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Lógica Proposicional

Lógica Proposicional. SAT e Custo Computacional. Conjuntos. FOR: conjunto das fórmulas SAT: conjunto das fórmulas satisfazíveis INSAT: conjunto das fórmulas insatisfazíveis TAUT: conjunto das tautologias REFUT: conjunto das fórmulas refutáveis

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Lógica Proposicional

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Presentation Transcript

  1. Lógica Proposicional SAT e Custo Computacional

  2. Conjuntos • FOR: conjunto das fórmulas • SAT: conjunto das fórmulas satisfazíveis • INSAT: conjunto das fórmulas insatisfazíveis • TAUT: conjunto das tautologias • REFUT: conjunto das fórmulas refutáveis • Refutável é toda fórmula H tal que exista pelo menos uma interpretação I[H]=F

  3. Lema de pertinência • Para H € FOR: • H € SAT DH € INSAT • H € INSAT D(H) € TAUT • H € SAT D(H) € TAUT • H € REFUT DH € TAUT • H € REFUT D(H) € INSAT

  4. Lema entre os conjuntos • SAT, INSAT, TAUT, REFUT  FOR • TAUT  SAT • INSAT  REFUT • TAUT I REFUT = {} • INSAT I SAT = {} • SAT U REFUT = FOR • TAUT U INSAT  FOR • SAT I REFUT = {}

  5. a 0 1 b b 0 1 1 0 c c c c 0 1 0 1 0 1 0 1 O problema SAT • Dada uma fórmula proposicional •  =(a  b) ( ab  c) • Determinar se  é satisfazível • Problema de decisão • Para n símbolos proposicionais, são necessárias 2n linhas numa tabela verdade e 2m+1 colunas

  6. Aplicações • Um “resolvedor de SAT”é a principal ferramenta computacional para: • Em Inteligência Artificial: • Programação em lógica • Provadores de teoremas • Em Projeto Automático de Componentes Eletrônicos: • Teste e Verificação • Síntese • Escalonamento • Planejamento • …

  7. Custo Computacional • O custo (determinístico) de SAT é dito exponencial • Não-determinísticamente, o custo de SAT cai para cerca de 2m+1 • 2m+1 é o número de sub-proposições, por indução • m= no. de conectivos da fórmula • Custo não-deterministicamente polinomial (NP) • Testam-se apenas algumas linhas da tabela • O no. de sub-fórmulas é sempre até 2 vezes o número de conectivos mais 1

  8. Complexidade Computacional • Criação da classe de problemas NP-Completo S. A. Cook, The complexity of theorem proving procedures, Proceedings, Third Annual ACM Symp. on the Theory of Computing,1971, 151-158 • Abordagem mais simples: B. Hayes, Can’t get no satisfaction, American Scientist, Vol. 85, nr. 2, Mar-Apr 1997, 108-112

  9. Complexidade Computacional (cont.) • Algoritmos deterministicamente polinomiais: logarítmico, linear quadrático, cúbico (log n, n, n**2, n**3, …, n**500,…) • Algoritmos exponenciais (ou não-deterministicamente polinomiais): 2**n,n**n,n**log n • Algoritmos exponenciais são mais lentos que os polinomiais para valores altos de n • Polinomiais são preferíveis!

  10. 1-SAT:linear (um literal por subfórmula) 2-SAT: linear (com fases) (x11 OR x12) AND (x21 OR x22) AND (x31 OR x32) AND… 3-SAT: NP-completo (x11 OR x12 OR x13) AND (x21 OR x22 OR x23) AND (x31 OR x32 OR x33) AND ... O problema são os conflitos, que diminuem a satisfabilidade! Não existe um algoritmo polinomial para todas as instâncias do problema SAT, a não ser que P = NP Vira deterministicamente polinomial quando as sentenças viram 2-SAT (no máximo 2 símbolos proposicionais por fórmula) Cláusula de Horn – 1-SAT (No máximo 1 símbolo proposicional positivo em todas as sub-fórmulas) Complexidade e SAT

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