第三章聚类分析

第三章聚类分析 第一节集合论基础第二节模糊集合的基本知识第三节模糊聚类分析第四节动态聚类分析第五节系统聚类分析

第一节集合论基础 集合论是进行系统分析的重要理论基础。尤其是其中许多概念，方法等，在系统分析中有哲广泛的应用。因此介绍有关集合论的基础知识，对深刻理解和掌握系统工程的基本理论和方法有着重要意义。

一几个逻辑运算符号

以上三个运算符号被广泛应用。下面用真值表来说明它们的物理意义。以上三个运算符号被广泛应用。下面用真值表来说明它们的物理意义。设 P、Q 为两个逻辑变量其取值为: 则、∧、∨真值表如表３－１所示。

表 3-1 、 、、真值表

由表３－１可知：逻辑非（）具有反意词的意义。如Ｐ代表学生，则Ｐ表示不是学生；逻辑与（∧）、逻辑或（∨）代表两个逻辑变量的运算结果。对于逻辑与（∧）来讲，当Ｐ、Ｑ同时为Ｔ时，Ｐ∧Ｑ为Ｔ，否则为假（Ｆ）。对逻辑或（∨）来讲，则Ｐ与Ｑ至少有一个为Ｔ，Ｐ∨Ｑ为Ｔ，否则为（Ｆ）。对真值表的理解，从简单的开关电路中看的更为清楚。设Ｐ、Ｑ代表两个电源开关，开关关上为Ｔ，打开为Ｆ。电路的灯泡则代表逻辑与（∧）和逻辑或（∨），电灯泡亮为Ｔ，不亮为Ｆ。显然，图３－１开关串联电路中的灯泡亮与不亮则表示逻辑与（∧）的取值，图３－２的开关并联电路中的灯泡亮与不亮则表示逻辑或（∨）的取值。

Q P P Q 图 3-1 开关串联电路

P Q P Q 图 3-2 开关并联电路

４．条件语句 条件语句是表示逻辑变量之间，或等式之间相互因果关系的一种表达形式,分为单向条件语句和双向条件语句。（１）单向条件语句记成“ＰＱ”，读作有Ｐ必有Ｑ。若Ｐ为Ｔ，且有Ｑ为Ｔ，则单向条件语句成立，ＰＱ＝Ｔ；反之若Ｐ为Ｔ，而Ｑ为Ｆ，则条件语句不成立，ＰＱ＝Ｆ。（２）双向条件语句记成“ＰＱ”，读作有Ｐ必有Ｑ，有Ｑ必有Ｐ。若Ｐ为Ｔ（Ｆ），且有Ｑ为Ｔ（F)，则双向条件语句成立，ＰＱ＝Ｔ；若Ｐ为Ｔ(F)，而Ｑ为F(Ｔ)，则条件语句不成立，ＰＱ＝Ｆ。同样，条件语句的物理意义也可用真值表说明，见表３－２。

表 3-2 条件语句真值表

５．量词 在数学描述式中，特别是在集合论中，经常用到下面两个量词： (１)万有量词，可读成“全部”、“所有”、“一切”…。如 ∈ ，等。 (２)存在量词，可读成“总有”、“至少有”…。如 ,读成至少一个属于，而不属于。

二普通集合的基本概念 1. 集合与元素当我们把一群确定的事物当作整体来考察时，则该整体就叫作集合，或简称集。例如某学校的全体教职员工可视为一个集合；全体教职员工、教学实验设备等也可视为一个集合，习惯上，我们常用大写字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ…表示集合，集合中的每一个具体事物叫做这个集合的元素（或简称元），并用大括号括起来，以表示是一个整体。集合的元素一般用小写字母ａ、ｂ、ｃ、ｄ…来表示。例如已知集合Ａ为 A={a1 ,a2 , … ,an} 说明集合A中含有n个元素。我们又定义集合中元素的个数叫集合的势或基数，记｜Ａ｜＝ｎ。

当集合中的元素为有限个时，叫有限集合，集合中的元素为无限时叫无限集合。 元素与集合的关系不是属于关系就是不属于关系，二者必居其一。若ａ是集合Ａ的一个元素，即ａ属于Ａ，记为ａ∈Ａ，若ａ不是集合Ａ的一个元素，即ａ不属于Ａ，记为ａＡ。上述元素与集合的关系可用特征函数来描述，即

2. 集合的表示方法 集合的表示方法有多种多样。就给定的集合来讲，一般有三种表达形式： (１)列举法指把集合中的所有元素一一列举出来的方法。如Ａ＝{1,2,3,4}, B={b1,b2,b3}等。 (２)趋势法这种表达方法仅适用于集合中元素的排列具有某种规律性，此时只需列举出有限个元素，其余元素可用省略号“……”表示。例如：A={…,-1,0,1,2,…} B={a1 ,a2 , … ,an}

(３)描述法 又称谓语语句法，这是一种广泛应用的集合表示方法。其一般表达式如下 A={x|p(x)}式中：x－表示集合元素；p(x)-作为谓语，用以说明x是什么，或在什么范围内变化。例如：Ａ＝{x｜1≤ x ≤2}这里p(x)是说明集合Ａ的元素是由〔１,２〕闭区间全体实数组成的。又如：此集合与完全等价。

3. 集合的包含与相等 包含关系是用来描述集合与集合之间关系的一种表示方法。设有Ａ、Ｂ二集，如果属于Ａ的元素全部属于Ｂ，则Ａ称作Ｂ的一个子集，或说集Ｂ包含集Ａ，记成ＡB，或ＢA。其数学描述如下：一个集合A称为Ｂ的真子集，则Ａ与Ｂ的关系叫真包含关系，记成ＡＢ。其数学描述如下：例如：A＝{a,b},B={a,b,c}，则有ＡＢ。根据包含关系，我们可定义两个集合相等的关系式，即 (3-3) 如果两个集合存在着包含关系的话，不是相等关系，就是真包含关系。(3-3)式则是全面反映了这两种关系。

注意：对于两个相等的集合还有以下两个性质：(１)重复元素没有意义，即Ａ＝{1,2,2,4}={1,2,4} (２)同一集合不同表达形式当然相等。例如：Ａ＝{x|x(x-1)=0}，Ｂ={0,1}则Ａ＝Ｂ。

4. 几个重要集合 (１)空集Φ 指不含有任何元素的集合。其表达式如下： Φ＝{x｜P(x)∧P(x)} 式中谓语P(x)∧P(x)说明既满足Ｐ(x)，又满足Ｐ(x)的元素是不存在的。因为Ｐ(x)为Ｔ，P(x)为F，显然这样的x是不存在的，故为空集。 (２)单元素集只含有一个元素的集合叫单元素集，如{a}，{b}…等。单元素集与单元素是两个完全不同的概念。如“学生”做为集合的一个元素，可能是男学生，女学生，也可能是若干个学生，而{学生}，则表示学生的全体。 (３)全集U指由论域全体元素组成的集合叫全集，一般记成U。其表达式为: U ={x｜P(x)∨Ｐ(x)} 式中的谓语P(x)∨ P(x)与并运算等价。意指满足Ｐ(x)和不满足Ｐ(x)都是集合的元素。

(4)幂集 设A为任意有限集合，则包含Φ和Ａ在内的全部子集族称作集合Ａ的幂集，记为ρ(A)。例如：当根据上面的例子，我们归纳给出求幂集势的一般公式如下因为所以

三直积集 顾名思言，直积集可表面理解成两个以上集合直接相乘而得到的集合。但事实并非完全如此。直积集又叫序集，它是建立在有序对概念基础上而定义的新集合，这也是它与普通集合的本质区别所在。为了给出直积集的一般定义。我们需首先介绍有序对的概念。

1. 有序对 在解析几何中我们知道，可用一对有顺序的实数（x，ｙ）来表示平面座标上的一个点。某中规定ｘ所在位置叫第一座标，代表在ｘ轴上的取值；ｙ所在位置叫第二座标，代表在ｙ轴上的取值。显然，#!&随着x,y的不同取值，便对应着平面上不同的点，并且一般情况下，(x,y)≠(y,x)如图３－３所示，(3,1)≠(1,3)，(-1,3)≠(3,-1)，(-2,2)≠(2,-2)等等。这说明，有序对引入了位序的概念，而普通集合则与元素排列顺序无关，如{1，2}={2，1}。两个有序对，只有当它们的第一座标和第二座标分别相等时,才认为它们是相等的，即 (a,b)=(p,q)a=p∧b=q

y (-1,3) (1,3) (-2,2) (3,1) x (3,-1) (2,-1) 图 3-3 直角坐标系

2. 直积集 设Ａ、Ｂ为任意两个非空集合，则由Ａ、Ｂ中的全体元素组成的有序对（ａ,ｂ）叫做Ａ到Ｂ的直积集，记为Ａ×Ｂ，即Ａ×Ｂ={(a，b)｜a∈Ａ∧b∈Ｂ，且ａ,ｂ取遍A、Ｂ中的一切元} 式中(ａ，ｂ）又叫有序二元，并且ａ位于第一座标，ｂ位于第二座标。如果第一座标取自Ｂ的一切元，第二座标取自Ａ的一切元，则全体有序对（ｂ,ａ）组成的直积集叫Ｂ到Ａ的直积集，记成Ｂ×Ａ，即Ｂ×Ａ＝{(b，a)｜b∈B∧a∈A，且b，a取遍B，A的一切元} 根据有序对的定义，显然有Ａ×Ｂ≠Ｂ×Ａ如果A=B,则有A×B=B×A=A2=B2 此时A2(B2)叫集上直积集，又叫直幂集。

实例： 例１：已知，求A到B的直积集。解：A×Ｂ＝{(a，b)｜a∈A∧b∈B，且a，b取遍A，B的一切元} 例2：已知Ｘ＝Ｙ＝{-∞<x,y<∞}，求直积集。解：其中叫二维笛卡空间，也即是说，若Ｘ取全体实数集合，则其直幂集代表平面上全部点的集合。

3. 推广 以上我们研究的是两个集合的直积集问题，其中有序对叫有序二元。那么，我们完全可以仿照这种思路，把直积集的概念推广到几个集合。设已知个非空集合，则到，到 …的直积集记成，且式中：（） --叫有序n元。当ｎ＝２时，则为两个集合的直积集；当ｎ＝３时，则是三个集合的直积集等等。

同理，当上式时，则称作直幂集。 关于直积集的势，给出如下两个计算公式：当A1=A2=…=Aｎ时，

四关系集 研究直积集的根本目的，就是为了进一步研究关系集做准备。客观物质世界普遍存在着各种各样的联系，而这种联系又都可表现为各种关系。例如：在社会中,在家庭中,在数学上,在生物界,在一部机器上等等。任何一种联系都可定义一种关系。关系集就是各种关系的数学描述方法，对我们认识和改造客观世界有着重要指导意义。

1. 关系集的数学描述 设为ｎ个非空集合，则直积集的一个子集叫的一个ｎ元关系集，显然根据全集的定义，即是n元关系全集，故可令在客观世界中，存在着二元关系、三元关系、四元关系等多元关系。如一个家庭、若干国家组成的经济共同体、各种球类比赛的各个球队等，都属于多元关系。但是，在多元关系中，二元关系是大量的，也是最基本的。因此，我们将重点讨论二元关系。

2. 二元关系集的定义 由式可知，当ｎ＝２时，则叫做的一个二元素关系集，叫二元关系全集。然而，无论式，还是式，它们都没有对关系子集的确切含意加以说明，因此，也就无法给出具体的关系子集。 ※以后讨论的二元关系集都记成Ｒ，而不记成。

设已知Ａ、Ｂ两个非空集合，则Ａ×Ｂ的一个子集ＲＡ×Ｂ叫Ａ×Ｂ的一个二元关系集，且Ｒ＝{(a,b)｜a∈A∧b∈B∧a与b是什么关系}显然，上式中的谓语是定义ａ与ｂ是什么关系的，也是我们给出二元关系集的基本依据。例1：已知集合A ={1,2,3},定义A上的一个二元关系集为R={(a,b)｜a,b∈A∧a≤b}。则有:Ｒ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}A2同理，若定义Ｒ={(a,b)｜a,b∈A∧a＝b} 则有Ｒ＝{(1,1),(2,2),(3,3)}A2

例2：已知小张（女）、小王（男）、小李（女）三名同学分别记为ａ、ｂ、ｃ。即Ａ＝{a，b，c}。我们做如下定义：例2：已知小张（女）、小王（男）、小李（女）三名同学分别记为ａ、ｂ、ｃ。即Ａ＝{a，b，c}。我们做如下定义：１．R={(a，b)｜a，b∈A∧a与b为同学关系}，则２．R={(a，b)｜a，b∈A∧a与b为女同学关系}，则 R={(a，a)，(a，c)，(c，a)，(c，c)} ３．R={(a，b)｜a，b∈A∧a与b为男同学关系}，则 R={(b，b)} 由上面例题不难看出，任何一个关系子集都需给出明确的定义，关系子集与关系全集之间具有一般包含关系（）。与普通集合一样，任意一个二元关系（ａ，ｂ）可能属于关系集R，也可能不属于关系集R，为以后分析问题方便，我们规定：当(a，b)∈Ｒ时，则说明ａ与ｂ具有关系R，记成ａRｂ；当(a，b)∈Ｒ时，则说明ａ与ｂ不具有关系R，记成ａｂ。

3. 关系图、关系矩阵 二元关系与运筹学的分枝“图论”有着密切的关系。可以说二元关系是图论的基础，而图论是二元关系的图形表示。空间集合的二元关系，都可抽象成平面上点集之间的对应关系。并规定用一条矢线从第一座标指向第二座标来表示这种关系。这样，任意一个二元关系，都可画成相对应的关系图，从而使二元关系变得更加清晰明了。下面举两个实例。

例１：已知 要求画出Ａ×Ｂ的全关系图。答案如图3-4所示。例2：已知Ａ＝{1,2,３},R为定义在Ａ上的一个二元关系集，Ｒ＝{(a,b)|a,b∈A∧a≤b}，要求画出Ａ上的全关系图和Ｒ关系图。因为 ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)(3,3)} 根据二元关系规定，给出关系图如图3-5所示。

A B a1 b1 a2 b2 a3 b3 图 3-4 A×B全关系图

1 1 2 2 3 3 a. 全关系图 b. R关系图图 3-5 A上关系图

一个关系图必对应一个关系矩阵，相反亦成立。对关系矩阵做如下定义：一个关系图必对应一个关系矩阵，相反亦成立。对关系矩阵做如下定义：上式表明关系矩阵是个０－１矩阵。根据全关系图和R关系图可给出如下关系矩阵：

4. 二元关系的性质二元关系有五个重要性质，深刻了解这些性质，对正确分析系统中的各种关系非常重要。设Ｒ是集合Ａ上的一个二元关系。则Ｒ可能具有如下五个性质：(1)R具有反身性x∈AxRx. (2)R具有反反身性xAx x. (3)R具有对称x.y∈A∧xRyyRx。(4)R具有反对称x.y∈A∧xRyy x。(5)R具有传递x.y.z∈A∧xRy∧yRzxRz。假设已知集合Ａ＝{1,2,3}，集上的二元关系分别为：

(1)当R={(a,b)｜a.b∈A∧a=b}，则R={(1,1)(2,2)(3,3) 说明R满足反身性，即ｘ∈ＡxRｘ。(2)当R={(a,b)｜a.b∈A∧a＜b}，则R={(1,2),(1,3),(2,3)}。说明R满足：a.反反身性 ｘ∈Ax x b.反对称性x.y∈A∧xRyy x c.传递性 1,2,3∈A∧1R2∧2R31R3。(3)当R={(a,b)｜a.b∈A∧a≥b}，则R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,1),(3,2),(3,1)}.说明R满足: a.反身性x∈AxRx b.反对称性x.y∈A∧xRyy x c.传递性3,2,1∈A∧3R2∧2R13R1。

五序集 顺序或排序在系统分析与评价中经常用到.从集合的观点出发，如果依据某种原则，如大小关系、优序关系、包含关系等，将集合的元素排成一定序列，我们就称该集合为序集。在系统分析与评价中，经常用到的序集有以下几个。

1. 偏序集定义 设Ａ为一非空集合，Ｒ是Ａ上的一个二元关系，如果Ｒ满足：(1)反身性(2)反对称性(3)传递性则说R是A上的一个偏序关系集,记成P={A,≤}式中：Ｐ－代表偏序集合 ≤-是偏序关系代号，可能是“”、“≤”、“≥”等关系。P={A, ≤ }式可读作在集Ａ上的偏序（≤）关系集合。

例１：已知Ａ＝{a,b}，ρ(A)={Φ，，， }则幂集上的包含关系便是一个偏序集，即R=P={ρ(A),}={(a，b)｜a，b∈ρ(A)∧ab} ={(Φ,Φ),(Φ, ),(Φ, ),(Φ, ),( , ) ( , ), ( , ),（ , ),( ， )}很容易看出，Ｒ关系集满足反身性、反对称性和传递性三个性质，所以Ｒ为偏序关系集。另外，我们还可通过关系图了解的更清楚，如图3-6所示。为了简化关系图，特做如下规定： ①省略反身关系和传递关系； ②要求各关系枝的箭头方向由下向上指。经过简化的关系图叫H图。

ab ab a a b b b. H图 a. 偏序关系图图 3-6 偏序关系图及其对应的H图

另外，在偏序集中，允许存在不可比较元素。如 与之间就没有枝相连，故不可比较。例２：已知Ａ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},设Ａ上的一个二元关系为Ｒ＝{(a,b)｜a,b∈A∧b/a=整数}。则此二元关系集也是一个偏序关系集。对应的H图如图3-7所示。

12 8 10 4 6 9 5 2 3 11 7 1 图 3-7 A上整除关系H图

2.拟序集定义 设Ａ为一非空集合，Ｒ是Ａ上的一个二元关系集，若满足(１)反反身性(２)反对称性(３)传递性则说Ｒ是Ａ上的一个拟序关系集，记成Q={A, }式中：Ｑ－代表拟序集合，是拟序关系符号，可能是“”、“<”、“>”等关系。

例１：设Ａ={a,b}，其幂集为ρ(A)={Φ，，， )} 则集上的真包含关系是一个拟序关系集。即Ｒ=Q={ρ(A)，}={(a,b)｜a,b∈ρ(A)∧a  b} ={(Φ， )，(Φ， )，(Φ， )，( ， )，( ， )}显然，Ｒ关系集满足定义拟序集的三个性质，其关系图和Ｈ图如图3-8所示。

ab ab b a a b b. H图 a. 拟序关系图图 3-8 拟序关系图及其对应的H图

例2：大系统单元层次结构关系是拟序关系。 任何一个复杂大系统都可划分成许多层次。层次之间存在着真包含关系，这种真包含关系，便形成了大系统单元集合巢式结构的无限序列。如图3-9所示便是一个典型例子。

A A A A     … B B B C C D A -某农业系统 B -某县级系统 C -某县级系统 D -国家大系统图3-9 大系统单元集合巢式结构无限序列

3. 全序集全序集是偏序集的一个特例。 如果一个集合Ａ上的偏序关系（≤），满足ａ，b∈Ａ，且ａ≤ｂ或ａ≥ｂ必有一个成立，则称此偏序为全序，此时的偏序集又叫全序集，记成Ｔ＝{A，≤}式中：Ｔ－代表全序集。 ≤ －全序关系符号。例如：设Ａ＝{1,2,3}，定义Ａ上的一个二元关系Ｒ={(a,b)｜a,b∈A∧a≤b}，则Ｒ=T={A,≤}={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)}即是偏序集，也是全序集。对应的关系图和Ｈ图如图3-10所示。实际上，全序的概念是依据某种要求（关系），将集合中的元素排成一列。如图3-10中的Ｈ图所示。在实际工作中，方案评价排序就是全序集的应用。

第三章 聚类分析