Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

1. I Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Πίνακας Συχνοτήτων Αθροιστική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Σχετική Συχνότητα Διαγράμματα Επιμέλεια Κόλλας Γ. Αντώνιος [Μαθηματικός]

2. Vi Πίνακας Συχνοτήτων...

3. 40 Ας υποθέσουμε πως θέλουμε να αναλύσουμε τα αποτελέσματα της γραπτής εξέτασης στο μάθημα «ΠληκτικάΜαθηματικά», από ένα δείγμα 40 φοιτητών.

4. Χ = Αυτό που μετράμε ... ν = 40 Για να μπορέσουμε να επεξεργαστούμε τις μετρήσεις με μαθηματικό τρόπο, χρειάζεται να ορίσουμε μια μεταβλητή (δηλ. ένα όνομα) - έστωΧ- η οποία θα αντιπροσωπεύει την ποσότητα την οποία μετράμε. Άρα... Συνεπώς, στο παράδειγμά μας θα είναι: «Η βαθμολογία στο μάθημα των Πληκτικών Μαθηματικών» Χ = Το σύνολο των μετρήσεων που έχουμε κάνει (δηλαδή, το πόσες βαθμολογίες μετρήσαμε) λέγεταιμέγεθοςντου δείγματος και για το παράδειγμά μας είναι:

5. Έστω, λοιπόν, ότι αφού εξετάστηκαν οι 40 φοιτητές συγκεντρώθηκαν οι παρακάτω βαθμολογίες: 5, 3, 7, 6, 2, 10, 8, 6, 4, 4, 6, 9, 1, 5, 5, 7, 7, 3, 7, 6, 5, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 4, 5, 1, 10, 8, 6, 7, 2, 1, 9, 4, 8, 5

6. μεγαλύτερη προς τη μικρότερη ... Μια καλή ιδέα, γι’ αρχή, θα ήταν να ταξινομήσουμε τις βαθμολογίες, ξαναγράφοντάς τες από τη 1,1,1,1,1,2,2,2,3,3 3,3,4,4,4,4,4,5,5,5, 5,5,5,6,6,6,6,6,7,7, 7,7,7,8,8,8,9,9,10,10

7. Φυσικά, ακόμα καλύτερα θα ήταν κάπως έτσι: 1,1,1,1,1 2,2,2 3,3,3,3 4,4,4,4,4 5,5,5,5,5,5 6,6,6,6,6 7,7,7,7,7 8,8,8 9,9 10,10

8. Υπάρχει, όμως, και μια εξυπνότερη ιδέα: αντί να γράφουμε πολλές φορές τον ίδιο αριθμό, είναι προτιμότερο να τον γράφουμε μόνο μια φορά και δίπλα να σημειώνουμετο πόσες φορές τον συναντάμε, δηλαδή... το 1→ 5 φορές το 2 → 3 φορές το 3 → 4 φορές το 4 → 5 φορές το 5 → 6 φορές το 6 → 5 φορές το 7 → 5 φορές το 8 → 3 φορές το 9 → 2 φορές το 10 → 2 φορές

9. Τώρα, αντί να γράφουμε συνεχώς τη λέξη «φορές», θα ήταν προτιμότερο να φτιάξουμε ένα μικρό πίνακα:

10. Το i είναι απλά ένα είδος μετρητή,που παίρνει τις τιμές i = 1, 2, 3, … Οι διάφορες βαθμολογίες που διαβάζουμε στην πρώτη στήλη δεν είναι παρά οι διαφορετικές «τιμές» που μπορεί να πάρει η μεταβλητή Χ την οποία μετράμε. Οι διαφορετικές αυτές τιμές, που παίρνει γενικά το μέγεθος Χ, συμβολίζονται με xi. Συνεπώς: x1 = 1 x6 = 6 x2 = 2 x7 = 7 x3 = 3 x8 = 8 x4 = 4 x9 = 9 x5 = 5 x10 = 10 x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x8 = x9 = x10 =

11. i-σιχτίρ με τα μαθηματικά !!! Επιπλέον, το πόσες φορές μετράμε την κάθε τιμή, δηλαδή οι αριθμοί που καταγράψαμε στη 2η στήλη, ονομάζεται «συχνότητα» της αντίστοιχης τιμής. Η συχνότητα κάθε τιμής xi συμβολίζεται με νi . Συνεπώς: ν1 = 5ν6 = 5 ν2 = 3ν7 = 5 ν3 = 4ν8 = 3 ν4 = 5ν9 = 2 ν5 = 6ν10 = 2 ν1 = ν2 = ν3 = ν4 = ν5 = ν6 = ν7 = ν8 = ν9 = ν10 =

12. Πίνακας Συχνοτήτων Πίνακας Συχνοτήτων Έτσι, ο πίνακας που είχαμε φτιάξει αρχικά γράφεται τώρα ακριβέστερα, όπως φαίνεται παρακάτω, και ονομάζεται:

13. ν = ν1 + ν2 + ... + νκ* τις φορές που εμφανίζεται η τιμή «1» (δηλ. τη συχνότητα ν1) 5 Παρατηρώντας τον πίνακα, είναι προφανές πως αν προσθέσουμε: 3 τις φορές που εμφανίζεται η τιμή «2» (δηλ. τη συχνότητα ν2) και τα λοιπά ... ... γενικότερα τις συχνότητες που εμφανίζεται καθεμία απ’ τις τιμές xi, τότε θα βρούμε το πλήθος όλων των μετρήσεων, δηλαδή το μέγεθος ντου δείγματος. Συνεπώς: ν ν =40 (*) Το κ είναι απλά ένας συμβολισμός που δείχνει πως έχουμε υποθετικά κ διαφορετικές τιμές xi.

14. ? ? Πόσοι φοιτητές έγραψαν9 Πόσοι φοιτητές έγραψανέως και 7 Πόσοι φοιτητές έγραψαντο πολύ 4 Πόσοι φοιτητές έγραψανλιγότερο από 5 Πόσοι φοιτητές έγραψανπερισσότερο από 5 Πόσοι φοιτητές έγραψαντουλάχιστον 5 Πόσοι φοιτητές έγραψανμεταξύ 8 και 10 (συμπεριλαμβανομένων) Πόσοι φοιτητές έγραψανπάνω από τη βάση αλλά λιγότερο από 8 κλπ... Με τη βοήθεια της στήλης των συχνοτήτων μπορούμε τώρα ν’ απαντήσουμε, εύκολα, σε ένα σωρό ερωτήσεις των παρακάτω τύπων: ? ? ? ? ? ? ? Το ζητούμενο σε καθεμία από τις ερωτήσεις αυτές είναι, πρωτίστως, να καταλάβουμε τι ακριβώς μας ζητάει και ποιες περιπτώσεις περιλαμβάνει. Ή, με άλλα λόγια, να μπορέσουμε να «μεταφράσουμε» τη γλώσσα της γραμματικής στη γλώσσα των μαθηματικών.

15. Απάντηση Τι σημαίνει ; Αν θες να συμβουλευτείς τον πίνακα, μετακινήσου μπροστά & πίσω (με τα βελάκια ή το ποντίκι) ...

17. Νi Αθροιστική Συχνότητα...

18. Αν θέλουμε ν’ απαντούμε κατευθείαν στις ερωτήσεις του τύπου«το πολύ»τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μια νέα στήλη, που θα την ονομάζουμε«αθροιστική συχνότητα»και θα τη συμβολίζουμε μεΝi. Τη στήλη αυτή θα τη φτιάχνουμε ως εξής:

19. Αντιγράφουμε στην πρώτη σειρά την 1η συχνότητα όπως ακριβώς είναι (δηλ. τη ν1) και συνεχίζουμε σε κάθε νέα σειρά προσθέτοντας μία-μία όλες τις συχνότητες, φτιάχνοντας έτσι ένα κλιμακωτό άθροισμα. Ας το δούμε αυτό να γίνεται, σταδιακά, στο παράδειγμά μας... το ίδιο 5

20. προσθέτω

21. προσθέτω ίσον = 8

22. προσθέτω

23. προσθέτω ίσον = 12

24. προσθέτω

25. προσθέτω ίσον = 17

26. …και με την ίδια λογική... 23 28 33 36 38 40

27. Δεν είναι τυχαίο που βρήκαμε το ν !!!

28. fi Σχετική Συχνότητα...

29. Στο παράδειγμά μας, δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο ν’ αντιληφθούμε τι σημαίνει ότι 6 άτομα στα 40 έγραψαν τη βάση, γιατί οι αριθμοί είναι μικροί και στρογγυλοί. Τι θα συνέβαινε όμως αν είχαμε 373 άτομα στα 475 ή 1.430 άτομα στα 9.822; Γενικότερα, κάθε φορά που αντιμετωπίζουμε μεγάλα και «περίεργα» νούμερα και ζητάμε να κατανοήσουμε τί σχέση έχει το μέρος με το σύνολο, τότε χρησιμοποιούμε την έννοια του ποσοστού. Όπως γνωρίζουμε, το ποσοστό το μετράμε συνήθως με βάση το 100, δηλαδή «επί τοις εκατό (%)»,όπως συνηθίζουμε να λέμε. Άρα: Όταν δηλαδή στο δημοτικό λέγαμε ότι από τα 8 κομμάτια μιας πίτσας φάγαμε τα 6, τότε το κλάσμα 6/8 = 0,75 σήμαινε ότι φάγαμε το 0,75∙100 = 75% της πίτσας!

30. Στη Στατιστική το μέγεθος εκείνο που προσδιορίζει τι ποσοστό ενός δείγματός καταλαμβάνει κάποια τιμή xi λέγεται «σχετική συχνότητα»και συμβολίζεται με fi. Σύμφωνα με όσα είπαμε πριν θα είναι, λοιπόν: πχ. Για το παράδειγμα των 40 φοιτητών είναι: f1 =5 / 40 = 0,125 Συνήθως, μετατρέπουμε το δεκαδικό που προκύπτει σε ποσοστό % - όπως ήδη έχουμε πει - πολλαπλασιάζοντας το με το 100. Έτσι προκύπτει μια ακόμα στήλη: η σχετική συχνότητα (%). Δηλαδή... f1 = 0,125 ή 0,125∙100 = 12,5 %.

31. ∙ 100 Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της fi αποκτάει 2 νέες στήλες: 0,125 12,5

32. ∙ 100 Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της fi αποκτάει 2 νέες στήλες: 0,075 7,5

33. ∙ 100 Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της fi αποκτάει 2 νέες στήλες: 0,10 10

34. ΔΩΣΕ ΒΑΣΗ !!! Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της fi αποκτάει 2 νέες στήλες: f1 = f2 = f3 = f4 = f5 = f6 = f7 = f8 = f9 = f10 = …και τα λοιπά...

35. Αυτός είναι κι ένας τρόπος να κάνουμε έμμεσα την επαλήθευσή μας! f1 + f2 + … + fκ = 1 ή f1% + f2% + … + fκ% = 100% Μικρές αποκλίσεις είναι δυνατό να συμβούν, πχ. 0,98 ή 1,01 εξαιτίας στρογγυλοποιήσεων που πιθανόν έχουν γίνει στους προηγούμενους υπολογισμούς. Δεν πρέπει να μας ανησυχεί κάτι τέτοιο! ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Τα αθροίσματα 1 και 100 δεν είναι τυχαία, παρά είναι εκείνα ακριβώς που πρέπει να βρίσκουμε ΠΑΝΤΑ στη βάση της στήλης fiκαι fi (%), αντίστοιχα. Με άλλα λόγια στη μαθηματική γλώσσα, αυτό που πρέπει να ισχύει είναι:

36. ? Με τη βοήθεια της στήλης των σχετικών συχνοτήτων μπορούμε τώρα ν’ απαντήσουμε, εύκολα, στις ίδιες ερωτήσεις που απαντήσαμε νωρίτερα, όταν αντί για απόλυτους αριθμούςμας ζητάνε ποσοστό (%): ? Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε 9 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψεέως και 7 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψετο πολύ 4 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψελιγότερο από 5 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψεπερισσότερο από 5 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψετουλάχιστον 5 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψεμεταξύ 8 και 10 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψεπάνω απ’ τη βάση & λιγότερο από 8 κλπ... ? ? ? ? ? ? ? Στον επόμενο πίνακα, παρατηρούμε ότι αθροίζουμε ακριβώς τις ίδιες περιπτώσεις, μόνο που κοιτάζουμε στη στήλη των fiαντί εκείνης των νi.

37. Ποσοστό % Τι σημαίνει ; Αν θες να συμβουλευτείς τον πίνακα, μετακινήσου μπροστά & πίσω (με τα βελάκια ή το ποντίκι) ...

39. Fi Αθροιστική Σχετική Συχνότητα...

40. Η «αθροιστική σχετική συχνότητα»συμβολίζεται με Fi. Από μια άποψη, εκφράζει για τα αντίστοιχα Νi ό,τι εκφράζει και η fi για τα αντίστοιχα vi, δηλαδή το ποσοστό. Για το λόγο αυτό, πολύ συχνά, δίπλα στην απλή στήλη Fi θα κατασκευάζουμε και την Fi (%), απλά πολλαπλασιάζοντας με το 100. Στη συνέχεια, με τον ίδιο τρόπο που κατασκευάσαμε τη στήλη Νi (δηλ. τις αθροιστικές συχνότητες) κοιτάζοντας τη στήλη νi (δηλ. τις συχνότητες)… …θα κατασκευάσουμε τη στήλη Fi (δηλ. τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες) κοιτάζοντας τη στήλη fi (δηλ. τις σχετικές συχνότητες)...

41. ∙ 100 Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται... το ίδιο 0,125 12,5 %

42. Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται... προσθέτω

43. ∙ 100 Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται... προσθέτω ίσον = 0,20 20 %

44. Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται... προσθέτω

45. ∙ 100 Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται... προσθέτω ίσον = 0,30 30 %

46. Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται... F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = F6 = F7 = F8 = F9 = F10 = …και τα λοιπά...

47. Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται... F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = F6 = F7 = F8 = F9 = F10 = Δεν είναι τυχαίο που βρήκαμε το 1 & το 100 !!!

48. Διαγράμματα...

49. τα ραβδογράμματα και τα κυκλικά διαγράμματα. Συνηθιζούμε να λέμε ότι μια εικόνα αξίζει όσο χίλιες λέξεις και η Στατιστική δεν αποτελεί εξαίρεση. Πολύ συχνά, παρατηρώντας ένα διάγραμμα μπορούμε να εξάγουμε άμεσα συμπεράσματα ταχύτερα απ’ ότι αν προσπαθούσαμε να επεξεργαστούμε νοητικά τα αριθμητικά δεδομένα ενός πίνακα συχνοτήτων. Με αυτό το στόχο, έχουν αναπτυχθεί διάφοροι τρόποι απεικόνισης των δεδομένων ενός δείγματος σε κατάλληλα διαγράμματα. Δύο απ’ τα συνηθέστερα είναι:

50. Ας ξεκινήσουμε, με ένα απλό ραβδόγραμμα συχνοτήτων. Καταρχάς, σχεδιάζουμε 2 κάθετους άξονες.