第五章矩阵与行列式

第五章矩阵与行列式 §5.4 逆矩阵 §5.5矩阵的初等变换

§5.4逆矩阵 • 设给定线性方程组根据矩阵的乘法，以上线性方程组可表示成矩阵形式其中

分析代数方程 的求解过程，对于求解矩阵方程会有新的启发．

逆矩阵的概念与性质 • 定义5.7对于阶矩阵，如果有矩阵 ,使得则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵．

的逆矩阵是唯一 . 证：设B、C都是A的逆矩阵，则有所以A的逆矩阵是唯一的. • 的逆矩阵记作，即若，则．

可逆矩阵及其逆矩阵的性质 • 性质5.7 可逆矩阵的逆矩阵也是可逆矩阵，并且 • 性质5.8 非零数与可逆矩阵的乘积矩阵也是可逆矩阵，并且

性质5.9两个同阶可逆矩阵的乘积矩阵是可逆矩阵，并且性质5.9两个同阶可逆矩阵的乘积矩阵是可逆矩阵，并且 • 性质5.10可逆矩阵的转置矩阵是可逆矩阵，并且

方阵可逆的条件 • 伴随矩阵设n阶方阵由方阵中元素的代数余子式按转置方式排成的阶方阵，称为方阵的伴随矩阵，记作

定理5.3阶方阵可逆的充分必要条件是 并且当可逆时，的逆矩阵可表示为其中，是的伴随矩阵．上述定理不仅说明了方阵可逆的条件，而且在方阵可逆的情况下，给出了应用伴随矩阵求逆矩阵的方法．

其中 • 练习5.12求矩阵使满足解：若存在，则用左乘上式，右乘上式，有即可解得，，故知都可逆．且

所以同样可得出于是

§5.5矩阵的初等变换 • 消元法解线性方程组解：

只需用“回代”的方法便能求出解： （其中c为任意常数）或者

线性方程组的同解变换与矩阵的初等变换 • (1) 对调i,j两行 • (1) 互换两个方程的位置； • (2) 用一个非零的数乘一个方程． • (2) 以数乘i行 • (3) 用一个数乘一方程加到另一方程； • (3) 把j行的k倍加到i行矩阵的初等行变换线性方程组的同解变换矩阵的初等变换矩阵的初等列变换

用行初等变换求逆矩阵 • 将n阶可逆矩阵A与n阶单位矩阵E并列，构成一个n*2n矩阵[A E]．初等行变换在事先不知道方阵是否可逆的情况下，应用上述方法可以同时判断的可逆性．如果经过若干次行初等变换后，发现在左边的方阵中有一行元素全为零，则意味着不可逆，此时不存在．

练习5.13用行初等变换的方法判断下列方阵是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵．练习5.13用行初等变换的方法判断下列方阵是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵．解：

于是求得的逆矩阵为

至此，左边的方阵中最后一行元素全部为零，所以 不可逆，即不存在．

习题 • 习题1 求A,B的逆矩阵．解：

习题2在应用三的货物交换经济模型中, 如果交换系统由下表给出, 试确定农作物的价值x1, 农具及工具的价值x2, 织物的价值x3的比值.

解:根据上表可得关于 的三个齐次方程如下: 对系数矩阵做行初等变换:

可见方程有非零解, x3为自由变量, 令x3=t为任意正实数, 则有x1=x2=x3=t, 即三种价值的比值为1:1:1.

自测题 • 1.设 A= ，求A的逆矩阵。

2.设矩阵 A= ，求出 . • 3.求A= 的秩答案为：答案为：2

第五章 矩阵与行列式