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吉林大学远程教育课件

吉林大学远程教育课件. 离散数学. ( 第 二十 讲 ). 主讲人 : 杨凤杰. 学 时: 64. §4.4 Hamilton 图 1859 年 , 爱尔兰数学家 Hamilton 在市场上提出了一个奇特的数 学游戏题 , 问题的主要部分是涉 及一个正十二面体 , 如下图。这 是通常所称的正则柏拉图体的一种,这是以 12 个正五边形为面,且这些正五边形的三边相交与 20 个顶点的一个多面体。. Hamilton 用正十二面体代表地 球,在每个顶点上都标以一个 重要城市的名字 : 布鲁塞尔、广 州、德里、法兰克福等等。游戏

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  1. 吉林大学远程教育课件 离散数学 (第二十讲) 主讲人: 杨凤杰 学 时:64

  2. §4.4 Hamilton图 1859年,爱尔兰数学家Hamilton 在市场上提出了一个奇特的数 学游戏题,问题的主要部分是涉 及一个正十二面体,如下图。这 是通常所称的正则柏拉图体的一种,这是以12个正五边形为面,且这些正五边形的三边相交与20个顶点的一个多面体。

  3. Hamilton用正十二面体代表地 球,在每个顶点上都标以一个 重要城市的名字:布鲁塞尔、广 州、德里、法兰克福等等。游戏 题的内容是:沿着正十二面体的棱寻找一条旅行路线,通过每个城市恰好一次又回到出发城市。这便是Hamilton回路问题。

  4. 4.4.1 Hamilton路 Hamilton图的必要条件 定义4.4.1 设G=(P,L)是有限 图,(v1,…,vn)是G中一条路。如 果G中每点恰在此路中出现一次, 则称此路为Hamilton路;如果G中每点,除v1外,恰在此路中出现一次,而v1=vn,则此路称为Hamilton回路。 定义4.4.2 设G=(P,L)是有限图,如果G中有一条Hamilton回路,则称G为Hamilton图。

  5. 任意两点都相邻的图称之为完全 图。显然,由m个节点构成的完 全图是Hamilton图。m个节点构 成的完全图通常记为Km。 和Euler路不同,Hamilton路感 兴趣的是图中的点,一条Hamilton 路决不会在两点间走两次以上,因此,没有必要在有向图中讨论它,只要在图中讨论它就可以了。 一个邮递员,如果他的任务需要遍历某些特定的街道,那么他最好走一条Euler路;如果他的任务是联系某些特定的收发点,那么他最好走一条Hamilton路。

  6. Euler路同Hamilton路相比较, 前者要周游诸弧,后者要周游诸 点,虽然仅有一字之差,但两者 的困难程度却不大相同。对于前 者,在上节我们已经得到了一些 较为深刻的定理,比较满意地解 决了这个问题;但对于后者, 却没有令人满意的结果。寻找一个图是 Hamilton图的充分必要条件,仍是图论中 一个重要问题。

  7. 定理4.4.1 如果图G=(P,L)是 Hamilton图,则对P(G)的任 一非空子集S,都有 W(G-S)  |S| 其中 |S| 表示集合S的元素数, G-S表示在G中删除S中的点以及 以S中的点为端点的所有边而剩下的图,W(G-S)表示图G-S的连通分支数。 证明:设C是G中的Hamilton回路,显然, W(C-S)  |S| 因为C是G的支撑子图,所以C-S是G-S的支撑子图。故W(G-S)  W(C-S),故W(G-S)  |S|。

  8. 图1 图2 图3 C A B 例如,将图1中点A,B,C的集合 记为S,于是,图1删去S,剩下的 图的分支数是4,即W(图2-S)=4, 而|S|=3。由定理4.4.1知,图1不是 Hamilton图。定理4.4.1用于图2、 图3得不出任何结论。

  9. 4.4.2 Hamilton图的若干充分条件 定理4.4.2 若G=(P,L)是有 限图,|P(G)| 3,  |P(G)|/2, 则G是Hamilton图。其中|P(G)|表 示图G中点数,表示G中点的最小度。 证明:令  =|P(G)|。今后, 将一直用  表示|P(G)|。 反证法,假若G不是,不妨设G是满足3,   /2的极大非Hamilton图(所谓极大是指:满足这个条件的其它非Hamilton图都是它的子图)。 显然,G不是完全图。

  10. 设u,v是G中不相邻的两点,于是,G∪{uv}是Hamilton图,且其中设u,v是G中不相邻的两点,于是,G∪{uv}是Hamilton图,且其中 每条Hamilton回路都要通过边uv。 因此,G中有起点为u,终点为v的Hamilton路: (v1,v2, … ,v-1, v) 其中v1=u, v=v。令 S={vi|v1vi+1L(G)},T={vi|vivL(G)}。 于是,S∩T=。否则,设 vjS∩T。于是, (v1,v2,…,vj,v,v-1, …, vj+1,v1) 是G中一条Hamilton回路,且此回路不通过边v1v (即uv),矛盾。

  11. 因为 v  S∪T,故|S∪T|  (其中|S∪T|表示的S∪T元数)。 于是, d(u)+d(v) = |S|+|T| = |S∪T|   故d(u),d(v)中至少有一个小于 /2,这与  /2矛盾。故G是Hamilton图。定理4.4.2 只是一个充分性条件,它可以用于判定某些图是Hamilton图,但不是所有的Hamilton图都可以用它来判断。

  12. 图1 图2 图3 C A B 例如,它无法用于图2,图3, 虽然图2和图3是Hamilton图。

  13. 引理1 设G是有限图,u, v是G 中不相邻的两点,并且满足: d(u)+d(v)  。 则G是Hamilton图的充要条件是 G∪{uv}是Hamilton图。 证明:必要性显然。 充分性 若G∪{uv}是Hamilton图,而G不是,仿照定理4.4.2的证明,得到d(u)+d(v)  ,矛盾。

  14. 定义4.4.3 设G是有限图。反 复连接G中不相邻的并且其度之 和不小于  的点对,直到没有 这样的点对为止。最后所得的 图称为G的闭合图,记为C(G)。 例如,下图是一个求闭合图的 过程。

  15. 引理2 有限图G的闭合图C(G) 是唯一确定的。 证明:设G1,G2是G的两个闭合图。 {l1, … , lm},{f1, … ,fn} 分别是加入G中得到G1,G2的边 序列。 往证:liL(G2) (i=1, … , m),fjL(G1) (j=1, … , n)。 若不然,设lk+1(设其两端点为u, v)是第一条(从左向右看)属于{l1, … , lm}而不属于L(G2)的边。令

  16. H=G∪{l1, … , lk} 因为 dH(u)+dH(v)   , 而H是G2的子图,所以 dG2(u)+dG2(v)   而u, v在G2中不相邻 (注意:uvL(G2)), 故上式与G2的定义矛盾。故所有的li (i=1, … , m)都在L(G2)中。 同理可证,所有的fj (j=1, … , n)都在L(G1)中。 因此,G1= G2。

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