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第 8 章 图与网络分析

第 8 章 图与网络分析. 教学内容：图与网络的基本知识、最短路问题、最大流问题。 教学重点：图与网络、最小树、最短路问题及算法、最大流问题及算法。. 七桥问题 哈密尔顿回路 中国邮路问题 图论的第一本专著是匈牙利数学家 O.Konig 写的 “ 有限图与无限图的理论 ” ，发表于 1936 年。从 1736 年欧拉的第一篇论文到这本专著，前后经历了 200 年之久 , 欧拉被公认为图论的创始人. 第一节 图与网络基本知识. 一条边的两个端点如果相同，称此边为环（自回路）。 两个点之间多于一条边的称为多重边。

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第 8 章 图与网络分析

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  1. 第8章 图与网络分析 教学内容：图与网络的基本知识、最短路问题、最大流问题。 教学重点：图与网络、最小树、最短路问题及算法、最大流问题及算法。

  2. 七桥问题 • 哈密尔顿回路 • 中国邮路问题 图论的第一本专著是匈牙利数学家O.Konig写的“有限图与无限图的理论”，发表于1936年。从1736年欧拉的第一篇论文到这本专著，前后经历了200 年之久,欧拉被公认为图论的创始人.

  3. 第一节 图与网络基本知识

  4. 一条边的两个端点如果相同，称此边为环（自回路）。一条边的两个端点如果相同，称此边为环（自回路）。 • 两个点之间多于一条边的称为多重边。 • 定义2 不含环和多重边的图称为简单图，含有多重边的图称为多重图。 以后我们讨论的图，如不特别说明，都是简单图.

  5. 定义5 以点v为端点的边数叫做v的次，记作deg(v)，简记为d(v)。 • 定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。 • 定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。

  6. 点或边带有某种数量指标的图称为网络。

  7. 对于有向图可以类似于无向图定义链和圈，初等链、圈，此时不考虑边的方向，而当链（圈）上的边方向相同时，称为道路（回路）。对于有向图可以类似于无向图定义链和圈，初等链、圈，此时不考虑边的方向，而当链（圈）上的边方向相同时，称为道路（回路）。 • 定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相连，则称此图为连通图。任何一人不连通图都可以分为若干个连通子图，每一个称为原图的一个分图。

  8. 图的矩阵表示

  9. 欧拉回路与中国邮路问题 • 定义13 连通图G中，若存在一条通路，经过每边一次且仅一次，则称这条道路欧拉道路。若存在一条回路，经过每边一次且一次，则称这条回路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图。在引言中提到的哥斯堡七桥问题就是要在图中寻找一条欧拉回路。 • 定理3无向连通图G是欧拉图，当且仅当G中无奇点。

  10. 推论1 无向连通图G为欧拉图，当且仅当G的边集可划分为若干个初等回路。 • 推论2 无向连通图G为欧拉道路，当且仅当G中有两个奇点。

  11. 定理4 连通有向图G是欧拉图，当且仅当它每个顶点的出次等于入次。 • 中国邮路问题：一个邮递员，负责某一地区的信件投递。他每天要从邮局出发，走遍该地区所有街道再返回邮局，问应如何安排送信的路线可以使所走的总路最短？ 这个问题是我国管梅谷教授在1962年首先提出的。因此国际上通常称为中国邮路问题。用的图论的语言描述：给定一个连通图G，每边有非负权l(e)，要求一条回路过每边至少一次，且满足总权最小。

  12. 第二节 树 • 树是图论中结构最简单但又十分重要的图，在自然科学和社会科学的许多领域都有广泛的应用。

  13. 定义14 连通且不含圈的无向图称为树。树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点。 定理6 图T=（V，E），|V|=n,|E|=m，则下列关于树的说法是等价的。 • T是一个树。 • T无圈，且m=n-1。 • T连通，且m=n-1。 • T无圈，但每增加一新边即得惟一一个圈。 • T连通，但任舍去一边就不连通。 • T中任意两点，有惟一链相连。

  14. 定义15 若图G的生成子图是一棵树，则称为该树为G的生成树（支撑树），或简称为图G的树。 图G中属于生成树的边称为树枝，不在生成树中的边称为弦。 定理7 图G=（V，E）有生成树的充分必要条件为G是连通图。

  15. 按照边的选法不同，找图中生成树的方法可分为两种：按照边的选法不同，找图中生成树的方法可分为两种： • 深探法 • 广探法

  16. 定义16 连通图G=(V,E),每条边上有非负权L（e）。一棵生成树所有树枝上权的总和，称为这个生成树的权。具有最小权的生成树称为最小生成树（最小生成树）简称最小树。 • Kruskal算法 • 破圈法

  17. 定义17 若一个有向图在不考虑边的方向时是一棵树，则称这个有向图为有向树。 • 定义18 有向树T，恰有一个结点入次为0，其余各点入次均为1，则称T为树根（又称外向树）。

  18. 定义19 在根树中，若每个顶点的出次小于或等于m，称这棵树为m叉树。若每个顶点的出次恰好等于m或零，则称这棵树为完全m叉树。当m=2时，称为二叉树、完全二叉树。

  19. 第三节 最短路问题 最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。许多最优化问题可以使用这个模型，如设备更新、管道铺设、线路安排、厂区布局等。在上一章中我们曾介绍了最短路问题的动态规划解法，但某些最短路问题（如道路不能整齐分段者）构造动态规划方程比较困难，而图论方法则比较有效。

  20. 第四节 最大流问题 • 最大流问题是一类应用极为广泛的问题，例如在交通运输网络中有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中有现金流，通信系统中有信息流，等等

  21. 定义20 设有连通图，G中每条边上有非负数称为边的容量，仅有一个入次为0的点称为发点（源），一个出次为0的点称为收点（汇），其余点为中间点，这样的网络G称为容量网络，常记做G=(V,E,C)。

  22. 例

  23. 最大匹配问题: 考虑工作分配问题。有n个工人，m件工作，每个工作能力不同，各能胜任其中某几项工作。假设每件工作只需一人做，每人只做一件工作，怎样分配才能使尽量多的工作有人做，更多的人有工作？

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