第六章 二次型

1. 第六章二次型 第六章 二次型 一、 二次型的概念 二、二次型的标准形 三、 正定二次型

2. 第五章特征值问题与二次型 第一节 二次型及其标准形 一、 二次型的概念 二、正交变换法化二次型为标准形 三、 配方法化二次型为标准形

3. 1 n x , x , , x 定义 含有 个变量 的二次齐次多项式 L 1 2 n 一、二次型的概念 称为二次型.

4. 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形． 例如 都为二次型；而 为二次型的标准形.

5. 对二次型

8. 　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型． 这样， 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 实对称矩阵A叫做二次型f的矩阵； f叫做实对称矩阵A的二次型； 实对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩。 注：标准形二次型的矩阵是对角阵.

9. 例１ 解

11. 　　对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求　　对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 设有可逆 线性变换 若记矩阵C=(cij)，

12. 二次型经可逆变换x=Cy后，f 的矩阵由A变为矩阵 B=CTAC . 注： 二次型经可逆变换后，其秩保持不变.

14. = f x Cy , 要使二次型 经可逆变换 变成标准形 就是要使

15. 得 即 二、 正交变换法化二次型为标准形 由于对任意的实对称矩阵A，总有正交矩阵P，使 因此把这个结论应用 于二次型，即有

16. 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：

17. 例4 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值

18. 将 代入 从而得特征值 2．求特征向量并进行正交规范化 得基础解系 将 单位化，即令

19. 将特征向量正交化，即取

20. 再进行单位化，即令 因此正交矩阵为

21. 于是所求正交变换为

22. 例5 假设二次型 求 经正交变换x=Qy，化为标准形 a, b及正交矩阵Q. 解： 二次型f的矩阵为 因此 由已知，1, 1, -2 为A的三个特征值，

23. 解之，可得 解方程组 得 对于 ～ 得基础解系为 正交化得

24. 规范化可得 由 对于 解方程组 ～ 得基础解系为 规范化得

25. 则 为正交阵，即为所求.

26. 小结 一、 二次型的概念及其表示 1. 二次型的概念 含有n个变量的二次齐次多项式 只含有平方项的二次型称为二次型的标准型 2. 二次型的表示 (1) (2)

27. 二、化二次型为标准型 1. 正交变换法 2. 配方法

28. 求一正交变换，将二次型 化为标准型，并指出 表示何种二次 曲面. 思考题1

29. 思考题1解答

32. 思考题2

33. 思考题2解答