第四章共面力系的平衡 內容大綱

1. 第四章共面力系的平衡內容大綱 4.1 概論 4.2 平衡的定義 4.3 物體之自由體圖 4.4 共面力系之平衡方程式 4.5 列舉與求解平衡方程式 4.6 單一物體之平衡分析 4.7 含內力之自由體圖 4.8 組合體之平衡分析 4.9 二力及三力構件 4.10 桁架概述 4.11 接點法 4.12 截面法

2. 概論

3. 概述 • 介紹自由體圖 • 介紹單物件之平衡 • 介紹組合體之平衡 • 介紹桁架之平衡

4. 平衡的定義

5. (a) (b) 平衡之條件1 • 點的平衡必須處於靜止狀態，或以等速度運動。欲滿足上述要求，則其充要條件為質點上受力的和必須為零。

6. (a) (b) 平衡之條件2 • 應用上述原理，將推展出剛體平衡的條件。考慮下圖(a)中的剛體，對 x、y、z 軸為靜止或等速度運動。剛體中第 i個質點的自由體圖，如圖(b)，有兩種型態的力量作用於此質點，其一為內力，可表示為 • 即其他質點作用於此i質點而得合力 fi，圖(b)中僅顯示一個質點，但卻對整個物體中的n個質點作總和，在總和的過中 i = j是無意義的，因質點無法對本身施力。

7. 另一型態則為外力 Fi，如重力、電力、磁力或由鄰近物體或質點所施予的接觸力。若質點處於平衡狀態，根據牛頓第一定律，可得 • 當平衡方程式應用於物體中各質點，可得相同的方程式，若將這些方程式以向量相加，可得 • 其中內力的總和為零，因各質點問的內力大小相等但方向相反，且在同一線上。故僅有外力存留，令Fi = F，上述方程式可以寫成 Fi + fi= 0 Fi+ fi= 0 F = 0

8. (a) (b) ri (Fi + fi) = ri  Fi + ri  fi = 0 • 若考慮作用於i質點之力對任意點O 的力矩，圖(b)應用點平衡方程式以及向量積適用分配律得 • 可以對其它的質點得同樣的方程式，並以向量相加 • 上式第二項，因兩質點間之內力相反，以及力的遞移性，以致此內力之力矩和為零，可將MO = ri fi表示成 • 即使一物體達成平衡必須滿足 ri  Fi + ri fi= 0 MO = 0 F = 0; MO= 0

9. 欲使一物體成平衡必須作用於物體上所有外力和為零，以及所有外力對一點的力矩和為零。以上為平衡的必要條件，亦為充分條件。為說明此充分性質，假設物體不平衡卻滿足上式，必須加上 F才能使物體成平衡，則平衡方程式為 • 其中 MO為 F對 O 的力矩，由於F = 0 及 MO = 0，故必須 F = 0 (及 MO = 0)，即不需 F以使物體平衡。所以式 F = 0, MO = 0 亦為物體平衡的充分條件。 F + F' = 0; MO + MO = 0

10. 物體之自由體圖(free-body diagram)

11. 自由體圖 (free-body diagram) • 所謂自由體圖就是將物體的外形畫出，而由環境中獨立出來。 • 繪出物體的自由體圖，必須將所有作用在此質點上的力量標示出來；畫完此圖，即可輕易地利用式 F = 0分析問題。 • 因此在解力學問題時，充分地了解如何繪製自由體圖是十分重要的。

12. 彈簧 (springs) • 若以一線性彈簧作為作支撐 (support)，則彈簧的變形量與作用力成正比例的關係。彈簧的彈性由彈簧常數k(spring constant) 所定義，若一彈簧的彈簧常數k，其變形量為s，則作用力之大小為 F = ks • 變形量 s 為彈簧受力後的全長l與原長度 lo的差值，即s = l lo。若s為正值，則F為拉伸彈簧之力；若 s為負值，則 F 為壓縮彈簧之力。 • 例如圖中，彈簧的原長 lo = 0.4m，彈簧常數k = 500 N/m，若伸長至 l = 0.6 m，則作用力為F = ks = (500 N/m) (0.6m  0.4m) = 100 N。同理，若彈簧壓縮至l = 0.2m，則作用力為 F = ks = (500N/m) (0.2m  0.4m) = 100N。

13. 繩索與滑輪(cables and pulleys)    • 除特別說明外，所有的繩索或纜繩都假設為無重量，且不具有伸縮性。繩索只能承受張力或拉力，且作用力方向必定沿著繩索方向。一穿過無摩擦滑輪的連續繩索 (continuous cable)，將受到一張力 T，不論角度 為何值，T值的大小都是一樣的。

14. Procedure for Drawing FBD • To construct a free-body diagram, the following steps are necessary : • Draw Outline Shape • Imagine that the particle is cut free from its surroundings or isolated by drawing the outline shape of the particle only. • Show All Forces • Show on this sketch all the forces acting on the particle. There are two class of forces that act on the particle. They can be active forces, which tend to set the particle in motion, or they can be reactive forces which are the results of the constraints or supports that tend to prevent motion. • Identify Each Force • The forces that are known should be labeled complete with their magnitudes and directions. Letters are used to represent the magnitudes and directions of forces that are not known.

15. 支承之反作用 • 在討論如何作自由體圖之前，必須先認識不同的支承形式。 • 一般而言，若支承限制物體某方向移動，則該方向必有一力作用，同理，若支承限制旋轉，則必有一力矩施加在物體上。

16. Supports & Reactions Coplanar force systems Surface forces at supports or points of contact between bodies are called REACTIONS

17. Supports & Reactions Translations and Rotations Forces and Moments

18. Pin connections allow rotation. Reactions at pins are forces and NOT MOMENTS. Degrees of Freedom

19. 在此將介紹水平梁三種常見的尾端支承形式，第一種形式為一滾筒，如下圖(a)，其不允許在平面的垂直方向運動，則在此點施有同方向的垂直力 F，如圖(b)。

20. 梁上另有一種限制更多的支承形式，如銷在下圖(a)，其銷不允許桿件在任何方向產生移動，故F其有兩個未知量，一為其大小，另一為方向角 ，如圖(b)，為便於分析，通常將其表示成 Fx及 Fy二分量，如圖(c)，若 Fx及 Fy已知，則 F 及即可求得得。

21. 限制最多的形式為一固定端，如下圖(a)。此種支承形式會限制梁作平移及轉動，故在支點會有一力及一力偶矩作用，如圖(b)，通常此方可表示成兩分量 Fx及 Fy。

22. 常見二維力系的接觸形式如右 (圖中 均為已知角)，請仔細研讀每一圖形所代表接觸的形式，雖然表中所示的各集中力與力偶矩，事實上是接觸面間分佈力的合成。然而在此情況下，其作用力的分佈情形，因接觸面積極小，故求取其確切作用點並不重要。

24. (1) 繩索-未知力數為1，作用力為張力，方向與繩索同向 • (2) 重量可忽略之連桿-未知力數為1，力的作用方向與連桿同向 • (3) 滾筒-未知力數為1，力的作用方向與接觸面成垂直 • (4) 導軌中滾筒支撐- 未知力數為1，力的作用方向與準槽垂直 • (5) 搖板-未知力數為1，力的作用方向與接觸平面垂直 • (6) 與光滑面接觸-未知力數為1，力的作用方向與接觸平面垂直 • (7) 光滑導桿中移動-未知力數為1，力的作用方向與導桿垂直 • (8) 光滑銷連桿-未知力數為2，可為兩個分量，亦可為大小及角度。其中與不必相同 • (9) 連桿固定於光滑導桿-未知力數為2，為力偶矩及與光滑桿垂直之力 • (10) 固定端-未知力數為3，兩力及一力偶矩或一力偶矩及力的大小與方向

25. 外力與內力 • 由於剛體是由質點所構成，可承受內力與外力。然而作自由體圖時，物體的內力並不須要繪出，如前一節中所述，內力都是以大小相等卻是反向作用於一直線上，故對物體的作用效果為零。

26. Free Body Diagram BC C BA W B A W

29. 1. Two cables support the traffic light weighing 250 pounds. Determine the tension in the cables AB and BC. B A • Solution: • Resolving T1 along x and y directions: • Resolving T2 along x and y directions: A C T1 T2 B 200lb 1 T2Y T1Y T2 T1 T1X T2X T3=200lb

30. Substituting equation 1 in the above equation, we get .342T1+.5425T2=200 .8845T1=200 T1=226lb • From equation 1 we get T2=1.085*226 T2= 245.56lb Answers: Tension in cable AB = 226lb Tension in cable BC = 245.56lb

31. 重量與重心 • 當一物體處於重力場中，每一質點都其有一定的重量，可由牛頓萬有引力F = Gm1m2/r2，若假設物體的大小與地球比較為極小，可將此重力表示為一平行力系分別作用於物體上各質點。前一章節曾述及此力系可化簡此力系為一單力，且作用於特定點，將此單力稱之為物體的重量 W，而其作用點稱為重心。求取重心的方法將在後面章節予以介紹。 • 物體的重量若是相當重要，將在敘述中指明其值。又若物體為均質材料，物體的重心即為物體的形狀中心。若物體為非均質材料或不規則幾何形狀，其重心將特別予以指明。

32. 共面力系之平衡方程式

33. V Coplanar Force System Start with internal system of forces as shown below to get proper signs for V, N and M.

34. 共面力系之平衡方程式 • 物體達成平衡必須滿足 F = 0；MO= 0

35. 二維平衡方程式 • 前一節曾提及物體平衡的充要條件為 F = 0, MO = 0。當物體受一x-y力系作用，此力系可分解為x、y分量，故二維平衡方程式為 • 其中 Fx、Fy表物體上作用力之 x、y分量的和，MO表物體上作用力對垂直於 x-y 平面之軸，且軸與平面交點 O 之力矩和，此O點可位於物體內或於物體外。

36. Perpendicular to the plane containing the forces Equilibrium • Vectors: SF = 0; SM = 0 • Coplanar force systems: SFx = 0 SFy = 0 SMo = 0 • Draw a FBD to account for ALL loads acting on the body.

37. Example: Find the vertical reactions at A and B for the shaft shown.

38. (800 N/m)(0.150 m) = 120 N 225 N A B Ay By FBD Comment on dashed line around the distributed load.

39. + + Equilibrium Equations

40. 平衡方程式的其它型式 • 求解共面力系的平衡問題，另外平衡方程式也常被應用，其一為 • 應用此方程式必須 A、B 點不在a軸的垂線上。

41. 以下圖(a)說明，前面章節曾指出力系可以用一單力 FR = F 及力偶矩 MRA = MA取代，圖(b)中欲使平衡，須 FR = 0 及 MRA = 0，即若式 MA = 0 必須 MRA = 0。欲使 FR = 0 滿足 Fa = 0，則在 a軸上沒有分量，即其作用線與 a軸垂直。圖(c)，又欲使 MB = 0，其中 B點不在 FR的作用線上，故 FR = 0 以致圖(a)之物體成平衡。

42. 另一型式之平衡方程式為 • 應用上式 A, B, C三點不可在一線上，欲證明此點，須重新考慮圖(b)，若欲滿足 MA = 0，則合力矩 MRA = 0，若 FR的作用線經過B點，則MB = 0，若C不在 AB線上，欲使MC = 0，則必 FR = 0，以致圖(a)之物體必成平衡。

43. 二力及三力構件

44. 二力構件 (two-force members)  • 當一構件不受力偶作用，且僅受兩力作用，此構件稱為二力構件。如下圖(a)，作用於 A, B點的力，先求取各別的合力 FA及 FB，下圖(b)。此二力將維持物體的運動，或力平衡 (F = 0)，故 FA與 FB為大小相等但方向相反。若兩力共線，亦可使物體成轉動平衡。兩力之作用線為已知之 A, B線方向，故只須決定其大小，其它有關二力構件的平衡，參閱右下圖。

45. 三力構件 (three-force members)    • 欲使三力構件達成平衡，則必須此三力彼此平行或共點，如下圖。假設任二力之作用線交於 O 點，對 O 之力矩和為零，即 MO = 0，必須第三力亦通過O點，而構成三力共點，若其中兩力平行，其交點可視為在無窮遠處，第三力欲求於此點，亦必須與此二力成平行。

46. 桁架概述

47. 桁架 (truss) • 桁架 (truss) 是由細直構件在端點連接而成的一種結構，這些細直構件通常是木質或金屬製的。構件兩端點藉由鉚接或焊接的方式連在一平板上，此平板稱為角板 (gusset plate)，如下圖(a)所示，或者是用大的螺栓插銷來連接，如下圖(b)所示。

48. 平面桁架 • 平面桁架 (planar trusses) 位於一平面，常用於支撐屋頂或橋梁。下圖(a)所示為支撐屋頂的桁架ABCDE，屋頂重透過一系列的縱梁如 DD，傳至桁架的接點，如下圖(b)所示，由於所有的負載均作用在同一平面上，故桁架元件的分析屬於二維的。

49. 若為橋梁，如下圖(a)，橋面重藉由縱梁及底梁而傳至接點B、C及D，如同屋頂的桁架，亦為共面負載，如下圖(b)所示。

50. 空間桁架 (space truss) • 是由構件在端點連接而成一穩定的三維結構。最簡的結構體為三角錐，由六根構件所組成，如下圖所示，若在其上增加任何構件，則屬多餘。任何簡單空間桁架可由基本的三角錐結構體，以每增加三根構件而增加一個接點的方式組成。 • 空間桁架中的構件可視為二力構件，因各接點可視為球窩支承。若構件是以焊接或鉚接而組成，且構件重略而不計時，上述的假設是合理的。若需考慮構件重時，其方向向下，作用於構件長之中點。