Il ruolo dei linguaggi in matematica: parlare, scrivere, inventare notazioni

1. Il ruolo dei linguaggi in matematica: parlare, scrivere, inventare notazioni Pier Luigi Ferrari Università degli Studi del Piemonte Orientale ‘Amedeo Avogadro’ Sede di Alessandria

2. Funzioni dei linguaggi in matematica Linguaggi per comunicare Linguaggi per rappresentare il sapere matematico Linguaggi per fare calcoli

3. Conflitti fra le funzioni Chiamare la figura di sinistra ‘rettangolo’ è funzionale all’organizzazione del sapere matematico. Ma per comunicare fra persone è meglio usare ‘quadrato’.

4. I, II, III, V, X, L, C, D, M 1, 2, 3, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 Rappresentazione uniforme, procedimenti di calcolo

5. Concetti  Rappresentazioni 3 III 2+1    tre [ ]

6. Analogia e convenzione

7. Il numero ‘tre’ Rappresentazioni semiotiche Oggetti alla rinfusa    3 tre Forte componente convenzionale Legame analogico col numero ‘tre’

8. Obiettivi per l’educazione linguistica Utilizzare diversi sistemi semiotici Figure Testi verbali Espressioni simboliche Tecnologia Saper passare dall’uno all’altro Costruire la capacità di costruire testi adeguati e controllarli in quanto prodotti

9. Caratteristiche delle attività Contesti reali di comunicazione Non solo noti Oltre gli usi colloquiali Vincoli sulle modalità Obiettivi condivisi

10. Rilettura Testi come prodotti controllabili Discussione Correzione Trasformazione

11. Problema(Radford, 2000) Quante palline ci sono nelle figure fino alla ventesima? Trovare una formula per calcolare il numero delle palline di ogni figura.

12. Qualche estratto (II elementare, Alessandria) “Allora, … … se tu, se il numero in alto fosse uguale alla base sarebbe un numero pari … però se noi togliamo un numero in verticale viene un numero dispari” Espressioni • che il contesto rende non ambigue • che aprono la strada a generalizzazioni

13. “Nelle figure cinque, quattro, tre, due i pallini della base sono uguali alla figura” Ins.: “Alla figura o al numero indicato nella figura?” “Eee … al numero indicato nella figura” “Perché in alto ce n’è sempre una in meno” Ins.: “In meno rispetto a che cosa?” “Rispetto alla base”

14. Costruzione della formula Numero della base per due meno uno = numero delle palline n.base per due meno uno = n. delle palline (n.base  2) – uno = n.palline (n.base  2) – 1 = n.OO (n.— 2) – 1 = n.OO

15. Un anno dopo: stessa classe in III Problema Nella libreria della classe III B c’erano 58 libri. La maestra ne ha comprati altri 26. durante la notte scorsa dei ladri sono entrati nella scuola e hanno rubato 19 libri. Quanti libri sono rimasti nella libreria?

16. Verbalizzazioni (libri precedenti + libri nuovi) – libri rubati = libri rimasti ‘libri rubati’ e ‘libri rimasti’ hanno le stesse iniziali (l.p. + l.n.) – l.r. = l.r. (l.p. + l.n.) – l.ru. = l.ri. Per qualcuno non basta: ‘rimasto’ – ‘rimorchio’

17. Idea: legenda come sui libri ( + ) – O =  Legenda:   libri precedenti  libri nuovi O  libri rubati   libri rimasti

18. Scrittura di una civiltà extraterrestre?  lettere dell’alfabeto (a + b) – c = d Legenda: a libri precedenti b libri nuovi c  libri rubati d  libri rimasti

19. Modo uniforme per rappresentare la quantità sconosciuta Tot (“tot bambini”, “ho speso un tot”) x (“Mister x”, “ora x”)

20. (a + b) – c = x Legenda: a libri precedenti b libri nuovi c  libri rubati d  libri rimasti

21. Consapevolezza delle funzioni della descrizione del procedimento risolutivo Le funzioni non sono imposte dall’esterno ma sono condivise Esigenza di brevità Le descrizioni verbali sono preferite ai calcoli numerici un pezzo di linguaggio configurato in base ai loro scopi Idea di legenda: Elevata fruibilità sociale

22. alunni padroni di registri linguistici evoluti legenda come costrutto culturale dall’uso naturale delle parole a quello convenzionale dei simboli all’inizio ‘libri rubati’  significato naturale ‘l.r.’  legame con tale significato polisemia di ‘l.r.’  ‘l.ru.’ e ‘l.ri’

23. Ricerca di una soluzione uniforme perdita del riferimento al significato naturale delle lettere simboli come ‘’, ‘O’, ‘’ non possono portare significati naturali necessaria una legenda lettere (a, b, …) più fruibili dei simboli, e ormai prive di significato naturale definizione esplicita : dalle lettere-abbreviazioni alle lettere-simboli

24. Formula risolutiva Legenda Situazione problematica Soluzione numerica

25. Quello che conta non è la conformità ai linguaggi usuali della matematica Frutto di migliaia di anni di elaborazione da parte di varie culture Ma l’aver configurato un pezzo di linguaggio in relazione a scopi espliciti, significativi e condivisi.