第二十三讲

1. 吉林大学远程教育 大学文科数学 （微积分学） 第二十三讲 主讲：杨荣副教授

2. 证 先用反证法证明g(b) － g(a)≠0，若不然，即有g(b) = g(a). 则由罗尔定理知，至少存在一点x0∈ (a,b)，使得 ，此与条 件(3)矛盾，故有g(b) － g(a)≠0。 3.3 柯西定理 作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理： 定理5 设函数 f (x) 和 g(x) 满足条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； 则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

3. 显然F (x)满足罗尔定理的三个条件，因此，在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得 ，即 为证明等式成立，我们作辅助函数 即 注 容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当 g (x) = x时的 一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则。 例49设 0 < a < b，证明至少存在一点ξ∈ (a,b) ，使得 blna－alnb=(b－a)(lnξ－1).

4. (2)在点a的去心邻域内可导，即 存在，且 (3)极限 存在（或为无穷大）. 3.4 洛必达法则 在前一章介绍极限时，我们计算过两个无穷小量以及两个无穷 大量之比的极限。在那里我们都是具体问题具体分析，属于特定方 法，无一般法则可循，这里我们将用导数为工具，给出计算极限 的 一般方法即洛必达法则。 定理6 如果函数 f (x) 和 g(x)满足： 则

5. 注1 本定理的意义是：当满足定理的条件时， 型不定式 的极限可以化为导数之比 的极限。 证 我们在点 x = a 处补充定义函数值 f (a) = g (a) = 0 则 f (x) 与 g(x)在点 a 处连续。设 x为此邻域内任意一点，若 x > a ， (或 x < a )，则在区间[a, x] (或[x, a ]) 上， f (x) 和 g(x)满足柯西定理 的全部条件，因此有

6. 注2 如果 时， 仍为 型不定式，并且 和 像 f (x) 与 g(x)一样满足定理的条件，则可继续使用洛必达法则，即 注3 如果把定理中的a换为∞，其他条件不变，那么定理仍然 成立，即 用洛必达法则很容易验证第一个重要极限。

7. 式 当 时不是 型。如错误地再使用洛必达法则，则 将得到错误的结果： 运用洛必达法则计算 型不定式时，应逐步考察是否为 ，如 果不是，则不能继续使用该法则，否则会导郅错误。例如上例中比

8. 谢谢！