Operátorok a Quantummechanikában

1. Operátorok a Quantummechanikában Csány Gergely (Molekuláris BionikaBSc, III. évf.)

2. A Kvantummechanika Posztulátumai • 1. Posztulátum Információ, amit egy adott állapotról tudhatunk: Egy adott állapotot a állapotfüggvénnyel (hullámfüggvénnyel) írhatunk le, amely függvény • Korlátos • Egyértékű • Folytonos • Folytonosan differenciálható függvénye a konfigurációs tér koordinátáinak, valamint a időnek.

3. A Kvantummechanika Posztulátumai 2 • 2. Posztulátum A hullámfüggvény értelmezése: Annak a valószínűsége, hogy a állapotú rendszer Egy adott térfogatelemben található: Ennek következtében: ( négyzetesen integrálható)

4. A Kvantummechanika Posztulátumai 3 • 3. Posztulátum Kísérletek kimenetele: Minden megfigyelhető mennyiséghez hozzárendelünk egy operátort. Ennek az operátornak a sajátértékei és sajátfüggvényei határozzák meg a mérési eredményünket.

5. A Kvantummechanika Posztulátumai 4 • 4. Posztulátum Mérések várható értéke: Egy állapotú fizikai rendszerben az operátorú mennyiségre vonatkozó mérés várható értéke: és szórása:

6. A Kvantummechanika Posztulátumai 5 • 5. Posztulátum A hullámfüggvény időbeli fejlődése: Zárt rendszerben a hullámfüggvény időbeli fejlődését az időfüggő Schrödinger-egyenlettel írhatjuk le:

7. Néhány fizikai mennyiség operátrora(3. posztulátum):

8. Operátorok tulajdonságai a kvantumfizikában • A kvantumfizikában Hilbert terekben dolgozunk. • A kvantumfizikában használt operátorok lineárisak és önadjungáltak (hermitikusak) • Önadjungált operátor • sajátértékei valósak • sajátfüggvényei ortogonálisak • Sajátfüggvények ortonormálható, teljes rendszert alkotnak.

9. Legfontosabb képletek még egyszer (másfajta jelöléssel) • A kvantumfizikában Hilbert terekben dolgozunk. • Annak a valószínűsége, hogy egy részecskét adott t időpillanatban az [a,b] intervallumban találunk: Természetesen: • Annak a valószínűségét, hogy a részecskét adott t időpillanatban az [a,b] frekvenciaintervallumban találjuk, a Fourier-transzformáció segítségével kaphatjuk (f(x,t) ismeretében):

10. Heisenberg-féle határozatlansági elv ( )

11. Levezetés (egy lehetőség) • Tfh.: • Def.:

12. Levezetés (egy lehetőség) - folyt.

13. Tétel (6.15) • Nem léteznek olyan korlátos S és T lineáris operátorok, (semmilyen Hilbert térben), amelyek kielégítenék az egyenletet. ST – TS = I csak nem korlátos S és T operátorok esetén igaz. (A kvantummechanikában ilyeneket használunk)

14. Egy példa • Adott és esetén tekintsük a következő függvényt:

15. Példa (folyt.) Mely (α, β) rendezett párokra teljesülhet a két állítás ( , ill. ) egyidejűleg? (*) • λ1=? • a, b (→λ1) adott; miért kell α-nak és β-nak kielégítenie a (*) egyenlőtlenséget? • Felrajzolhatjuk-e az (α,β) párok érvényességi halmazát az egységnégyzetben?

16. Példa (folyt.) – válaszok • Def.: • Def.: • Def.: λ1 a T operátor legnagyobb sajátértéke:

17. Példa (folyt.) – válaszok 2 Miért kell a (*) egyenletnek teljesülnie? • esetén biztosan érvényes (α,β) párokat kapunk. • ezen kívül is lehet • adott a, b (→λ1), •  • α,β-raigaz (*) :

18. Köszönöm a figyelmet! Felhasznált irodalom: K. Saxe: BeginningFunctionalAnalysis Csurgay Árpád – Simonyi Károly: Az Információtechnika Fizikai Alapjai