第五章不定积分

第五章不定积分 第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节几种特殊类型函数的积分举例

第一节不定积分的概念与性质 一、不定积分的概念 1．原函数定义如果在某一区间上，函数F（x）与f（x）满足则称在该区间上，函数F（x）是f（x）的一个原函数。关于原函数，我们首先解决以下几个问题：（1）函数f（x）具备什么条件才能保证它的原函数一定存在？这个问题将在下一章中讨论，现在先给出结论：

如果f（x）在某区间上连续，则在该区间上 f（x）的原函数一定存在。（2）如果函数 f（x）有原函数F（x），那么原函数一共有多少？由此可知，如果f（x）有原函数，那么原函数有无穷多个。（3）如果函数f（x）有原函数F（x），它的无穷多个原函数之间有怎样的关系？

由拉格郎日中值定理的推论可知 定理如果函数f（x）有一个原函数F（x），则F（x）＋C （C为任意常数）也是的f（x）原函数，且f（x）的任一个原函数与 F（x）相差一个常数。注该定理告诉我们，只要求得f（x）的一个原函数F（x），则 F（x）＋C就是f（x）的全体原函数。 2．不定积分定义定义函数 f（x）的全体原函数称为 f（x）的不定积分，记作

设F（x）是f（x）的任一个原函数，由定义知：设F（x）是f（x）的任一个原函数，由定义知：其中：C称为积分常数.

y = F（x）+C y = F（x） O 3.不定积分的几何意义 ①积分曲线---设曲线 y =F（x），且满足F’（x）= f（x），则称这条曲线为的一条积分曲线。 ②不定积分的几何意义--由于∫f（x）dx表示 f（x）的全体原函数F（x）+C，所以在几何上，y =F（x）+C是一族曲线，称为 f（x）的积分曲线族。 ③积分曲线族的特点--横坐标x相同的点处，曲线的切线平行，切线的斜率都等于f（x）。（如图）

例3 设曲线过点（2，3），且在曲线上任意点（x，y）处切线的斜率为2x，求此曲线的方程。解设所求曲线方程为y =F（x），由题设，F’（x）= 2 x，即 y =F（x）是2 x的一个原函数，2 x的全体原函数为： ∫2xdx =.x2 + C 所求曲线是y = x2 + C中的一条。由所求曲线过点（2，3）知， 3 =22 + C， C＝－1，因此所求曲线为 y = x2 －1. 二、不定积分的性质

性质2两个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即性质2两个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即注该性质对任意有限个函数的和也成立，即性质3被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即三、基本积分表 1.基本积分公式

2. 积分基本公式的应用

在计算不定积分时，有时需要对被积函数作代数或三角变形，在计算不定积分时，有时需要对被积函数作代数或三角变形，然后才能利用积分基本公式求出结果。

第二节换元积分法 一、第一类换元法定理1 设函数f(u)具有原函数F(x)，u=φ(x)具有连续，则根据复合函数的求导法则得

注该定理告诉我们，求不定积分时，如果被积表达式可以整理成上述换元方式称为第一类换元法，也称凑微分法.

综上 ① 第一类换元积分法的关键在于恰当地选择φ(x)= u，而φ(x)的选择以复合函数的分解为基础。 ②φ(x)满足：

③用凑微分法解题时常用的微分式：

类似地 类似地

类似地

综上： 在计算形如的积分时， ① 若n，m中至少有一个奇数，如n为奇数，可将sinxdx凑成微分 d（-cosx），从而转化为幂函数的积分； ② 若n与m均为偶数，一般可用倍角公式降低被积函数的方次，然

后再进行积分。 注选用不同的积分方法，积分结果的表达形式可能不同,但实质上仅相差一常数。事实上：用第一类换元法能够求出许多不定积分，但有的不定积分用这个方法并不行。例如：

二、第二类换元法 定理2 设x=ψ(t)具有连续导数x=ψ’(t)，且ψ’(t)≠0，又设f[ψ(t)] ψ’(t)具有原函数F(t)，，根据复合函数及反函数的求导法则

注该定理告诉我们，如果∫f(x)dx不易积分时，可先作变量代换x=ψ(t)，将∫f(x)dx化成∫f[ψ(t)]ψ’(t)dt。如果后一积分可求，即积分后用x=ψ(t)的反函数代回，就可得到要求的不定积分。具体如下：上述换元方式称为第二类换元法.

解为了去掉根号，令 x = t 2（t > 0）则dx =2tdt ,于是注两类换元法的本质相同，但出发点不同：第一类换元法----先分离出φ’(x)后，再换元，令φ(x) = u；第二类换元法----直接换元，令x =ψ(t).

---- 第一类换元法 ---- 第二类换元法解为了去掉根号，令

综上若被积函数中含有根式且被开方因式为一次式，可消去根号，从而求得积分. 解为了去掉根号，令x = asint，则

注对于上题的还原，还可以采用下面的方法： 根据x = asint，作一直角三角形（如下图），则思考上例中若设x = acost，结果如何？

解为了去掉根号，令x = atant，则 根据x = atant，作直角三角形（如图），则

解令x = asect，则

根据x = asect，作直角三角形（如图），则 综上可知：通常称以上代换为三角代换.

注具体解题时要根据被积函数的情况选择尽可能简单的代换，注具体解题时要根据被积函数的情况选择尽可能简单的代换，不要拘泥于上述代换形式. 基本积分公式表的补充：

注若被积函数的分母含有ax2 + bx + c因式时，一般可用配方法把积分化成积分表中已有的积分形式。举例如下：

第三节分部积分法 本节将利用两个函数乘积的微分公式来推导另一个求不定积分的方法----分部积分法. 一、分部积分法及其基本应用设 u = u(x)及v = v(x)具有连续导数，公式(1)称为分部积分公式.它的意义为：当∫udv不容易计算，而∫vdu比较容易计算时，可利用公式来计算∫udv，即

解若设u = cosx , dv = xdx， 此时右端的积分比原积分更难积出，说明u和dv的选择不当.

若设 u = x， dv = cosxdx， 则 du = dx， v = sinx，代入(1)式，得由此可见，分部积分的关键是恰当地选择u和dv。而选择u和 dv必须考虑两点：①v容易求得（求一个简单的不定积分）；② ∫vdu容易求出. 代入(1)式，得

解设 u = lnx， dv = xdx， 解设 u = arctanx， dv = xdx，

综上： ① 当被积函数是幂函数与三角函数或指数函数的乘积时，应设u为幂函数； ② 当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，应设u为对数函数或反三角函数。二、分部积分公式的重复使用有些积分需要连续使用几次分部积分公式才能求出.

解设 u = x， dv = sinxdx， 则 du = 2xdx， v = -cosx，代入(1)式，得对∫xcosxdx再次使用公式(1), 设 u = x，dv = cosxdx，则du = xdx，v = sinx，

三、分部积分法使用中的循环现象 （左端的积分再次出现）

注 ∫f(x)dx中隐含着积分常数C，因此计算过程中当积分号消失后一定要加上一个任意常数C。用同样的方法可求得：思考在本题中是否可令u = ex ？

四、换元积分法与分部积分法的综合使用

第四节几种特殊类型函数的积分举例 一、有理函数的积分 1. 有理函数有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即其中m与n都是正整数，且a0≠0，b0≠0. 假定P(x)与Q(x)之间没有公因式，则当 m < n时，称(1)式为真分式；当 m ≥ n时，称(1)式为假分式。 2. 化有理假分式为一个多项式与有理真分式之和方法----多项式的除法

3. 化有理真分式为部分分式 由代数学知： (1)当分母Q(x)中含有单因式(x - a)时，则分解式中对应有一项其中A为待定常数； (2)当分母Q(x)中含有因式(x - a)n，则分解后有下列n个部分分式之和：（其中A1,A2,…,An为待定常数） (3)当分母Q(x)含有因式(x2 + px + q)，其中p2 - 4 q<0，则分解式中有一项其中A,B为待定常数；

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