1 / 52

Lineární rovnice Kvadratické rovnice Soustavy rovnic

Lineární rovnice Kvadratické rovnice Soustavy rovnic. Autoři: Mgr. Marie Zahrádková, Mgr. Renata Žárská Projekt „EUROgymnázia“. Úvod.

victor-turner
Download Presentation

Lineární rovnice Kvadratické rovnice Soustavy rovnic

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Lineární rovnice Kvadratické rovnice Soustavy rovnic Autoři: Mgr. Marie Zahrádková, Mgr. Renata Žárská Projekt „EUROgymnázia“

  2. Úvod Prezentace je určena žákům, kteří preferují optické vnímání učiva, kteří rádi pracují u PC doma a učí se. Také slouží vyučujícím pro zjednodušení výkladu či skupinové (samostatné) práci ve vyučování.

  3. Obsah • Lineární rovnice – úpravy, řešení • Lineární rovnice s absolutní hodnotou • Rovnice v součinovém tvaru • Rovnice v podílovém tvaru • Soustava dvou rovnic se dvěma neznámými • Soustava tří rovnic se třemi neznámými • Kvadratické rovnice – řešení obecné rovnice, ryze kvadratické, bez absolutního členu • Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice • Soustava kvadratické a lineární rovnice • Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou • Iracionální rovnice

  4. V SOUČINOVÉM TVARU SOUSTAVA DVOU ROVNIC SE DVĚMA NEZNÁMÝMI V PODÍLOVÉM TVARU LINEÁRNÍ ROVNICE ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNICE ROVNICE ŘEŠENÉ SUBSTITUCÍ

  5. Řešení lineárních rovnic • Definiční obor rovnice (případné podmínky řešení) • Ekvivalentní úpravy řešení rovnice • Zápis řešení • Zkouška rovnice

  6. Ekvivalentní úpravy rovnic • Přičtení a odečtení reálného čísla (výrazu s neznámou • Vynásobení reálnými čísly vyjma nuly (výrazem s neznámou) • Vydělení reálnými čísly vyjma nuly (výrazem s neznámou)

  7. Příklady táhnou Řeš v R Definiční obor je jednoduchý – za x mohu dosazovat jakékoliv reálné číslo – D=R Levou i pravou stranu rovnice vynásobím třemi (každý člen rovnice) => K oběma stranám rovnice přičteme 63x => K oběma stranám rovnice přičteme 10 Celou rovnici vydělíme 64 Výsledek zapíšeme

  8. Zkouška Srovnáme výpočet zvlášť pro levou a pravou stranu rovnice a porovnáme výsledky L = P

  9. Příklad 2 Řeš v R Do prvního ani do druhého zlomku nemůžu dosadit 2, protože ve jmenovateli by byla 0. / nebo *3*(x-2) Nebo napíšu podmínku Volím podle zadání, nebo přání vyučujícího. Zkouška L = P

  10. Příklad 3 Řeš v R Nějak mnoho jmenovatelů, tak si nejdříve upravíme složené zlomky! Vidíme D ihned D=R a zase ekvivalentní úpravy /*24 6-x-(x+1)=2*(3-x)-5 6-x-x-1=6-2x-5 Na levé straně rovnice bude vždy 0, na pravé vždy -4. Neexistuje x, které by vyhovovalo rovnosti 5-2x=1-2x /+2x 0x=-4 K=Ø (K={})

  11. Příklad 4 Řeš v R Na první pohled to přece není lineární rovnice, ale vzorečky známe – co když je tam ukrytá? (5x+8)(3x+10)=(4x+9)2-(x-1)2 15x2+50x+24x+80=16x2+72x+81-(x2-2x+1) 15x2+74x=15x2+74x+80 / -15x2 74x+80=74x+80 / -74x A už máme lineární rovnici! 0x=0 Na levé straně máme vždy 0, ať dosadíme jakékoliv reálné číslo. Na pravé straně je také 0. K=R

  12. Jaké řešení lineární rovnice může vyjít? 1. Jediné řešení příklady 1 a 2; x=2 => K={2} 2. Nemá žádné řešení příklad 3; 0x=-4 => K={} 3. Nekonečně mnoho řešení příklad 4; 0x=0 => K=R ? A JAK TO VYPADÁ GRAFICKY ?

  13. Grafické řešení rovnice s jednou neznámou Výraz na každé straně rovnice představuje přímku (y=ax+b), kterou narýsujeme pomocí dvou bodů. 4 7 2 1 1 2 3 -1 2 3 1 3 Přímky splývají, mají mnoho společných bodů => nekonečně mnoho řešení Přímky se protnou, rovnice má jediné řešení x=3 Přímky jsou rovnoběžné rovnice nemá žádné řešení Vyřešte rovnice i algebraicky

  14. Lineární rovnice s absolutní hodnotou Rovnici řešíme buď: ► pomocí definice X≥0 │x│=x X<0 │x│=-x ► geometrickou interpretací vzdálenosti dvou bodů (│a-b │=│b-a│) ► pomocí nulových bodů absolutní hodnoty (│x-a │ x-a=0 => x=a a je nulový bod)

  15. Příklad 2 │x-1 │- 3 = 5x a můžeme řešit K1=0 a řešíme K2= Celkové řešení

  16. Stejný příklad můžeme řešit i pomocí nulového bodu 2 │x-1 │- 3 = 5x x-1=0 x=1 nulový bod patří do intervalu nepatří do intervalu K2=0 K1= K=

  17. Pomocí vzdálenosti bodů tento příklad není vhodné řešit ALE: Vzdálenost bodu X od jedničky je 4 1 + 4 1 - 4 -3 1 5

  18. Rovnice v součinovém tvaru Tj. tvar rovnice, kde na jedné straně rovnice se vyskytuje součin výroků a na druhé straně 0. Součin je roven 0, jestliže alespoň jeden z činitelů je roven 0. Tento tvar rovnice nám umožňuje řešit i rovnice vyšších stupňů už teď, kdy umíme řešit jen lineární.

  19. Rovnice v součinovém tvaru (x-2)(x+3)=0

  20. Rovnice v součinovém tvaru Rovnice třetího stupně může mít nejvýše 3 kořeny x+1=0 x1=-1 x+2=0 x2=-2 x-2=0 x3=2 V V K={-2,-1,2}

  21. Rovnice v podílovém tvaru Tj, tvar rovnice, kde na jedné straně rovnice se vyskytuje podíl výrazů a na druhé straně 0. Podíl je roven 0 právě když je čitatel zlomku roven 0.

  22. Rovnice v podílovém tvaru D=R\{-1} x-2=0 x=2 K= {2}

  23. Rovnice v podílovém tvaru D=R\{4} (2x-1)(x+3)=0 Součinový tvar x+3=0 x2=-3 2x-1=0

  24. Rovnice v podílovém tvaru 1) Řešení algebraické a) Sčítací metoda Z 1. rovnice vyjádříme y 2x-y=1 x-2y=-7 /*(-2) y=2x-1 y=2*3-1 y=5 -4x+2y=-2 x-2y=-7 sečteme -3x=-9 x=3 Soustava má jedno řešení – uspořádanou dvojici [x,y] K= {[3,5]}

  25. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých 1) Řešení algebraické b) Dosazovací metoda Do druhé rovnice dosadíme x-y=2 3y-3x-2 3(x-2)=3x-2 3x-6=3x-2 0x=4 Soustava nemá řešení Z první rovnice vyjádříme y y=x-2 K=0

  26. 1) Řešení algebraické Z obou rovnic vyjádříme y c) srovnávací metoda Využijeme vztahu y=y Soustava má nekonečně mnoho řešení. Řešení je ve tvaru uspořádaných dvojic.

  27. Řešení grafické Každou rovnici vyjádříme ve tvaru funkce: 2x-y=1 X-2y=-7 f Přímky se protínají. Soustava má jediné řešení. Viz algebraické řešení. g [x,y] -1

  28. x-y=2 3y=3x-2 g f Přímky jsou rovnoběžné. Nemají nic společného. Soustava nemá řešení. -2

  29. f g Přímky splývají. Mají nekonečně mnoho společných bodů Soustava nemá nekonečně mnoho řešení. Řešením jsou dvojice [x,y]

  30. VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE ŘEŠENÉ SUBSTITUCÍ KVADRATICKÁ ROVNICE KVADRATICKÉ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU SOUSTAVA KVADRATICKÉ A LINEÁRNÍ ROVNICE

  31. KVADRATICKÉ ROVNICE je vyjádřena tvarem ax2+bx+c=0, kde KVADRATICKÝ ČLEN LINEÁRNÍ ČLEN ABSOLUTNÍ ČLEN Čísla a, b,c se nazývají koeficienty kvadratické rovnice

  32. Typy kvadratických rovnic ► obecná kvadratická rovnice ax2+bx+c=0 ► kvadratická rovnice bez absolutního členu ax2+bx+c=0 ► ryze kvadratická rovnice ax2+c=0

  33. Obecná kvadratická rovnice Řešíme pomocí vzorce

  34. Obecná kvadratická rovnice Příklad 1 K={2,⅔}

  35. Obecná kvadratická rovnice Příklad 2 K=0

  36. Obecná kvadratická rovnice Příklad 3 řešením je dvojnásobný kořen

  37. Kvadratická rovnice bez absolutního členu Řešíme vytýkáním Příklad: 3x2+5x=0 x(3x+5)=0 x1=0 x2=

  38. Ryze kvadratická rovnice Řešíme pomocí vzorečku a2-b2=0 Příklad 1:

  39. Ryze kvadratická rovnice Řešíme pomocí vzorečku a2-b2=0 Příklad 2:

  40. Ryze kvadratická rovnice Řešíme pomocí vzorečku a2-b2=0 Příklad 3: Nemá řešení

  41. Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice x2+px+q=0 platí 2 vztahy (Viètovy) Využití najdeme v příkladech Aniž rovnici řešíte určete druhý kořen rovnice x2-9x-2142=0 Je-li x1=52 x1+x2=9 51+x2=9 x2=9-51=-42

  42. Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Pro kvadratickou rovnici ax2+bx+c=0 platí obdobné vztahy

  43. Ukažme si to na příkladu Aniž rovnici 5x2+8x+5=0řešíte sestavte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou čísla třikrát větší než kořeny původní rovnice takže: rozšíříme 5 to platí pro původní rovnici, ale my hledáme koeficienty a,b,c upravíme: a=5 b=24 c=45 => dosadíme: Hledaná rovnice je 5x2+24x+45=0

  44. Soustava kvadratické a lineární rovnice V analytické geometrii se často řeší soustavy rovnice kvadratické a lineární. soustava x2+y2=20 2x+y-6=0 znamená, že hledáme společné body kružnice a přímky

  45. Řešení: x2+y2=20 2x+y-6=0 Z lineární (jednodušší) rovnice si vyjádříme třeba y=-2x+6 a do kvadratické dosadíme. x2+(-2x+6)2=20 ……. dostáváme kvadratickou rovnici s jednou neznámou x2+4x2-24x+36-20=0 5x2-24x+16=0 D=b2-4ac=242-4*5*16=256 společné body jsou: // geometrická interpretace Řešením soustavy je

  46. Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou můžeme řešit dvojím způsobem. Ukážeme si je na příkladech.

  47. Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou nulový bod je 1 rozdělíme definiční obor na dva intervaly v řešíme rovnici v řešíme rovnici x2+(-x+1)-1=0 x2-x=0 (x-1)x=0 x2+(x-1)-1=0 x2+x-2=0 (x+2)(x-1)=0 x2=0 x1=1 x2=1 x1=-2 oba kořeny leží v ani jeden z kořenů neleží v daném intervalu => =>

  48. ……………. a) ……………. součinový tvar rovnice + - + součin je kladný v intervalech -3 0 ……………. b) - výraz je záporný v intervalu -3 0

  49. Iracionální rovnice Rovnice s neznámou pod odmocninou Iracionální rovnice řešíme umocněním rovnice, což je důsledková úprava (tzn, že by mohlo vyjít více kořenů, než ve skutečnosti je). Tento problém ošetříme: • Dobře provedeným definičním oborem rovnice • nebo • b) Zkouškou

  50. Příklad 1 Určení definičního oboru: „ druhá mocnina z nezáporného čísla je definována jako nezáporné číslo. 0 12

More Related