第五章弯曲应力

§5-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 §5-2梁的剪力和弯矩· 剪力图和弯矩图 §5-3平面刚架和曲杆的内力图 §5-4梁横截面上的正应力· 梁的正应力强度条件 §5-5梁横截面上的切应力· 梁的切应力强度条件 §5-6梁的合理设计第五章弯曲应力

§5-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 一、弯曲的概念 • 受力特点： • 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线 • 的横向外力或外力偶作用。 • 变形特点： • 杆件的轴线由直线变为曲线。

纵向对称面 F1 F2 B A FB FA 梁：以弯曲为主要变形形式的构件称为梁。梁的纵向对称面：梁的横截面竖向对称轴与梁的轴线组成的平面。

楼板 F F 梁墙（b）（a）二、工程实例楼板传动轴

三、弯曲的分类 平面弯曲：当外力作用在纵向对称平面内时，梁发生弯曲变形后，轴线也将保持在此对称平面内，梁的轴线成为一条平面曲线，这种弯曲叫做对称弯曲，也称为平面弯曲。（本章只解决平面弯曲问题）非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或者梁虽然具有纵向对称面但外力并不作用在纵向对称面内，这种弯曲统称为非对称弯曲。

第四章弯曲应力 (a)固定铰支座 (b)固定铰支座 (c)固定端 M FRx FRx FRy FRy FRy 四、梁的计算简图 (1) 支座的基本形式

(2) 梁的基本形式 悬臂梁简支梁外伸梁

第四章弯曲应力 (3) 静定梁和超静定梁静定梁——在竖直荷载作用下，所示梁的内力和反力均可由静力平衡方程求出。（图a，b，c）超静定梁——内力和反力不能完全由静力平衡方程确定。（图d，e）

第四章弯曲应力 q(x) q F Me （4）梁的荷载 1）集中力。作用在梁上某点的横向力，常用单位为N或kN。 2）集中力偶。作用在梁轴线上某点处，且矩矢垂直于梁的纵向对称平面（常用单位为Nm或kNm）。 3）分布力。沿梁长度方向连续分布的横向力。分布荷载的大小可用单位长度上的荷载，即荷载集度q来表示，其常用单位为N/m或kN/m。

F m A B (a) m x l FRB FRA FS M (b) F FRA (c) M FS FRB §5-2 梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图一、梁的剪力和弯矩梁在竖向荷载作用下，其横截面上的内力可以通过截面法求出来。剪力FS：沿截面切线方向的内力。单位为N或kN 弯矩M：梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩。单位是N.m或kN.m

FS FS M M M M FS FS (a) (b) (b) (a) 剪力、弯矩符号的规定 1．剪力符号规定截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动的趋势则为正，反之为负。 2．弯矩符号规定截面上的弯矩如果使考虑的脱离体下侧纵向纤维受拉为正，反之如果使考虑的脱离体上侧纵向纤维受拉为负。

F m A B (a) m x l FRB FRA FS M (b) F FRA (c) M FS FRB 二、内力计算梁在截面m−m上内力可由脱离体的平衡条件求得。根据左段梁的平衡条件，由平衡方程：可得对截面m−m的形心O取矩可得

(d) F C (b) A B FRC FRB F C D (a) A B l/2 l/2 l/2 F FSD C D (c) A MD D B MD FRC FRB FSD 例题5−1 试求图a所示梁D截面上的剪力和弯矩。，解：（1）求支反力FRC和FRB（图b）。由平衡方程解得

(d) F C (b) A B FRC FRB F C D (a) A B l/2 l/2 l/2 F FSD C D (c) A MD D B MD FRC FRB FSD （2）计算D截面上的剪力FSD和弯矩MD 得对截面m−m的形心O取矩得（上侧纤维受拉）

第四章弯曲应力 F2 FS M (a) (b) M F1 FS (1)横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。左端脱离体右端脱离体

FS M F2 (b) (a) M FS M2 M1 F1 (2)横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。 1）不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。 2）截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩，其正负与之相反。左端脱离体右端脱离体

三、列方程作内力图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力或弯矩随截面位置的变化规律。

q B A (a) x l FRB FRA 0.5l ql/2 (b) FS图 ql/2 (c) M图 ql2/8 例题5−2 图a所示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，试作梁的剪力图和弯矩图。解：（1）画此梁的内力图，求支座反力。利用平衡方程求得（2）列内力方程取距左端为x的任意横截面左侧的梁段，则梁的剪力和弯矩方程分别为（3）最后由内力方程作内力图。

q B A (a) x l FRB FRA 0.5l ql/2 (b) FS图 ql/2 (c) M图 ql2/8 （a）剪力图剪力方程是x的一次函数，所以剪力图是一条倾斜直线段。而两支座内侧截面上的剪力值最大，。（b）弯矩图弯矩方程是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线。梁在梁跨中横截面上的弯矩值最大，为

F x B A (a) C a b FRA l FRB 例题5−3 图a所示的简支梁，在C点处受集中力F的作用，试作梁的剪力图和弯矩图。解：（1）画此梁的内力图，求支座反力。利用平衡方程求得

F x B A (a) C a b FRA l FRB (b) FS图 (c) M图（2）列内力方程对于AC段梁对于BC段梁

F x B A (a) C a b FRA l FRB (b) FS图 (c) M图（3）最后由内力方程作内力图。两段梁的剪力图各为一条平行于梁轴线的直线段。在集中力作用处剪力图发生突变，并且此突变值等于集中力的大小。两段梁的弯矩图各为一条斜直线段。由图可见，集中力作用处横截面上的弯矩值为最大.

第四章弯曲应力 (b) FS图例题5-4 图a所示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 F x B A C a b FRA l FRB ，解：1. 求约束力

2. 列剪力方程和弯矩方程 此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。对于AC段梁，其剪力方程和弯矩方程分别为对于BC段梁，其剪力方程和弯矩方程分别为

第四章弯曲应力 (b) 如图b及图c。由图可见，在b > a的情况下，AC段梁在0<x<a的范围内任一横截面上的剪力值最大，；集中荷载作用处( x=a)横截面上的弯矩值最大，。 3. 作剪力图和弯矩图 (c)

第四章弯曲应力 4. 讨论由剪力图可见，在梁上的集中力(包括集中荷载和约束力)作用处剪力图有突变，这是由于集中力实际上是将作用在梁上很短长度x范围内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的。

第四章弯曲应力 例题4-7图a所示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1. 求约束力

第四章弯曲应力 FS(x) FS(x) x x 2. 列剪力方程和弯矩方程此简支梁的两支座之间无集中荷载作用，故作用于AC段梁和BC段梁任意横截面同一侧的集中力相同，从而可知两段梁的剪力方程相同，即

第四章弯曲应力 FS(x) FS(x) x x 至于两段梁的弯矩方程则不同： AC段梁： CB段梁：

第四章弯曲应力 3. 作剪力图和弯矩图

第四章弯曲应力 如图可见，两支座之间所有横截面上剪力相同，均为。在b>a的情况下，C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大，为（负值)。弯矩图在集中力偶作用处有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。

第四章弯曲应力 q(x) q(x) F FS(x) A B M(x)+d M(x) M(x) x O dx FS(x)+d FS(x) l dx (a) (b) 三、弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用 1. M(x)、FS(x)、q(x)间微分关系导出

第四章弯曲应力 距左端为x处用相距dx的两个横截面，从梁中截出一个微段，因dx非常微小，所以在微段上的分布荷载可以看作是均匀分布的，注意分布荷载取向上为正。假设在微段左右截面上的剪力和弯矩分别为：Fs(x)、M(x)和Fs(x)+dFs(x)、M(x)+d M(x)，如图所示。根据平衡条件，得:

整理后得 几何意义为：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。又由（矩心O为微段右侧截面的形心）得: 整理后得几何意义为：弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。由上两式可以得到

第四章弯曲应力 常见荷载下FS，M图的一些特征

第四章弯曲应力 若某截面的剪力FS(x)=0，根据，该截面的弯矩为极值。集中力作用处集中力偶作用处

第四章弯曲应力 利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下： (1)求支座约束力； (2)分段确定剪力图和弯矩图的形状； (3)求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； (4)确定|FS|max和|M|max。

第四章弯曲应力 y q FA FB A B C E D 1 m 2 m 4 m FS 100 kN x FS图 100 kN + x 150 100 100 M - - M图（kN·m） + 例题：一简支梁在其中间部分受集度为 q=100 kN/m向下的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。 x

第四章弯曲应力 y q FA FB A B C E D 1 m 2 m 4 m FS 100 kN x FS图 100 kN + - 解：此梁的荷载及约束力均与跨中对称，故知约束力FA，FB为 1. 校核剪力图该梁的AC段内无荷载，而根据可知，AC段内的剪力图应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为

第四章弯曲应力 y q FA FB A B C E D 1 m 2 m 4 m FS 100 kN x 根据可知CD段内的剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线。由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故斜直线左端的纵坐标确为100 kN。根据斜直线的斜率为，可证实D截面处的剪力确应为 FS图 100 kN + - 对于该梁的CD段，分布荷载的集度q为常量，且因荷载系向下而在微分关系中应为负值，即q=-100 kN/m。

第四章弯曲应力 y q FA FB A B C E D 1 m 2 m 4 m FS 100 kN x FS图 100 kN + - 对于该梁的DB段，梁上无荷载，故剪力图应该是水平直线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-100 kN。作为复核，显然支座B偏左横截面上的剪力就是

第四章弯曲应力 y 该梁的AC段内，剪力为常量，因而根据常量可知此段梁的弯矩图应为斜率为的正值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为 q FA FB A B C E D 1 m 2 m 4 m FS 100 kN x FS图 100 kN + x 150 100 100 M - M图（kN·m） + 2. 校核弯矩图这与图中所示相符。

第四章弯曲应力 + - FS 100 kN x FS图 100 kN x 100 此式中的从几何意义上来说，它就是AC段内剪力图的面积。 150 100 M M图（kN·m） + 事实上，这个弯矩值也可根据通过积分来复核：

第四章弯曲应力 对于该梁的CD段，根据可知： y q FA FB A B C E D 1 m 2 m 4 m FS 100 kN x FS图 100 kN + x 150 100 100 M - M图（kN·m） + 弯矩图是如图(c)中所示曲率为负(即向下凸)的二次曲线。因为梁上C点处无集中力偶作用，故弯矩图在C截面处应该没有突变；

第四章弯曲应力 y q FA FB A B C E D 1 m 2 m 4 m FS 100 kN x FS图 100 kN + x 150 100 100 M - M图（kN·m） + 由于C截面处剪力无突变，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接。

第四章弯曲应力 + - FS 100 kN x FS图 100 kN 同样，根据可知， x 100 150 100 M M图（kN·m） + 在剪力为零的跨中截面E处，弯矩图切线的斜率为零，而弯矩有极限值，其值为这些均与图(c)中所示相符。

第四章弯曲应力 y q FA FB A B C E D 1 m 2 m 4 m FS 100 kN x FS图 100 kN + x 150 100 100 M - M图（kN·m） + 对于该梁的DB段，由于剪力为负值的常量，故弯矩图应该是斜率为负的斜直线。因为梁上D点处无集中力偶作用，故弯矩图在D截面处不应有突变，再考虑B支座处弯矩为零，即可证实图(c)中此段梁的弯矩图也无误。

第四章弯曲应力 (a) 思考：试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。已知：图中梁的约束力为正确答案：

第四章弯曲应力 (b) 图中梁的约束力为正确答案：

第五章 弯曲应力