Lezione 5 Strumenti statistici: campioni e stimatori

1. Lezione 5Strumenti statistici:campioni e stimatori

2. La definizione classica della probabilità: La definizione frequentista della probabilità: P A P P P La definizione assiomatica della probabilità P P Nella lezione precedente, parte 1 ...

3. Nella parte 2 ...

4. Nella parte 2 ...

5. Le variabili casuali X La funzione distribuzione cumulativa La funzione densitàdi probabilità Nella parte 3 ... Le funzioni di probabilità della variabile casualeX

6. Le variabili casuali X Nella parte 3 ... I parametri della distribuzione della variabile casualeX

7. 1,61m < h < 1,63m  X = 162 1,59m < h < 1,61m  X = 160 1,57m < h < 1,59m  X = 158 dalla caratteristica comune di una popolazioneal suo modello probabilistico … una popolazione (distribuita in modo) normalesu cui viene definita una variabile casuale continua Xcon media m e varianza s2può essere modellata mediante una funzione di densità di probabilità fX ( x )espressa nella forma:

8. dalla caratteristica comune di una popolazioneal suo modello probabilistico …

9. Distribuzione normale la media m e varianza s2 ( o la sua radice quadratache viene indicata come scarto quadratico medios) costituiscono i parametri di forma della distribuzione normale in quanto l’andamento della densità fX ( x )viene condizionato dai valori di tali parametri: al variare del valore della media m la fX ( x ) trasla indeformata

10. Distribuzione normale la media m e varianza s2 ( o la sua radice quadratache viene indicata come scarto quadratico medios) costituiscono i parametri di forma della distribuzione normale in quanto l’andamento della densità fX ( x )viene condizionato dai valori di tali parametri: al variare del valore della varianza s2 la fX ( x ) si deforma

11. Dalla distribuzione normale alla “normale standard” se X è una variabile casuale con distribuzione normale, media m e varianza s2 , allora la variabile casuale Zha distribuzione normale, con media nulla e varianza unitaria. La densità della Z è pertanto espressa dalla:

12. Dalla distribuzione normale alla “normale standard” se X è una variabile casuale con distribuzionenormale, media m e varianza s2 , allora la variabile casuale Zha distribuzionenormale, con media nulla e varianza unitaria.

13. Dalla distribuzione normale alla “normale standard” • se X è una variabile casuale con media m , varianza s2 ed ha distribuzione normale • allora la nuova variabile casuale Z che assume valore risulta avere: • media mZ = 0,

14. Dalla distribuzione normale alla “normale standard” • se X è una variabile casuale con media m , varianza s2 ed ha distribuzione normale • allora la nuova variabile casuale Z che assume valore risulta avere: • media mZ = 0,

15. Dalla distribuzione normale alla “normale standard” • se X è una variabile casuale con media m , varianza s2 ed ha distribuzione normale • allora la nuova variabile casuale Z che assume valore risulta avere: • media mZ = 0, varianza var [ Z ] = 1,

16. Dalla distribuzione normale alla “normale standard” • se X è una variabile casuale con media m , varianza s2 ed ha distribuzione normale • allora la nuova variabile casuale Z che assume valore risulta avere: • media mZ = 0, varianza var [ Z ] = 1,

17. parte 1Campioni, campionamento, stimatori campionari

18. Parte I - sommario • Prove “a tappeto” ed “a campione” • Tecniche di campionamento • Campionamento “sistematico” • Campionamento “a strati” • Campionamento “con il metodo delle quote” • Campionamento “a grappolo” • Momenti campionari • Stimatori • Caratteristiche degli stimatori • Correttezza • Consistenza • Efficienza

19. Misurazione della caratteristica comune • Il valore della caratteristica che accomuna gli elementi della popolazione oggetto può essere determinato con le più diverse procedure di misurazione: quando le misure non sono tali da procurare danni agli elementi misurati si può ipotizzare una prova “a tappeto”.

20. Uno dei pionieri della statistica applicata, William Sealy Gosset(1876-1937 )che operava con lo pseudonimo di “Student”, era responsabile del Laboratorio Prove e Ricerche presso la birreria Guinness a Dublino, Irlanda. Campione • Non è sempre possibile esaminare l’intera popolazione (per problemi di tempo, per problemi economici, per problemi pratici) pertanto uno degli scopi delle ricerche statistiche è quello di “inferire”, cioè di fare previsioni sulla intera popolazione mediante l’esame di un suo sottoinsieme che viene chiamato “campione”.

21. Campionamento • La scelta del campione è fondamentale per evitare di trarre delle conclusioni incomplete o, addirittura, errate sulla popolazione. • Per evitare distorsioni provocate da un campione non rappresentativo della popolazione, si deve dare ad ogni elemento della popolazione oggetto la stessa probabilità di venire estratto a far parte del campione. • Le principali tecniche con le quali operare il campionamento, cioè la composizione del campione, sono indicate come: • campionamento sistematico; • campionamento stratificato; • campionamento con il metodo delle quote; • campionamento a grappolo.

22. Campionamento sistematico • Nel campionamento sistematico si sceglie ciascun elemento che andrà a costituire il campione in base ad una regola prefissata. • Ad esempio: si preleva ogni 30-esimo pezzo prodotto da una macchina o da una catena di montaggio. • Il rischio insito in questa procedura è quello di incorrere in periodicità nascoste nel prodotto: se si producesse, sistematicamente, un pezzo difettoso ogni 29 pezzi “sani”, un campionamento sistematico del tipo “uno ogni 30” potrebbe risultare fatale. • Anche il caso di un pezzo difettoso ogni 14 pezzi sani porterebbe a fallire il campionamento.

23. Campionamento sistematico • Nel campionamento sistematico si sceglie ciascun elemento che andrà a costituire il campione in base ad una regola prefissata. • Ad esempio: si preleva ogni 30-esimo pezzo prodotto da una macchina o da una catena di montaggio.

24. Campionamento stratificato • Nel campionamento stratificato si divide preliminarmente la popolazione in un numero prestabilito si sottopopolazioni o “strati” dalle quali si estraggono delle unità che andranno a comporre il campione totale. • Ad esempio: la suddivisione in strati potrebbe venire effettuata tenendo conto dei turni di lavoro oppure tenendo conto della linea produttiva, ecc.

25. Campionamento stratificato • Nel campionamento stratificato si divide preliminarmente la popolazione in un numero prestabilito si sottopopolazioni o “strati” dalle quali si estraggono delle unità che andranno a comporre il campione totale. • Ad esempio: la suddivisione in strati potrebbe venire effettuata tenendo conto dei turni di lavoro oppure tenendo conto della linea produttiva, ecc.

26. Campionamento con il metodo delle quote • Si divide la popolazione in gruppi sulla base della caratteristica (oggetto dello studio) per i quali sono noti i pesi percentuali di ciascuno nei confronti della popolazione. A questo punto vengono definite le quote, cioè il numero di elementi da prelevare da ciascun gruppo e si procede con un’estrazione casuale delle unità da ciascun gruppo. Il campione sarà l‘insieme costituito da tutte le unità estratte. • Ad esempio: nel caso di un’indagine che riguarda una azienda con penetrazione sul mercato che cambia da regione a regione, si chiede alle persone incaricate di allestire il campione intervistando in ciascuna regione un numero di individui legato alla penetrazione della azienda nella regione stessa.

27. Campionamento con il metodo delle quote • Si divide la popolazione in gruppi sulla base della caratteristica (oggetto dello studio) per i quali sono noti i pesi percentuali di ciascuno nei confronti della popolazione. A questo punto vengono definite le quote, cioè il numero di elementi da prelevare da ciascun gruppo e si procede con un’estrazione casuale delle unità da ciascun gruppo. Il campione sarà l‘insieme costituito da tutte le unità estratte. • Ad esempio: nel caso di un’indagine che riguarda una azienda con penetrazione sul mercato che cambia da regione a regione, si chiede alle persone incaricate di allestire il campione intervistando in ciascuna regione un numero di individui legato alla penetrazione della azienda nella regione stessa.

28. Campionamento a grappolo • Questa procedura è utile quando si è nella impossibilità di estrarre il campione dalla intera popolazione. La popolazione viene allora vista come un insieme di grappoli non ricoprentesi e sono i grappoli ad essere scelti in modo casuale per poi costituire il campione mediante le singole unità costituenti i grappoli prescelti. Si noti che, se i grappoli non sono composti di un ugual numero di unità, la numerosità del campione è nota solamente al termine del campionamento. • Ad esempio: nel caso di un’indagine che riguarda lo studio della fruizione del servizio di trasporto pubblico in una estesa area urbana si possono considerare come grappoli le famiglie residenti, fra le quali si estraggono a sorte alcuni grappoli: il campione sarà costituito da tutti i componenti delle famiglie estratte.

29. Campionamento a grappolo

30. esempio: sono statistiche: e mentre non è una statistica perché contiene la media mdella X sulla intera popolazione (che è un parametro incognito). Statistiche definizione 5.1: • Si definisce “statistica” g( X1, X2, X3, …, Xn ) una funzione di variabili casuali che non contiene parametri della popolazione.Una statistica è a sua volta una variabile casuale.

31. Principali statistiche:momento campionario Definizione ?! • dato un campione { X1, X2, …, Xn } proveniente da una popolazione avente densità fX(x), si definisce “momento campionario di ordine p” la statistica :

32. Principali statistiche:momento campionario … dato un campione { X1, X2, …, Xn } proveniente da una popolazione avente densità fX(x), …

33. Principali statistiche:momento campionario definizione: • dato un campione { X1, X2, …, Xn } proveniente da una popolazione avente densità fX(x), si definisce “momento campionario di ordine p” la statistica: definizione 5.2: • estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si chiama “momento campionario di ordine p” la statistica:

34. Principali statistiche:momento campionario … estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di v.c. { X1, X2, …, Xn } …

35. Fra i momenti campionari riveste particolare interesse quello di ordine 1 ( p = 1 ). E’ chiamato “media campionaria” e coincide con la media della X per il campione: per questo motivolo indicheremo con per richiamare il suo significato. Principali statistiche:momento campionario di ordine 1

36. Estraendo diversi campioni di n elementi da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X che ha media m e varianza s 2 • si ha: e, nel caso di popolazione infinita o di campionamento con ripetizione, • si ha: Principali statistiche:momento campionario di ordine 1 Della “media campionaria” si tratterà in dettaglio nelle prossime lezioni: per ora si segnalano due sue caratteristiche.

37. definizione 5.3: • estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si chiama“ momento campionario di ordine p rispetto a ” la statistica: Principali statistiche:momento campionario rispetto a

38. Il momento campionario di ordine 2 rispetto a riveste interesse particolare in quanto esso coincide con la varianza del campione: Principali statistiche:momento campionariodi ordine 2 rispetto a

39. esempio: estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di v.c. { X1, X2, …, Xn } si può affermare che:la “media campionaria”: è uno stimatore della media m della popolazione: Stimatori definizione 5.4: • Si definiscono “stimatori” quelle statistiche che vengono usate per stimare un parametro o una sua funzione. • I valori ottenuti mediante gli stimatori si dicono “stime” del parametro.

40. definizione 5.5: • Uno stimatore V = v ( X1, X2, …, Xn) del parametro q si definisce “corretto” se e solose il suo valore atteso è uguale al parametro che deve stimare. • La media campionaria è uno stimatore corretto della media della popolazione in quanto: Caratteristiche degli stimatori: correttezza • Se lo stimatore risulta corretto solamente quando n tende all’infinito si dice che lo stimatore è “asintoticamente corretto” . Per popolazioni finite la definizione deve essere intesa nel senso: “quando n risulta sufficientemente grande”.

41. definizione 5.6: • Uno stimatore V = v ( X1, X2, …, Xn ) del parametro q si definisce “consistente” se converge in probabilità al parametro che deve stimare. • Nel caso di uno stimatore corretto o asintoticamente corretto del parametro q si può affermare che esso è consistente se: • La media campionaria è uno stimatore consistente in quanto: Caratteristiche degli stimatori: consistenza

42. definizione 5.7: • La misura della efficienza tra due stimatori è definita come: • Se Eff ( V1 / V2 ) > 1 la stima fornita da V1 è più efficiente. Caratteristiche degli stimatori: efficienza • Nel caso di stimatori corretti il rapporto Eff ( V1 / V2 ) coincide con il rapporto delle varianze dei due stimatori pertanto lo stimatore più efficiente è quello che ha varianza minore.

43. La prossima volta… Lo stimatore “media campionaria” e la sua distribuzione