√ 원리를 알면 IT 가 맛있다

1. 이산수학 논리∙명제에서 알고리즘까지 √ 원리를 알면 IT가 맛있다 ehanbit.net

2. Chapter 01. 논리와 명제

3. 학습목표 • 수학적 논리를 통한 명제의 개념 이해 • 명제의 참과 거짓 판별 • 진리표를 이용한 명제의 진리값 구하기 • 다양한 논리연산자를 익히고 새로운 명제 생성 • 논리적 동치를 이용한 명제의 단순화 • 논의영역을 통한 명제함수의 참과 거짓 판별

4. Section 01. 기본 개념 • [정의1] • 명제(proposition) • 참(true) 또는 거짓(false)을 명확히 구분할 수 있는 문장(statement)이나 수학적 식 • 진리값(truth value) • 명제에서 참 또는 거짓으로 나타내는 값

5. 기본 개념(계속) • [예제02] 다음 문장들은 모두 명제다. 진리값을 구하여라. (1) 삼각형의 내각의 합은 360도다. (2) 9는 3의 배수다. (3) x가 정수일 때, x+1=5면 x는 4다. [풀이] (1) 삼각형의 내각의 합은 180도므로 진리값은 거짓(F)이다. (2) 진리값은 참(T)이다. (3) 진리값은 참(T)이다.

6. Section 02. 논리연산자와 진리표 - 부정 • [정의2] • 부정(negation) • 문장 p가 명제일 때 notp • ¬p또는 ~p로 나타냄

7. 논리연산자와 진리표 – 부정(계속) • [예제03] 다음 명제 p 에 대한 부정을 구하여라. p: 지구는 태양계의 행성이다. [풀이] 명제 p의 부정 ¬p는 ‘지구는 태양계의 행성이 아니다’다. • 컴퓨터 비트(bit)의 부정

8. 논리연산자와 진리표 - 논리곱 • [정의3] • 논리곱 (conjunction) • 문장 p와 q가 명제일 때 p and q • p∧q로 나타냄

9. 논리연산자와 진리표 – 논리곱(계속) • [예제05] 명제 p, q 에 대하여 q∧p 의 진리값을 구하여라. [풀이] • [예제06] 명제 p, q 에 대하여 (q∧p) 의 진리값을 구하여라.

10. 논리연산자와 진리표 - 논리합 • [정의4] • 논리합 (disjunction) • 문장 p 와 q가 명제일 때 p or q • p∨q로 나타냄

11. 논리연산자와 진리표 - 논리합(계속) • [예제09] 명제 p, q 에 대하여 (q∨p)∧p의 진리값을 구하여라.

12. 논리연산자와 진리표 – 배타적 논리합 • [정의5] • 배타적 논리합 (exclusive-or) • 문장 p와 q가 명제일 때 p exclusive-or q • p q로 나타냄

13. 논리연산자와 진리표 – 배타적 논리합(계속) • [예제11] 명제 p, q 에 대하여 q p의 진리값을 구하여라.

14. 논리연산자와 진리표 – 배타적 논리합(계속) • [예제12] 컴퓨터 프로그래밍 언어인C는 비트연산자 & (AND 연산), | (OR 연산), ^ (XOR 연산)를 제공한다. C 언어에서 각 비트열(bit string)별로 다음 연산을 수행한 결과를 구하여라. (1) 1010 0110 & 0011 1010 (2) 0101 1100 | 1111 1010 (3) 0101 0110 ^ 1010 1010 [풀이] (1) (2) (3) 1010 0110 & 0011 1010 ----------- 0010 0010 0101 1100 | 1111 1010 ----------- 1111 1110 0101 0110 ^ 1010 1010 ----------- 1111 1100

15. 논리연산자와 진리표 - 함축 • [정의6] • 함축(implication) • 문장 p 와 q가 명제일 때 p implies q • p→q 로 나타냄

16. 논리연산자와 진리표 - 함축(계속) • [예제15] 명제 p, q 가 주어졌을 때 (p→q)∧(q→p) 의 진리표를 구하여라. • [예제16] 명제 p, q 가 주어졌을 때 [(pq)(qr)](pr)의 진리표를 구하여라.

17. 논리연산자와 진리표 - 쌍조건문 • [정의7] • 쌍조건문(biconditional) • 문장 p와 q가 명제일 때 p if and only if q • p↔q로 나타냄

18. 논리연산자와 진리표 - 쌍조건문(계속) • [예제18] 명제 p, q 가 주어졌을 때 (p→q)↔(q↔p)의 진리표를 구하여라. • [예제20] 명제 p, q 가 주어졌을 때 (p→q)↔(p∨q)의 진리표를 구하여라.

19. 논리연산자와 진리표 – 역, 이, 대우 • [정의8] • 역(converse) • 명제 p, q 에 대하여 p→q 일 때 q→p • 이(inverse) • 명제 p, q 에 대하여 p→q 일 때 p→q • 대우(contraposition) • 명제 p, q 에 대하여 p→q 일 때 q→p • 표1-8삽입

20. 논리연산자와 진리표 – 역, 이, 대우(계속) • [예제21] 명제 p, q 가 다음과 같이 주어졌을 때 명제의 함축에 대한 역, 이, 대우를 구하여라. p: 8비트(bit)는 1바이트(byte)다. q: 1킬로바이트(KB)는 1024바이트(byte)다. [풀이] 명제의 역 q→p :만일 1 킬로바이트가 1024 바이트면 8 비트는 1 바이트다. 명제의 이 p→q : 만일 8 비트가 1 바이트가 아니면 1 킬로바이트는 1024 바이트가 아니다. 명제의 대우 q→p :만일 1 킬로바이트가 1024 바이트가 아니면 8 비트는 1 바이트가 아니다.

21. 논리연산자와 진리표 – 역, 이, 대우(계속) • [예제23] 다음 명제의 대우를 구하고 참, 거짓을 판별하여라. 실수 a, b 에 대하여 ax=bx이면 a=b 다 [풀이] 주어진 명제는 p: ax=bx 와 q: a=b 로 구분해 볼 수 있다. 즉, 명제의 함축 p→q 이 된다. 이의 대우 q→p 는 ‘실수 a, b에 대하여 a≠b이면 ax≠bx 다.’ 이며 x=0 일 때 성립하지 않으므로 거짓인 명제다.

22. Section 03. 논리적 동치 • [정의9] • 항진명제(tautology) • 합성명제의 진리값이 항상 참인 명제 • 모순명제(contradiction) • 합성명제의 진리값이 항상 거짓인 명제

23. 논리적 동치(계속) • [예제25] 다음 합성명제의 진리값을 구하여라. (1) (pt)t (2) (tp)(pt) • [예제26] 다음 합성명제의 진리값을 구하여라. (1) [p(pq)]q (2) p(pp)

24. 논리적 동치(계속) • [정의10] • 논리적 동치(logical equivalence) • 합성명제의 진리값이 서로 같은 경우 • pq로 나타냄

25. 논리적 동치 • [예제28] 명제의 논리적 동치법칙 중 대우법칙 pqqp 이 성립함을 증명하여라. • [예제29] 논리적 동치법칙 중 결합법칙이 성립함을 보여라.

26. 논리적 동치(계속) • [예제30] 논리적 동치법칙을 이용하여 다음 명제를 간단히 하여라. (1) (qp) (2) (p→q)(p→q) [풀이] (1) (qp) qp qp (2) (p→q)(p→q)  (pq)(pq) p(qq) pF  p

27. Section 04. 한정기호 - 명제함수 • [정의11] • 명제함수(propositional function) • 논의영역 D 에 포함되는 변수 x 에 대한 문장 P(x) • 논의영역(universe of discourse) • 문장이 명제로 명확하게 구분되기 위해 문장 속의 변수가 속하는 범위

28. 한정기호 – 명제함수(계속) • [예제32] 다음 문장들이 명제함수임을 설명하여라. 여기서 D 는 논의영역을 나타낸다. (1) x2은 짝수다. (D : 양의 정수 집합) (2) 그 동요 가사에는 꽃 이름이 들어간다. (D : 초등학교 음악 교과서) (3) 그 프로그램을 이용하여 압축할 수 있다. (D : 응용 소프트웨어)

29. 한정기호 – 명제함수(계속) [풀이] • 양의 정수 D 에 속하는 x에 대하여 참과 거짓을 구분할 수 있으므로 명제함수다 (2) ‘동요’ 자리에 ‘퐁당퐁당’을 넣으면 거짓이 되지만 ‘무궁화’를 넣으면 참이 되어 참과 거짓을 구분할 수 있으므로 명제함수다. (3) ‘프로그램’ 부분에 ‘윈집(WinZip)’을 넣으면 참이 되지만 ‘나모(namo)’를 넣으면 거짓이 된다. 나모는 웹 에디터(web editor)용 프로그램이다. 그러므로 이 문장 역시 명제함수다.

30. 한정기호 – 명제함수(계속) • [예제33] 명제함수 P(x)를 ‘x2 - 7x + 12 = 0’이라고 했을 때 P(3)과 P(2)의 진리값을 구하여라. [풀이] P(3)= 32 - 73 + 12 = 0 이므로 식이 성립하여 참이고 진리값은 T 다. P(2) = 22 - 72 + 12 = 2  0 이므로 식이 성립하지 않고 진리값은 F 다.

31. 한정기호 – 한정기호 • [정의12] • 전칭기호(universal quantifier) : ∀ • ∀xP(x) : D에 속하는 모든 x 에 대하여 P(x)는 참이다 • [정의13] • 존재기호(universal quantifier) : ∃ • ∃xP(x) : D에 속하는 어떤 x에 대하여 P(x)가 참인 x 가 존재한다

32. 한정기호 – 한정기호(계속) • [예제37] 다음은 전칭기호를 이용하여 표현한 값이다. 문장으로 서술하여라. (1) (∀xP(x)) (2) ∀x∀yP(x, y) [풀이] (1) 모든 x 에 대하여 P(x)가 성립하는 것은 아니다. (2) 모든 x 와 y 에 대하여 P(x, y)가 성립한다.

33. 한정기호 – 한정기호(계속) • [예제39] 다음은 존재기호를 이용하여 표현한 값이다. 문장으로 서술하여라. (1) ∃x(P(x)) (2) ∃x(∀yP(x, y)) [풀이] (1) P(x)가 성립하지 않는 x 가 존재한다. (2) 모든 y 에 대하여 P(x, y)가 성립하는 x 가 존재한다.

34. 한정기호 – 한정기호(계속) • [예제41] 실수 x, y 에 대하여 명제함수 P(x, y)가 x<y+1일 때, 다음 명제의 진리값을 구하여라. (1) ∀x∀yP(x, y) (2) ∃x∀yP(x, y) (3) ∃x∃yP(x, y) [풀이] (1) x=3, y=1인 경우 x<y+1가 성립하지 않으므로 거짓 (2) 모든 실수 y에 대하여 x<y+1을 만족하는 x가 존재하지 않 으므로 거짓 (3) x=0, y=0인 경우 x<y+1이 성립하여 명제함수 P(x, y)가 성립하는 x, y가 존재하므로 참

35. 한정기호 – 한정기호(계속) • [예제43] 논의영역의 범위를 모르는 상태에서 명제함수 P(x, y)에 대하여 ∀x∀yP(x, y)가 참이라고 할 때, 다음 명제의 진리값을 구하여라. (1) ∃x∀yP(x, y) (2) ∀x∃yP(x, y) [풀이] (1) ∃x∀yP(x, y)의 진리값은 참 : 모든 x와 y에 대하여 명제 함수 P(x, y)가 참이므로 모든 y에 대하여 P(x, y)가 성립 하는 x가 적어도 하나 존재 (2) ∀x∃yP(x, y)의 진리값은 참 : 모든 x와 y에 대하여 명제 함수 P(x, y)가 참이므로 모든 x에 대하여 P(x, y)가 성립 하는 y가 적어도 하나 존재

36. Thank you ehanbit.net