主 要 内 容

1. 主 要 内 容 定 义 计算法 二 重 积 分 几何意义 应 用 性 质

2. 二重积分的定义

3. 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．

4. 若 为D的面积， 二重积分的性质 性质１ 当k 为常数时， 性质２ 对区域具有可加性 性质３ 性质４

5. 性质５ 若在D上 则有 特殊地 性质６ 性质７

6. 二重积分的计算 （１）直角坐标系下　 ［X－型］ ［Y－型］

7. （２）极坐标系下　 D : D :

8. D : 注意： 当被积函数为 积分区域是圆或 圆的一部分时，在极坐标系下化为二次积分， 常可简化计算。

9. 二重积分的应用 (1) 体积 (2) 曲面积 设S曲面的方程为： 曲面S的面积为

10. (3) 重心 当薄片是均匀的，重心称为形心.

11. (4) 引力 薄片对z 轴上单位质点的引力 G 为引力常数

12. 思考与练习 1. 2.改变下列二次积分的积分次序：

13. 1. 解 D是 Y－型。 将 D向 y轴投影。 求交点：

14. 求交点： 得 将 D向 x轴投影。 D是 X－型。 于是，

15. 于是， 在极坐标系中，闭区域 D可表示为

16. 在极坐标系中，D可表示为

17. 2.改变下列二次积分的积分次序： 解 (1) 积分区域为 将 D向 y轴投影。

18. 积分区域为 将 D向 x轴投影,

19. 3. 4. 5. 6. 7.

20. 3. 解 D是 X－型。 将 D向 x轴投影。

21. 4. 解 先去掉绝对值符号，

23. 5. 解 积分区域为 将 D向 y轴投影。

24. 6. 在极坐标系中，闭区域 解 D可表示为

26. 7. 积分区域为 证 将 D向 y轴投影。

28. 8. 9. 10.

29. 8. 解 所求立体可以看成是一个 曲顶柱体，它的曲顶为 底为 于是，

30. 9. 解 平面方程 所求面积

31. 所求面积

32. Ⅰ Ⅱ 10. 解 所求表面分成Ⅰ和Ⅱ，如图。 第一块（ Ⅰ ）在半球面 记为 AⅠ。 第一块（ Ⅱ ）在锥面 记为 AⅡ 。 由

33. Ⅰ Ⅱ 由 因此，曲面Ⅰ和Ⅱ在 xoy面上 的投影区域均为圆域： AⅠ的曲面方程为

34. AⅠ的曲面方程为 AⅠ AⅠ Dxy极坐标系下表示：

35. AⅠ AⅡ A Ⅱ的曲面方程为 所求面积 A = AⅠ+ AⅡ