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在柱坐标系和球坐标系下的计算

在柱坐标系和球坐标系下的计算. 一、在柱坐标系下的计算法. 规定：. 圆柱面. 半平面. 平 面. 如图，柱面坐标系中的体积元. 将 投到 xoy 面得 D. 然后再把它化为三次积分来计算. 积分次序一般是先 z 次 r 后. 积分限是根据 在积分区域中的变化范围来确定. 例 1. 解. 注. 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。. 例 2. 关键在于定出 的变化范围. 的范围容易定出. 解. z 呢？. 注意到.

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在柱坐标系和球坐标系下的计算

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Presentation Transcript

  1. 在柱坐标系和球坐标系下的计算

  2. 一、在柱坐标系下的计算法 规定：

  3. 圆柱面 半平面 平 面 如图，柱面坐标系中的体积元

  4. 将 投到xoy面得D 然后再把它化为三次积分来计算 积分次序一般是先 z次r后 积分限是根据 在积分区域中的变化范围来确定 例1 解

  5. 注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。 例2

  6. 关键在于定出 的变化范围 的范围容易定出 解 z呢？

  7. 注意到

  8. 二、在球坐标系下的计算法

  9. 规定 球 面 圆锥面 半平面

  10. 然后把它化成对 的三次积分 具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示 如图，球面坐标系中的体积元素为 积分次序通常是

  11. 解一 用球坐标

  12. 解二 用柱坐标

  13. 解

  14. 被积函数呈 注 若 积分区域为球体、球壳或其一部分 而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单 通常采用球坐标。

  15. 补充：利用对称性简化三重积分计算 使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性． “你对称，我奇偶”

  16. 关于 xoy面对称 关于 xoz 面对称 ① ②

  17. 关于 yoz 面对称 ③

  18. 三、小结 柱面坐标 三重积分换元法 球面坐标 （1） 柱面坐标的体积元素 （2） 球面坐标的体积元素 （3） 对称性简化运算

  19. 思考题

  20. 练 习 题

  21. 练习题答案

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