Решение задач на комбинации многогранников и тел вращения

1. МОУ «Инсарская средняя общеобразовательная школа №1» Решение задач на комбинации многогранников и тел вращения Урок геометрии, 11 класс Чудаева Елена Владимировна, Республика Мордовия, г. Инсар

2. Правильная треугольная пирамида, вписанная в шар S АQ =ВQ = CQ = SQ= R – радиус шара. AO = BO = CO = r – радиус круга, описанного около основания пирамиды. H Q SO =H – высота пирамиды. R B T C SЕ=h – апофема пирамиды. r O P E A

3. Правильная четырехугольная пирамида, вписанная в шар S AQ = BQ = CQ = DQ = = SQ = R – радиус шара. AO = BO = CO = DO = rрадиус круга, описанного около основания пирамиды. H Q C SO =H – высота пирамиды. D R SЕ=h – апофема пирамиды. O P E r B A

4. Треугольная пирамида описана около шара E1Q = OQ = TQ = R – радиус шара. S EO = PO = r – радиус круга, вписанного в основание пирамиды. SO =H – высота пирамиды. S E1 T R E1 Q B R r Q R r C O E P r E O A

5. Четырехугольная пирамида описана около шара S E1Q = P1Q = OQ = R – радиус шара. EO = PO = r – радиус круга, вписанного в основание пирамиды. SO =H – высота пирамиды. M E1 P1 S Q B C E1 P1 R P E O A D r E P O

6. ? ? ? Задачи 1 Шар вписан в пирамиду. 2 Пирамида вписана в шар. 3 Сфера вписана в конус. 4 Куб вписан в конус. 5 Шар вписан в конус.

7. S 1) 2) SP1Q – прямоугольный, 3) 4)  SP1QSOP (Р1=О=90, S – общий), P1 2 Q откуда B C 2 P O D A 6) В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар, объем которого 32/3. Найдите объем пирамиды, если её высота равна 6. 1 Решение. тогда 4 5) Тогда сторона основания пирамиды вдвое больше, и равна Ответ: 96.

8. В шар, объём которого , вписана правильная четырехугольная пирамида. Найдите объём пирамиды, если её боковое ребро равно , а высота больше радиуса шара. S 1) тогда 5 Q C D 5 O B A 6) 2 Решение. 2) Пусть OQ=x, тогдаиз AOQ выразим сторону АО: 3) Составим теорему Пифагора для ASO: x 4 3 Откуда находим OQ = 4. 4)Тогда SO = 5+4=9, и АО =3. 5) В основании пирамиды квадрат, со стороной a, равной Ответ: 54.

9. 1) C = 2r = 6, тогда r = O2P = 3. 5 5 Площадь поверхности сферы, вписанной в конус, равна 100. Длина окружности, по которой сфера касается поверхности конуса, равна 6. Найдите радиус основания конуса. 3 S Решение. 2) Sсферы = 4R2 =100, тогда R = O1P = 5. 3)Из O1O2P по теореме Пифагора находим: 2,25 О2 Р 3 4)В O1PS отрезок РО2 высота, проведенная из вершины прямого угла, значит 4 О1 5) Найдем высоту конуса SO= SO2 +O2O1+O1O = 2,25 + 4 + 5 = 11,25. B A 15 O 6)  SО2РSOВ (О2=О=90, S – общий), откуда Ответ: 15.

10. В конус с образующей 66 и высотой 12 вписан куб. Найдите объём куба. S О1 Р1 O Р 4 Решение. 1) Из прямоугольного SOP находим: 2) a – сторона куба, тогда 3) Выразим через a: 4)  SО1Р1SOР (О1=О=90, S – общий), откуда a = 6. 5) V куба=a3 = 63 = 216. Ответ: 216.

11. 10-2r r 2r r Площадь основания конуса равна площади поверхности вписанного в него шара. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 10. 5 S Решение. 1) Обозначим радиус шара r, а радиус основания конуса R. т.е. 2) По условию 5 3)  SP1O1SOP (Р1=О=90, S – общий), Р1 откуда SO1 = 5 , О1 коэффициент подобия треугольников k = ½. 2r Р O 4) Заметим, что РР1= 2r,SP1= 10 – 2r, SO=5+r. откуда r = 3. 5) Тогда Ответ: 3.

12. Реши самостоятельно Высота конуса равна 6, а объём равен 144. Найдите площадь полной поверхности куба, вписанного в конус. 1 Ответ: 96 Шар объём которого равен 32/3, вписан в конус. Найдите высоту конуса, если радиус его основания равен 23. 2 Ответ: 6 Желаю удачи!

13. Домашнее задание Реши задачу и оформи решение либо на альбомном листе, либо в виде электронного документа (PowerPoint, Paint, Word и т.д.) Рефлексия Что нового вы узнали на уроке? Чему вы научились? Какое у вас настроение в конце урока? Можете ли вы объяснить решение данных задач однокласснику, пропустившему урок сегодня?