Συστήματα Συντεταγμένων

1. 1,5 +3 Συστήματα Συντεταγμένων Στη γενική περίπτωση μπορούμε να ορίσουμε άπειρα συστήματα συντεταγ-μένων τα οποία να μας επιτρέπουν να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου. Στη Φυσική χρησιμοποιούνται αρκετά. Τα βασικά από αυτά θα εξετάσουμε εδώ. Θα εξετάσουμε τα συστήματα ανάλογα με τις διαστάσεις του προβλήματος ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ x Ορίζουμε τον άξονα +  0 Ορίζουμε την αρχή Προσανατολίζουμε (+/) Κάθε σημείο προσδιορίζεται μονοσήμαντα Μονάδα μέτρησης π.χ. m

2. yA xA ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Καρτεσιανό Σύστημα y Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονεςxA, yA 0 x Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από ζεύγος τιμών x, y.

3. ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Το σχεδιάζουμε μαζί με το καρτεσιανό για να καταλάβουμε τη σχέση μεταξύ τους Πολικό Σύστημα y Για να προσδιορίσουμε τη θέση του σημείου Α πρέπει να χρησιμοποι- ήσουμε και πάλι ένα ζεύγος τιμών. Α ρ Την απόσταση από την αρχή των αξόνων ρ φ 0 x Τη γωνία φ που μετριέται από το θετικό ημιάξονα αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από ζεύγος τιμών ρ, φ.

4. Σχέση μεταξύ Πολικών και Καρτεσιανών συντεταγμένων Γεωμετρικά εύκολα βρίσκουμε ότι y Α y ρ Συμβολισμοί που θα χρησιμοποιούμε φ 0 x x

5. ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ z zA Καρτεσιανό Σύστημα (δεξιόστροφο) Τρεις κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες Α yA Έστω σημείο Α στο χώρο y 0 Η θέση του προσδιορίζεται αν φέρουμε την προβολή του Α΄στο xyεπίπεδο και βρούμε Τις xΑ , yΑκαι την προβολή του zΑ στον zάξονα. xA Α΄ x Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη x, y, z.

6. ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ z zA Κυλινδρικό Σύστημα Ουσιαστικά πρόκειται για Το πολικό σύστημα στο Επίπεδο (π.χ. το x,y) Α Με την προσθήκη ενός άξονα (π.χ.) του z) 0 y Έστω σημείο Α στο χώρο ρΑ Η θέση του προσδιορίζεται αν φέρουμε την προβολή του Α΄στο xyεπίπεδο και βρούμε τις ρΑ, φΑκαι την προβολή του zΑστον zάξονα. φΑ Α΄ x Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη ρ, φ, z.

7. ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Σχέση συντεταγμένων Κυλινδρικού και Καρτεσιανού Συστήματος z Από το σχήμα, αλλά και από τις σχέσεις τις οποίες βρήκαμε για το πολικό σύστημα στο επίπεδο έχουμε: z Α 0 y ρ φ Α΄ x

8. ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Γιατί λέγεται το σύστημα Κυλινδρικό; Εάν διατηρήσουμε σταθερό το ρ, ενώ θα μεταβάλλουμε το φ και το zσχηματίζεται κύλινδρος z z Α Το σύστημα χρησιμοποιείται σε προβλήματα με κυλινδρική συμμετρία, π.χ. μαγνητικό πεδίο ρευματοφόρου αγωγού. 0 y x

9. ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ z Σφαιρικό Σύστημα Η θέση του Α προσδιορίζεται από τα εξής μεγέθη: Α θΑ Την απόσταση rΑαπό την αρχή rΑ Την γωνία φΑ που ορίζεται όπως και η πολική. y 0 φΑ Την γωνία θΑ που μετριέται πάντα από το θετικό ημιάξονα z Α΄ x Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη r, θ, φ.

10. ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Σχέση μεταξύ Σφαιρικών και Καρτεσιανών συντεταγμένων Από το σχήμα εύκολα παίρνουμε: z Ρ Α θ r Τελικά: θ y 0 φ Α΄ x

11. ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Γιατί λέγεται το σύστημα Σφαιρικό; Εάν διατηρήσουμε σταθερό το r, ενώ θα μεταβάλλουμε το φ και τοθ σχηματίζεται σφαίρα z r 0 Το σύστημα χρησιμοποιείται σε προβλήματα με σφαιρική συμμετρία, π.χ. βαρυντικό πεδίο Της Γης. y x

12. Όπου οι συνιστώσες του διανύσματος Είναι γνωστό ότι πολλά φυσικά μεγέθη θεωρούνται διανυσματικά (π.χ. Δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα κ.τ.λ) Συμβολισμός του διανύσματος: Συμβολισμός του μέτρου του διανύσματος: z Στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (όπως θα μάθουμε και σε όλα τα συστήματα συντεταγμένων) μπορούμε να ορίσουμε ένα σύστημα μοναδιαίων διανυσμάτων: y ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ х Τότε ένα διάνυσμα μπορούμε να το γράψουμε με τη βοήθειά τους

13. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ θ Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

14. ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ φ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διάνυσμα, κάθετο και στα δύο διανύσματα

15. ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ φ

16. ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

17. =εμβαδόν παραλληλογράμμου ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ h S h φ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

18. Ξέρουμε ότι Αν σύμφωνα με όσα είπαμε προηγουμένως παριστάναμε τα 2 επίπεδα με 2 διανύ- σματα , τότε είναι κατανοητό, πως το θα ήταν η προβολή του στον άξονα z(ΒΟΛΙΚΟ). Μήπως θα ήταν σκόπιμο να παριστάνουμε ΚΑΘΕ επίπεδο με διάνυσμα; Ας υποθέσουμε ότι έχουμε το επίπεδο Sστο χώρο. Βρίσκουμε την προβολή του S΄στο επίπεδο xy. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΟΜΕΝΩΣ: ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΠΟΡΟΎΜΕ ΝΑ ΤΟ ΠΑΡΑΣΤΗΣΟΥΜΕ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

19. ΔSi S Διανύσματα είναι μόνο τα επίπεδα; ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΣ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ; Έστω τυχαία επιφάνεια Sστο χώρο. Τη χωρίζουμε σε πολύ μικρές επιφάνειες ΔSi. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΜΙΑΣ ΚΛΕΙΣΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΜΗΔΕΝ

20. y y =f(x) φ φ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ x x1 x1+Δх x1+Δх Ταχύτητα Επιτάχυνση Θερμοχωρητικότητα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Δy φ Δy Δx Δx ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Ο στιγμιαίος «ρυθμός» μεταβολής ενός μεγέθους σε σχέση με κάποιο άλλο (όχι απαραίτητα το χρόνο). Συμβολισμοί:

21. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ Έστω μια ανεξάρτητη μεταβλητή x. Έστω Δх μια μεταβολή της x. Αν Δх 0 χρησιμοποιούμε το συμβολισμό dx και ονομά-ζουμε το dxδιαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής x. ΕΡΩΤΗΜΑ Εάν έχω συνάρτηση y=f(x)και η ανεξάρτητη μεταβλητή x μεταβληθεί κατά dx, πόσο θα μεταβληθεί η y; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Βλέπουμε ότι αν το xμεταβληθεί κατά Δx, τότε θα έχουμε: φ Και για Δх 0

22. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω συνάρτηση y=f(x) Τότε y΄=f(x+Δx) Με τι ισούται η διαφορά Δy=y΄y=f(x+Δx) f(x); Αποδεικνύεται ότι Δy=ΑΔx+ο(Δx) όπου Α=Α(x) (δεν εξαρ-τάται από το x) καιο(Δx)συνάρτηση του Δxδύνα-μης μεγαλύτερης της 1ης ΓιαΔx0 Για Δx0A=(dy/dx) και ο(Δx) 0

23. Ο γενικός τύπος μας επιτρέπει να θεωρούμε την παράγωγο ως λόγο. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ 0 ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ dr Έστω κύκλος ακτίνας r. Πόσο θα αυξηθεί το εμβαδόν του, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ; r Συμβατική απάντηση: Διαφορικό:

24. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να απαντήσουμε στο ερώτημα, πόσο θα αυξηθεί ο όγκος σφαίρας, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ; ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του διαφορικού για μερικές ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ προσεγγίσεις. Από τον γενικό τύπο του διαφορικού μπορούμε να περάσουμε στον προσεγγιστικό

25. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Τον τύπο αυτό μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε με μεγάλη επιτυχία, υπό την προϋπόθεση ότι Δx<<x = ; Παραδείγματα: = ;

26. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ – ΜΕΡΙΚΟΙ ΓΕΝΙΚΟΙ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ ν – ρητός αριθμός Αυτοί οι τύποι είναι μερικές περιπτώσεις της σειράς Taylor

27. Π.χ. Και θέλουμε να δούμε πως μεταβάλλεται το υ όταν μεταβληθεί είτε το sείτε το t. ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Η παράγωγος που ξέρουμε αναφέρεται σε συνάρτηση μιας με-ταβλητής. Τι γίνεται αν έχουμε συνάρτηση πολλών μεταβλητών; Για συνάρτηση f(x, y, z,…) χρησιμοποιούμε την έννοια της μερικής παραγώγου. Παραγωγίζουμε ως προς x, θεωρώντας τις άλλες μεταβλητές σταθερές. Παραγωγίζουμε ως προς y, θεωρώντας τις άλλες μεταβλητές σταθερές.

28. ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Όσον αφορά τη δεύτερη παράγωγο, έχουμε μερικών ειδών: Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών f(x, y, z).

29. Έστω διάνυσμα = Διαφόριση και παραγώγιση διανύσματος Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση Δηλαδή Η παράγωγος διανύσματος είναι διάνυσμα, οι συνιστώσες του οποίου είναι οι παράγωγοι των συνιστωσών του αρχικού διανύσματος

30. Εάν σταθερό (κατά μέτρο και διεύθυνση) Διαφόριση και παραγώγιση διανύσματος ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

31. Α Η στιγμιαία ταχύτητά του θα δίνεται από τη γνωστή σχέση: Όπου η στοιχειώδης μετατόπιση σε χρόνο dt. Το διάνυσμα δείχνει τη θέση του σωματιδίου τη χρονική στιγμή t και ονομάζεται διάνυσμα θέσης. Μετά από χρόνο Δt το διάνυσμα θέσης θα είναι το Βλέπουμε εύκολα, ότι Διάνυσμα θέσης - Ταχύτητα - Επιτάχυνση Έστω σωματίδιο που κινείται στο επίπεδο διαγράφοντας μια συγκεκριμένη τροχιά και τη χρονική στιγμή tβρίσκεται στη θέση Α. Κατανοούμε ότι για

32. Α Επομένως: Θα ισχύει: Διάνυσμα θέσης - Ταχύτητα - Επιτάχυνση Επομένως η στιγμιαία ταχύτητα του σωματιδίου θα είναι: Έστω x, y οι συντεταγμένες του σημείου Α. Τότε θα έχουμε: Εντελώς ανάλογα:

33. Διάνυσμα θέσης - Ταχύτητα - Επιτάχυνση Σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω για την επιτάχυνση (στις 2 διαστάσεις) θα ισχύει: Ενώ για τις 3 διαστάσεις: ΠΡΟΣΟΧΗ!!!Όλα αυτά ισχύουν στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων!

34. Για το πολικό σύστημα συντεταγμένων επομένως πρέπει να ορίσουμε το . Βρείτε, στη γενική περίπτωση, την ταχύτητα (για κίνηση σε 2 διαστάσεις) στο πολικό σύστημα συντεταγμένων ΠΡΟΒΛΗΜΑ! Για ΚΑΘΕ σύστημα συντεταγμένων, για την ταχύτητα θα ισχύει ο γενικός ορισμός Για να το κάνουμε πρέπει να έχουμε τα μοναδιαία διανύσματα του πολικού συστήματος.

35. Το μοναδιαίο διάνυσμα ορίζεται κατά μήκος του ρ και φορά από το Ο προς το Α. 2. Το μοναδιαίο διάνυσμα που αντιστοιχεί στη γωνία φ, το , είναι κάθετο στο και δείχνει τη φορά μέτρησης του φ. Τα μοναδιαία διανύσματα ορίζονται ως εξής: 1. Για σημείο Α φέρουμε την ΟΑ που ορίζει το ρ. Α Ο ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΕΙΝΑΙ ΣΑΦΕΣ, ΠΩΣ ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΞΑΡΤΩΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΜΕ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΠΟΥ ΚΙΝΕΙΤΑΙ, ΘΑ ΕΧΟΥΜΕ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΟΝΑΔΙΑΙΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

36. Α Ο Κατά την παραγώγιση πρέπει να πάρουμε υπόψη μας ότι και το ρ και το είναι μεταβλητά Πρέπει να υπολογίσουμε το Επιστρέφουμε στο πρόβλημά μας Εξετάζουμε και πάλι το σημείο Α, το οποίο περιγράφει τη θέση του σωματιδίου μια τυχαία χρονική στιγμή. Ας εκφράσουμε το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου στις πολικές συντεταγμένες Τότε, σύμφωνα με τα γνωστά για την ταχύτητα θα έχουμε

37. Σχεδιάζουμε τα μοναδιαία διανύσματα και του καρτεσιανού συστήματος στο ίδιο σχήμα Α Ο 1ος ΤΡΟΠΟΣ Σχεδιάζουμε και τα 4 μοναδιαία διανύσματα στους x, y άξονες με κοινή κορυφή το Ο Ο

38. Φέρνουμε τις προβολές του στους άξονες xκαι y. Ο Φέρνουμε τις προβολές του στους άξονες xκαι y. Θα ισχύει: Για να υπολογίσουμε την πρέπει να παραγωγίσουμε την (1) ως προς το χρόνο Τότε, από το σχήμα βλέπουμε ότι ισχύει: Από τη (2) παίρνουμε:

39. Τα μοναδιαία διανύσματα θα είναι τώρα και . 2ος ΤΡΟΠΟΣ Έστω ότι σε χρόνο dtτο σωματίδιό μας μετατοπίσθηκε από τη θέση Α στη θέση Α΄. Α΄ Α Τότε η θέση του θα προσδι-ορίζεται από τις συντεταγμένες ρ΄=ρ+dρ (το dρ μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό) και φ΄=φ+dφ (το ίδιο και το dφ). Ο Σχεδιάζουμε και τα 4 μοναδιαία διανύσματα με κοινή κορυφή.

40. Στην περίπτωση αυτή η μεταβολή του θα είναι . Ενώ η μεταβολή του , . Ξέρουμε ότι . Επειδή το dφ είναι απειροστά μικρό μπορούμε να θεωρήσουμε το τόξο κύκλου ακτίνας 1. Επομένως: Επειδή το dφείναι απειροστά μικρό μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το είναι ταυτόχρονα κομμάτι της εφαπτομένης, δηλαδή είναι κάθετο στο . Επομένως θα είναι παράλληλο προς το . ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΧΝΑΜΕ ΟΤΙ ΑΥΤΕΣ ΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΚΑΙ ΤΟ dφ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ ΜΙΚΡΕΣ

41. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης Δηλαδή αν ισχύει Όπου Cσταθερά. Θα έχουμε Στη Φυσική η σταθερά Cυπολογίζεται από κάποιες συνθήκες (αρχικές ή ενδιάμεσες) του προβλήματος. Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα χρησιμοποιούμε κάποια μέθοδο ολοκλήρωσης ΑΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

42. y y=f(x) f(xi) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ a x xi b Δxi ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω συνάρτηση y=f(x)με πεδίο ορισμού ax b. Χωρίζουμε το πεδίο ορισμού σε πολλά μικρά τμήματα Δxi το κέντρο των οποίων είναι το xi. Εάν από το xi και με βάση το Δxiφέρουμε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα με ύψος το f(xi)θα έχουμε: Όπου Ν το πλήθος των Δxiστα οποία χωρίσαμε το διάστημα abκαι S΄εμβαδόν που διαφέρει λίγο από το εμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της f(x)και του άξονα x.

43. y y=f(x) f(xi) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ a x xi b Δxi ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εάν τώρα Ν είτε (πράγμα που είναι το ίδιο) Δxi0 είναι προφανές ότι το εμβαδόν θα είναι ακριβώς ίσο με το εμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της f(x)και του άξονα x. Τότε γράφουμε: Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ΑΘΡΟΙΣΜΑ Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΡΟΣΟΧΗ Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΟΝΟ ΑΝ f(x)>=0

44. z y ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ x ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα Φυσικής ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Ο γενικός τύπος για το διάνυσμα θέσης του ΚΜ στην περίπτωση που έχουμε σημειακές (διάκριτες) μάζες είναι: CM mi Αυτή η σχέση είναι στην πραγματικό-τητα 3 σχέσεις

45. z ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ y x ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα Φυσικής ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Στην περίπτωση συνεχούς κατανομής της μάζας το άθροισμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα. CM dm Μ

46. ri ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ mi O ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα Φυσικής ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Στην περίπτωση σημειακών μαζών (διάκριτη κατανομή μάζας) η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα Ο δίνεται από τη σχέση: όπου miη μάζα κάθε σωματιδίου και riη απόστασή του από τον άξονα Ο.

47. r dm ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ O ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα Φυσικής ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Στην περίπτωση συνεχούς κατανομής της μάζας το άθροισμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα και συνεπώς η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα Ο δίνεται από τη σχέση:

48. Ας υποθέσουμε ότι δύναμη μετακινεί σώμα στο επίπεδο κατά μήκος της καμπύλης L. ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ L Τότε μπορούμε να μιλάμε για στοιχειώδες έργο που θα είναι Στη γενική περίπτωση, το ολικό έργο εξαρτάται από την τροχιά που ακολουθεί το σώμα (π.χ. τριβή), δηλαδή από την L. Για να το υπολογίσουμε πρέπει να αθροίσουμε όλα τα στοιχειώδη έργα (δηλαδή να ολοκληρώσουμε) ακολουθώντας την τροχιά L. Αυτό ακριβώς το ολοκλήρωμα λέγεται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

49. ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ξέρουμε ήδη ότι: Επομένως για το έργο θα έχουμε: Ας υποθέσουμε τώρα ότι: Ξέρουμε επίσης ότι: Επομένως: Άρα: Δηλαδή το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε άθροισμα απλών, στα οποία το Lχρησιμοποιείται για να εκφράσουμε το x συναρτήσει του y ή αντίστροφα.

50. Μερικά συμπληρωματικά Στην περίπτωση που η δύναμη είναι συντηρητική υπάρχει δυναμική ενέργεια για την οποία ξέρουμε ότι: Όπως είπαμε, το έργο δύναμης είναι: ΒΑΘΜΙΔΑ Επομένως, σ’ αυτή την περίπτωση: Η εξίσωση αυτή μας επιτρέπει, αν ξέρουμε τη δύναμη, να υπολογίσουμε τη δυναμική ενέργεια. Πως όμως μπορούμε να τη λύσουμε, έτσι ώστε, αν ξέρουμε τη δυναμική ενέργεια, να υπολογίσουμε τη δύναμη; Ας εξετάσουμε το πρόβλημα στη γενική περίπτωση. Έστω ότι, από τη σχέση: Θέλουμε να υπολογίσουμε το