　（１/ Ａ）ｍＦ０（２）．前ページの（１）を使うと、Ｆ１＝Ｆｏ/Ｘ２＝（１/ Ａ）Ｆ０　　　　よって、Ｄ１＝Ｘ・Ｄｏ＝Ａ１/２Ｄｏ（３）．Ｆｍ＝Ｆｏ/Ｘ２＝（１/ Ａ）ｍＦ０　　なので、　Ｘ＝Ａｍ/２、　Ｄｍ　＝Ａｍ/２・Ｄ０（４）．（３）の解より、ｍ等までの星の体積ＶｍはＶｍ　＝Ａ３ｍ/２・Ｖ０　　　　したがって、Ｎｍ　＝Ａ３ｍ/２・Ｎ０ logＮｍ＝（３ logＡ/２）ｍ＋ logＮ０

（１）　下のグラフ枠に（ｍ、logＮｍ）をプロットして下さい。（１）　下のグラフ枠に（ｍ、logＮｍ）をプロットして下さい。（２）　プロットした点を一次式で近似して下さい。有効数字は１桁。（３）　Ａはいくつですか？　　　　　（２）　log Ｎｍ＝０．９＋０．５ｍ４ log N （３）　上式を前ページの　　　（４）と比べると、 log Ａ＝１/３＝０．３３ log 2=0.30, log2.5 =0.4 なので、　Ａ＝２．２３２１００１２３４５６－１ M

我々が決めたＡの値を使って等級の定義を作りましょう。前々ページの（１）で我々が決めたＡの値を使って等級の定義を作りましょう。前々ページの（１）でＦｍ　＝　（１/ Ａ）ｍＦ０　と学びました。上の式を変形して、　等級ｍの定義　ｍ＝　の式を導いて下さい。上式の対数をとると、 log Ｆｍ　＝　－ｍ log Ａ＋ log Ｆ０　　　　　　　　　　　　　　　　ｍ＝－（１/log Ａ）log(Ｆｍ/Ｆ０)、log Ａ=１/３　なので、ｍ＝－３ log(Ｆｍ/Ｆ０) この節の最初で、ハーシェルはＡ＝２．５に定めたと学びました。ハーシェルのＡを使って、上と同様に等級ｍの定義　ｍ＝　の式を導いて下さい。上と同じ式で、Ａ＝２．５を代入します。　(1/log 2.5)=2.5129 なので、　　　　　　　　　　　　　　ｍ＝－２．５１２９　 log(Ｆｍ/Ｆ０)

（１）　ボグソンの式を変形して、ｍ等の星のフラックスＦを求めて下さい。（１）　ボグソンの式を変形して、ｍ等の星のフラックスＦを求めて下さい。（２）　ボグソンの等級が１等上がるとフラックスは１/Ａになります。　　　　Ａはいくつでしょう？（１）　ｍ＝ー２．５ｌｏｇ１０（Ｆ / Ｆｏ）から、　　　　Ｆ＝１０－０．４ｍ　Ｆｏ　（２）　上式から１等上がるとＦは１０－０．４＝１/ １００．４　になる。　　　　したがって、Ａ＝１００．４＝２．５１２　である。

天体物理学Ｉ　：　授業の内容