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第二篇 电学总论 第一章静止电荷的电场

第二篇 电学总论 第一章静止电荷的电场. 8 、 两个质量都是 m ,电量都是 +q 的小球,各用长 为 l 的细线挂在同一点上,设平衡时两线的夹角为 2  很小,试证明下列等式近似成立. 式中 x 为两球平衡时的距离。 ( 1 )如果 l =1.20 m , m =10 g , x =5.0cm ,则没球上 的电量 q 是多少? ( 2 )如果每球以 1.0 10 9 库仑 / 秒的速度失去电量, 求两球彼此趋近的瞬间相对速率 是多少?. 解:小球受力图如图所示,当小球平衡时. . . 由于  很小 ,. T. F. x.

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第二篇 电学总论 第一章静止电荷的电场

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  1. 第二篇 电学总论 第一章静止电荷的电场 8、两个质量都是m,电量都是+q的小球,各用长 为l的细线挂在同一点上,设平衡时两线的夹角为 2很小,试证明下列等式近似成立 式中x为两球平衡时的距离。 (1)如果l=1.20m,m=10g,x=5.0cm,则没球上 的电量q是多少? (2)如果每球以1.0109库仑/秒的速度失去电量, 求两球彼此趋近的瞬间相对速率 是多少?

  2. 解:小球受力图如图所示,当小球平衡时   由于 很小, T F x mg (1)由上式可得

  3. (2) 显然v与x有关,它是一个变量。当x=5.0cm时

  4. 9、在长l=15cm的直导线AB(见图),均匀的分 布着线密度=510-9库仑/米的电荷,求: (1)在导线延长线上BP=R=5cm处P点的场强; (2)在AB垂直平分线上与导线中点相距R’=5cm 的Q点的场强。 解: (1)在AB上任取一电荷元dq= dx,它在 P点产生的场强dE,方向如图(a)所示。 dq dx dq= dx A B P dE = = 40x2 40x2 dE x (a) 由于各电荷元在P点产生的场强dE 方向相同,

  5. 则E的矢量积分简化为标量积分。 R+l 1 dx  1 - ( E= dE=  = ) 40x2 40 R R+l q R =6.75102 V m-1 E方向沿导线向右。 (2)在AB上任取一电荷元dq,它在Q点产生的场强dE如图(b)所示, dq dx dE dE, dE= = 40r2 40(x+ R’)2 Q  r r, R’ dq, dq (b) X

  6. 由于电荷分布对Q点具有对称性,图(b)中 dq,电荷所产生场强dE,与 dE的x方向分量相互 抵消。 R,dx l/2 E=Ey =  dEy=  dEcos = 2  q q 40(x+ R’)3/2 0 l/2  R, x = 40 R’ (x+ R’)1/2 0 =1.50103Vm-1

  7. 10、用细的绝缘棒弯成半径为R的圆弧,圆心角 为0,电量q均匀的分布在圆弧上,试求圆心O点 处的场强。(见图) 解:如图所示,在圆弧上任取一电荷元dq,它在 O点所产生的场强为dE,其中, dq=dl= Y dq q O 0 dl  R 0 X 由于电荷分布具有对称性,若取如图所示 的坐标轴,显然,Ey=0,则

  8. 0 qsin 2 E=Ex=dEx= dEcos= 20 0R2 q q 11、一均匀带电圆盘,半径为R,电荷面密度为 ,求圆盘轴线上与盘心相距为x的P点的电场强 度,并讨论: (1)当R∞时;(2) x>>R时,P点的 电场强度.  d dE x 0 x r dq

  9. 解: 把圆盘视作一系列半径不同的同心圆环的集合.取如图所示的环电荷dq,显然dq= 2 d,它在P点所产生的场强 dE = xd xdq = 40r3 20(x2+2)3/2 方向沿着轴线.由于各环电流产生的dE方向相同, 则P点的场强为: d  x R x E= dE= (1- )  = 20 20 (x2+2)3/2 q 0 (x2+R2)1/2

  10. R R R R 1 1 1 ( )2 ( )2 ( )2 x x x x 2 2 2  讨论: (1)当R∞时, E= 20 此时圆盘相当于无限大的均匀带电板 (2) 当x>>R时,  1 {1- } E= R 20 [1+( )2]1/2 x 由于[1+( )2]-1/2=1- R 3 + ( )4 … x 8 ≈1- q  R2 E= {1-[1- ]}= = 20 40x2 40x2 此时圆盘电荷相当于一个点电荷.

  11. q E·dS = 0 s 1 1 (2Rl) (2Rl) E·d S= 0 0 s 12、一无限长均匀带电圆柱面,其半径为R,电 荷面密度为+,试求:与轴线相距为r处的点的 场强,并画出E~r关系图。 解:过离轴线为r处的一点,做高度为l,半径为r 的同轴封闭圆柱面为高斯面。(图a) 高斯定理为: R 对于柱外的点: l r 即 E 2 rl= R (a) E= r>R 0r

  12. E·d S= s 对柱内的点 0 E = 0 R r E~r关系图如图(b)所示。 E r 0 R (b)

  13. E0 O Q孔 R2 13、用不导电的细塑料棒弯成半径为50.0cm的圆 弧,两端间留有2.0cm的孔隙,电量为3.1210-9C 的正电荷均匀分布在棒上,求圆心处场强的大小 和方向。 解:有补偿法可知:E0=E圆+E空=E空 设孔隙长为a,显然aR,所以孔隙 上的假象电荷可以看成为电电荷。 aq a E0=E孔= k =k =k 2R3 R2 =0.72Vm-1 方向如图所示。

  14. 14、如图所示,一个捕蝶网在均匀电场E中,网 面积为S,网口是半径为R的圆,E与网口平面成 600角。求:穿过网的电通量。 解:蝶网与网口所构成的闭合曲面内无电荷, E 由高斯定理得 R S n  0 = 网+口 E·dS = s 3 R2E 网= - 口= -E ·S = -EScos= - 2

  15. Em =k R2 Em R2 Qm= = 3.310-4C k 15、处于空气中半径为1.0m的球形导体,能够带 有的最大电量是多少库仑?能达到的最高电势是 多少伏特?已知空气的击穿场强为3.0106 Vm-1 解: (1) 设导体球所带最大电量为Qm,空气 击穿电场为Em。 1 ,所以导体表面附近先击穿,此时 E∝ r2 Qm Qm =3.0 106 V (2)Um=k R

  16. q E·dS = 0 s 16、(1)一点电荷q位于一边长为a的立方体中心, 试问通过立方体一个面的电通量是多少? (2)如果把这电荷移到立方体的一个角顶上,这 时通过立方体每一个面的通量各是多少? 解: (1)点电荷q位于立方体中心时,通过立方 体每一面的电通量都相等,所以通过每一面的通 量为总通量的1/6。 由高斯定理可得到总通量为  q 所以通过每一面的通量l1= 6 0

  17. S1 q S3 q S2 E·dS = 0 s (a) (2)当电荷移到立方体的一个顶角时,则组成电 荷所在处顶角的三个面S1,S2和S3上各点处的E平 行与该面。(图a) S1=S2=S3=  E·dS = 0 s 对立方体的另外三个面S4,S5和S6面通量相等,若 把该立方体处于另外七个同样的立方体之中,q电 荷位于8个立方体所组成的大立方体的中心 ,显然 对大立方体的所构成的高斯面有 

  18. q (b) 则通过原小立方体的S4,S5和S6面的通量分别等于 总通量的1/24。 q S4=S5=S6= 24 0

  19. E = k R2 17、靠近地球表面的场强为130 N C-1,方向向下, 若此电场由地球的电荷产生,问地球的电荷是多 少? Q 解: kR2 E -130(6.4 106)2 Q = = 9109 =-5.9 105C

  20. E = 2 0 EA EA EA EB EB EB 18、如图所示,两块很大的平行平板A和B,都均 匀带电,其电荷面密度分别为+A和+B,试求下 列各处的场强。(1)两板之间,(2)两板左侧, (3)两板右侧。 A B 解:由题意可知,A、B两板在空间 产生的场强分别如图所示。由于无 限大带电平板所产生的场强大小为 若取向右为正方向,则 (1)两板之间的场强为:

  21. 1 1 1 2 0 2 0 2 0 ( A-B) E中= EA –EB = A B,则向右;反之向左。 ( A+B) (2) E左= -EA -EB =- ( A+B) (3) E右= EA +EB =

  22. 0 19、若上题中A=-B时,上述各处的场强又如何? 解:若A=-B= 时, (1) E中= (2)、(3) E左= E右= 0 此时场强只存在于两板之间,两板外侧的场强 为零。这种情况,相当于充了电的电容器。

  23. 20 一层厚度为0.5cm的无限大均匀带电板,其电荷体密度为1.0×10-4Cm-3,求:(1)平板中央的电场强度。(2)平板内与其表面相距为0.1cm处的电场强度(3)平板外电场强度 . A . B S2 S1 d1 △S1 △S2 解: 1)∵ 对称分布 ∴ E=0 2)过板内考察点A,作图示封闭的柱面S1为高斯面,则由高斯定理 ∴ 方向垂直板面指向外

  24. . A . B S2 S1 d1 △S1 △S2 3)同样过板内考察点B,作封闭的柱面S2 方向与 2)相同

  25. q2 q3 E4 E1 O E3 E2 q1 q4 21 点电荷q1 q2 q3 q4 ,电量均为4×10-9C,分别位于正方形的四个顶点上,距正方形中心O点为5cm,试求:1)O点的场强和电势。2)将电量q0=10-9C的点电荷从无穷远处移到O点,电场力所作的功。3)在这一过程中电势能改变了多少? 解:四个电荷在点产生场强如图所示

  26. 22 在直角三角形ABC的顶点A和B上,分别有q1= 1.8× 10-9C 和 q2=-4.8×10-9C的点电荷BC=0.04m , AC=0.03m 试求:1)C点的场强 2)C点的电势 A +q1 B C -q2 θ E1 E E2 解:1) q1和q2所产生的场强分别为E1和E2 合场强为

  27. A +q1 B C -q2 θ E1 E E2 2)

  28. r1 Rˊ x dq P r 23 长为15cm的直导线AB,均匀分布着线密度λ= 5×10-9Cm-1的电荷,求:1)在导线延长线上BP=R=5cm处P点的电势。2)在AB的垂直平分线上与导线中点相距Rˊ= 5cm的Q点的电势。 解: Q

  29. 24 由上题所求得的电势表示式,用电势梯度计算P点与Q点的电场强度 解:设棒长为,则上题中对棒延长线上的一点的电势表示式为: 棒垂直分线上一点的电势表示式为:

  30. 25 电荷Q均匀分布在半径为R的球体内,试计算:1)球内一点的电势。2)球外一点的电势。 A r o rˊ S 解:对球内一点,由高斯定理 球外一点的场强 由电势定义式可得

  31. p r x R O dα 26 一半径为R,电量为Q的均匀带电圆盘,求圆盘轴线上与盘心相距为x的P点的电势 解:如图所示,取电荷元dq

  32. 27 若有一电场,其电势表示式为 式中a和b为恒量,求空间任 一点的电场强度。 解:

  33. 28 已知电势U—x 的关系如图所示。试求各区间的E,并作E—x关系图 U(伏) b c 12 6 d a e h X(米) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 g f E(伏/米) 6 3 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 X(米) -3

  34. 解:由图U—x可见, U与x有线性关系 在a-b 区间 同理 b-c 区间 c-e 区间 e-f 区间 f-g 区间 g-h 区间

  35. 29 一电子在静电场中经加速电压加速,试问: 1)若电子质量与速度无关,把静止电子加速到光速要多高的电压?2)若考虑相对论效应,静止电子经过上述电压加速后的速度多大? 解:1)由动能定理可得: 2)若考虑相对论效应

  36. r A q1 q2 . . . q R 32 如图所示,一个原来不带电的金属球内挖一任意的空腔,腔内放置一电荷为+q的点电荷。1)画出金属球上的感应电荷的大致分布;2)画出金属球外的电场分布;3)如何求得感应电荷在球心处所产生的电场强度? 解:A球外表面有感应电荷q1+ q2,两空腔表面分别有感应电荷-q1和-q2 由于q1 电荷受它所在空腔表面的感应电荷的合力为零, 且由于静电屏蔽,它不受空腔外部其他电荷作用所受合力为零。

  37. r A q1 q2 . . . q R 同理q2电荷所受合力也为零 电荷q只受A球外表面的感应电荷作用。当r >>R时,感应电荷均匀分布 q所受作用力为:

  38. B P A r R1 R2 36 半径为0.10m的金属球A带电q=1.0 × 10-8C ,把一个原来不带电的半径为0.2m的薄金属球壳B同心罩在A球外面。求:1)在离球心距离为0.15m处P点的电势;2)若把A和B用导线相联接,此时P点的电势。 解:1) 2)此时电荷全分布在B球外表面

  39. 37 半径为r1和r2 (r1<r2)的两相互绝缘的同心导体球壳,现令内球带上+q电荷 问:1)外球的电荷分布及电势;2)把外球接地后,外球的电荷及电势;3)拆去外球的接地线后,再使内球接地,此时内、外球的电荷及它们的电势各为多少? 解:1)外球内表面电荷为-q ,外表面为+q, 其电势为: 2)此时内表面仍有电荷-q,而外表面无电荷

  40. 3)设此时内球上带电q ˊ由于接地,内球电势 又因为 则

  41. 38 有直径为16cm和19cm的两导体薄球壳同心放置,此时内球电势为2700V,外球电荷为8.0 × 10-9C ,现把内球与外球相接触,问此时两球的电势各变化多少? 解:设未接触前内球电势为U1,电荷为q1,外球电势为U2,电荷为q2,显然 由此可得:

  42. 接触后,两球为等电势体,且电荷全分布在外球表面上,其电势为:接触后,两球为等电势体,且电荷全分布在外球表面上,其电势为: 内球电势降低了。

  43. 39 把半径R1=1.0cm, q1=1.0 × 10-10C的实心导体球与一半径为 R2=3.0cm , R3=4.0cm , Q=11× 10-10C的导体球壳同心,试问:1)两球上的电荷分布;2)两球的电势U1和U2各为多少?3)若把实心导体球换成同样大小的导体球壳,对球内同一点(r<r1)的电场强度及电势有无影响?为什么? 解:1)实心球表面电荷为q1=1.0 × 10-10C,均匀分布球壳内表面电荷为-q1=-1.0 × 10-10C,外表面为Q+ q1=12 × 10-10C,都均匀分布在表面上。

  44. 2)内球电势为 外球电势为 3)无影响

  45. 40 三块平行金属板A、B、C面积为200cm2,A、B相距4.0mm,A、C相距2.0mm,B和C都接地。如果使A板带上q=3.0 × 10-7C的电荷,试求:1)B、C两板上的感应电荷;2)A板的电势。 C A B 4mm q1 q2 解:1)设A板上电荷均匀分布于左、右表面的电荷分别为q1和q2,则B、C两板上的感应电荷分别为-q1和-q2,且 2mm 由题意可知:

  46. ∵平板间场强为 代入式 可得: 2)

  47. 41 如果把地球看作一半径为6.4 × 106m的导体球,试计算其电容;如果空气的击穿场强为3.0× 10-6Vm-1,则地球所能携带的最大电荷为多少?电荷面密度等于多少? 解:

  48. 42 一平板电容器充电后拆去电源,使两板间距离增大一倍,试问电容器的电容两板间的电场强度和电势差各作如何变化?如果不拆去电源,情况又如何? 解:充电后拆去电源,其极板上电量不变 不变 减小一半 增大一倍 若不拆电源,则两板间U=U0不变 减小一半 减小一半

  49. 43 平板电容器两极板上接上电源,并维持其电压不变,把介电常数为εr的电介质填满极板之间,问极板上的电荷和极板间的电场强度各作何变化?如果电容器充电以后切断电源,再填满物质,情况又如何? 解:∵ U不变,而 增大εr倍 不变 切断电源后,∵Q不变 而 减小εr倍

  50. d1 ε1 ε2 d2 44 平板电容器极板面积为S,间距为d,中间有两层厚度各为d1和d2(d= d1 + d2),介电常数为ε1和ε2的电介质,试计算其电容。 解:设极板带电为q,则两板间电势差为

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