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OPERATIONS RESEARCH 运筹学 Ⅱ

OPERATIONS RESEARCH 运筹学 Ⅱ. ——怎样把事情做得最好 郝英奇. 第四章 运输问题. 本章要求： 掌握运输问题的数学模型 掌握运输问题的求解方法 化产销不平衡问题为平衡问题 学会用计算机求解. 4.1运输问题的数学模型. 运输问题一般表述为：

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  1. OPERATIONS RESEARCH运筹学Ⅱ ——怎样把事情做得最好 郝英奇

  2. 第四章 运输问题 本章要求： 掌握运输问题的数学模型 掌握运输问题的求解方法 化产销不平衡问题为平衡问题 学会用计算机求解

  3. 4.1运输问题的数学模型 • 运输问题一般表述为： 某企业有m个产地（生产厂）Ai，其产量分别为ai, i=1,2,…m； n个销地（销售商）Bj，其销售量分别为bj, j=1,2,…n,从Ai到Bj的每单位物资的运费为Cij.要求拟定总运费最小的调运方案 。

  4. 运输表 .

  5. 运输问题的数学模型 设从Ai 到Bj的运输量为xij,（假定产销平衡） 则总运费： minZ= ∑∑ Cij xij 产量约束： ∑xij = ai i=1,2,…m, 销量约束： ∑xij = bj j=1,2,…n, 非负性约束： xij≥0 n m j=1 i=1 n j=1 m i=1

  6. 4.2表上作业法 • 计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2

  7. 例题1 • 某建材公司有三个水泥厂A1、A2、A3，四个经销商B1、B2、B3、B4，其产量、销量、运费如下表：

  8. 4.2.1求初始调运方案 • 用最小元素法（也可用西北角法或vogel法）给出初始基可行解： 在运费表中找出最小元素，尽最大可能用完一个厂的产量，或满足一个商家的销量。得到满足者用线划去。 逐次寻找最小元素，直至分配完毕 注意：如填写一个数字同时满足了一厂一商，则需在同行或同列中填写一个数字0，以保证恰好有m+n-1个数字。

  9. 例1 之初始方案（P119） 最小元素法：圈定C24

  10. 例1初始方案（续1） 圈定C31

  11. 例1初始方案（续2） • 圈定C13

  12. 例1 初始方案（续3） • 圈定C32

  13. 例1 初始方案（续4） • 圈定C23

  14. 例1 初始方案（续5） • 圈定C22

  15. 例1初始方案——初始基可行解 • 中心数字为分配的运输量 此方案费用为40

  16. 4.2.2 最优性检验 • 最优性检验与单纯形法原理一致，计算方法有位势法和闭回路法，这里讲位势法。 • 位势法是任意给出一组数ui和vj，称之为位势，有数字的格满足：ui+vj=cij 没数字的格计算： σij=cij-(ui+vj) ui相当于i厂分担的运费；vj相当于j商分担的运费 ui+vj=cij即从i厂到j商的费用由双方共同承担

  17. 位势计算： ui+vj • 先填写初始方案相应的运费，任意给出一个ui或vj值，推出其它位势值。 • 计算ui+vj，填于空格处

  18. 检验数计算： σij=cij-(ui+vj) σ21=-1

  19. 方案调整： • σij < 0处，增加运输量，可节约运费。故做如下调整：

  20. 新方案： 此方案费用为：13+1 4+3 5+51+2 2+4  2=39

  21. 新方案检验 • 新方案相应的运费填于表上,给定位势初值，计算各位势值。

  22. 新方案检验 • 计算空格处（即非基变量）的检验数， σij=cij-(ui+vj)，所有σij ≥0 ，已得最优解。

  23. 4.3产销不平衡问题 • 产销不平衡是最常见的现象，此类问题可以转化为产销平衡的模型，而后求解。 • 运输问题产销平衡模型，实质上就是一个求解运输问题的标准型。 • 解决产销不平衡问题的办法是：增加一个虚拟的产地或销地，从而变成标准型——产销平衡问题。

  24. 例题2.供大于求的运输问题 • 运费及产销量表

  25. 例2 解： • 引入虚拟销地B4，（或理解为仓库），就地“销售”，运费为零

  26. 例2 求初始方案：（P128） 用最小元素法，但零视为最大元素。

  27. 例2 初始方案： .

  28. 例2检验初始方案 • 计算位势ui+vj

  29. 例2计算检验数 • σij=cij-(ui+vj), 所有σij ≥0 ，已得最优解。

  30. 例题3：弹性需求问题 • 设有三煤矿供应四地区，资料如下：

  31. 例题3：解题思路： • 设法转化为标准型 • 本题产量160万吨，最低需求110万吨，最高需求无限。实质上比较现实的最高需求210万吨 • 产量大于最小需求；小于最大需求。而标准型是：产量=销量。 • 处理办法：设想一个虚拟煤矿D，生产50万吨，但这个产量只能供应可有可无的最高需求部分，于是各地的需求也应分为两个部分：基本需求、机动需求 • 虚拟产量的运输费用为零，但它对于基本需求来讲，运费为无穷大。

  32. 例题3：建模： 1

  33. 例题3：最优解：

  34. 4.4运输问题的计算机求解 • AB：QM软件包，在module中选择transportation,在file中点击new,输入数据，点击solve,出现结果。

  35. 4.5 运输模型的应用 • 例题4：某机床厂定下一年合同分别于各季度末交货。已知各季度生产成本不同，允许存货，存储费0.12万元/台季，三、四季度可以加班生产，加班生产能力8台/季，加班费用3万元/台

  36. 例四.分析： • 可用线性规划，但用运输问题更简单 • 要决策的问题是各季度生产量和交货量设xij表示第i季度生产第j季度交货的台数 • 因加班时间生产成本不同，故要区别开来，三四季度可加班，视同增加两个季度 • 需求量合计115台，生产能力合计126台，供需不平衡，因此，增加一项闲置能力。

  37. 例四.建模： .

  38. 例四 结果： .

  39. 例题5 航运调度问题 • 某航运公司承担六个城市A、B、C、D、E、F之间的四条航线，已知各航线的起点、终点及每天所需的航班数如下表。又知各城市之间的航行天数，假定船只型号相同，装卸货时间各一天，问该公司至少要配备多少条船才能满足需要？

  40. 例5 城市之间航行天数表 .

  41. 例5 问题分析 问题要求的是在保证需要的前提下，至少需要多少船只。 所需船只包括两个部分：载货船、空驶船 。

  42. 例5 问题分析（续1） • 上表显示：载货船共需91条，此船何来？ A B 2 1 1 C F 调度中心 3 E D 虚线箭头都是空驶船

  43. 例五 问题分析（续2） • 所需91条货船要经调度而来，有的可在一个港口卸货后装运（如一条船从E到D后再起程赴B）。若港口没有空船，则要从其它港口调度而来。（规模效益） • 由上表可知：C、D、F港口有多余船只可供调出，而A、B、E港口则需要调入空船。 • 问题的核心是：如何使空驶船的数量为最少？亦即如何按照最近原则调度船只

  44. 例五 问题分析（续3） • 为此建立运输问题数学模型。设xij表示每天从i港口调往j港口的空船数，则cijxij就表示 i j航线上周转的船只数，∑cijxij表示各条线上周转的船只总数

  45. 例五 解题结果 • 上机求解： 空船总需求量2+5+13+17+3=40条 空驶船40条+载重船91条=131条

  46. 例题6 增产调度问题 • 工厂 市场 A、 B、 C 1、 2、 3、 4 1000 1500 1750 900 1000 1900 1500 产量 4250 < 需求 5300 增产方案： 1、加班生产，能力增长50%，费用增长50% 2、新建D厂，产能2000，投资200万元 3、新建E厂，产能2000，投资300万元 4、新建F厂，产能2000，投资400万元 如何增加生产能力？

  47. 例题6 问题分析 • 各工厂位于不同城市，原材料、劳动力、以及运输费各不相同（为什么只考虑可变费用？），计算不同方案对应不同市场的费用，将生产费用和运费统一考虑，从而决定产销方案。 • 将四个方案，在可变成本的意义上，分别求其最优产销分配计划，比较优劣。再加入固定投资因素，进行综合比较。

  48. 第五章 目标规划 • 要求 1、理解概念 2、学会建模 3、学会图解法和单纯形解法 4、计算机求解 5、举一反三，学会应用

  49. 5.1目标规划的概念及数学模型1 • 多目标问题 • 多目标线性规划 • 例1 求利润最大的生产方案

  50. 5.1目标规划的概念及数学模型2 • 例2：例1的要求多元化： 1、B产品不超过10单位 2、利润不低于1600元 3、充分利用2车间的生产能力，尽量不加班。 解：问题分析：找差别、定概念 1）系统约束：原有约束条件是一种刚性约束，称之为系统约束：2x1+1.5x2≤50 (1) x1+ 2x2 ≤40 (2)

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